高三数学圆锥曲线中最值问题的求解策略

1、圆锥曲线中最值问题的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合 应用代数、平几、三角等相关知识。以下从四个方面予以阐述。、求点的坐标的最值例1.定长为l(l 2b)的线段AB的端点在双曲线2x2a2y9 =1的右支上，则ABb2中点M的横坐标的最小值为A、al2、a2 b2B、2.a2 -b2C、a(l -2a)21 a2 b2D、a(l 2a)2,a2 b2解析：如图，作出双曲线的右准线，过 A, B作AA、 为A, B。又过AB的中点M作MM垂直于准线，垂足为 的最小值，实质上是求线段 |MM |的最小值.因为 |MM |= 1(|AA

2、 |+|BB ),2BB垂直于准线，垂足M ,则求M点横坐标据双曲线的第二定义：1AF 1 = e | BF | =e, | AA |BB|可得 |AA|= 1|AF| , |BB|=1|BF|,将此二式代入，结合三角形两边之和大于第三边可得：|MM|= 1 (|AF|+|BF|) 1 |AB| ,2e2e当且仅当A、F、B三点共线时，即 AB过焦点F时，有|AF|+|BF|=|AB| 。即 |MM |min= |AB|=-,2e2e此时 x = =c 2e 2c故x=c 2c 2%a2 b2评注：求解本题的关键是审题时对双曲线定义及平几知识的把握和应用。二、求两条线段的和的最值22例2.点M

3、和F分别是椭圆 工+匕=1上的动点和右焦点，定点B(2,2).259求|MF|+|MB|的最小值.求5 |MF|+|MB|的最小值.4解析：易知椭圆右焦点为F(4,0),左焦点F(-4,0),离心率 |MF| + |MB| = 10 |MF | + |MB|=10一 ( |MF|一|MB|) 10 一|FB|.当M, B, F三点共线时，|MF|一|MB|取最大值|FB|.此时|MF|+|MB| 10 一|FB|=10 2 J10 .过动点M作右准线x= 25的垂线，垂足为 H ,则IMF=e = f =4|MH |5x.土里44|MH |=|MF |.于是 55|MF|+|MB|=|MH|+

4、|MB|4河HB|= 17 .可见，当且仅当点 B、M、H共线时,45 |MF|+|MB|取最小值1744评注：从椭圆的两个等价定义出发，再将问题转化为平几中的问题：三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。是解决此类问题的常见思路。三、求面积的最值例3.如图，A、B、P(2,4)是抛物线y=1x2+6上的点，且直线2在y轴上的截距为正，求 APB面积的最大值.解析：设 A(x1,y1)，B(x2,y2),则1 2 Gy1 = Xi + 6,2C仇=x； +6,O4=22 +6,PA、PB的倾斜角互补，若直线AB一得 yi 4= (xi+2)(x i 2)=2, y1一4i,kPA

5、=(xi+2);x1 221.一仔 V2 4= (x2+2)(x 22)二2 y24 i 八kPB =(x2+2).x2 22直线PA与PB的倾斜角互补，一1 ，,、一 .kPA + kPB=(x1+x2+4) =0=2x1 +x2= -4. HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 1 .、一得 yi y2= (xi+x 2)(x1 X2),y1一y21kAB = (Xl+X 2)=2.X1-X22设直线 AB 为 y=2x+b(b0)，代入 y= x2+6,得 x2+4x+2b 12=0.2|AB|= 5 (x1 x2)2 -4x1x2 = 5 ,

6、 64 -8bb又P(2,4)到直线 AB: 2x-y+b=0的距离为 一,、51 Saabc= _ d|AB|= _ x三乂5 6/ 64 8b TOC o 1-5 h z 22.5=b 16-2b = Jb b (16-2b) 0=a454 a 2 + 405 0= a2 45 或 a2 w 9.a2 9 0, ，a245,故 amin=3 宾，得(2a) mm=6 V5 , TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 22此时椭圆方程为x 匕=1.4536 HYPERLINK l bookmark38 o Current

7、 Document 22解法2：设椭圆 + 2y=1与直线xy+9=0的公共点为 M(acos a ,4a2 -9sina ), a a -9贝U acos a Va2 9sina +9=0 有解.V2a2 9cosQ +) = 9 =cos( a + 4 )=V2a2 -9 J2a2-9| -1 =2a2 -9 9= a245,a min =3 1 5 ,得(2a) min =6 5 5 ，22此时椭圆的方程匚匕=1.4536解法3:先求得F1(-3, 0)关于直线x-y+9=0的对称点F( 9,6), 设直线 F1F2与椭圆的交点为 M,则2a=|MF 1|+|MF 2| =|MF| +|MF 21A22|FF2|=6 v5,于是（2a）min=6 J5,易得 a2=45,b2=36 ,此时椭圆的方程为 = 1.4536评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼 界，拓宽思路，训练思维的发散性。解