高三数学积化和差与和差化积公式的应用习题精选精讲

1、三角函数式的化简要求是：项数最少三角函数种类最少函数次数最低尽可能不带根号能求值得要求出值.一：定义法tan x *sin x tan x sin x例1. 化简-tan x -sin x tan x ,sin x解：设点P(x, y)为角x终边上一点，且OP=、x2 + y2,则 sin x = y , tan x = r222y -r x =0 y(r - x)x二:弦切互化法解:2.2. 化间 tan2x(sin x+tanxx tan 一2cosx)21 - tan x21 tan x原式二sin2xcos2x.x sin (1 里2 cosx cosx2_2sin x2- cos x

2、 -2- sin x2- cos xsin 2xcos2x2 x2 sin 一. (1 2) * cos2xcosxsin 2xcos2x cosx变用公式1CC C cos2x = 2 sin 2x3.化简 tan15o ,tan25o 十 tan25o ,tan50o +tan500 tan15o解：原式=tan25 (tan15 +tan50)+tan50 tan15=tan25 *tan(15 50 )(1 -tan15 tan50 ) tan50 *tan15 =(1-tan15 *tan50) tan50 *tan15tan tan说明：公式tan(a P) = -3在解题中运用非

3、常灵活.常常变形为1 - tan 二 tan :tan 土tan B =tan(a P)(1 4tans tan 口)来使用.四：连锁反应法例 5. ftffj sin 6 sin42 sin66o sin78o解:原式二sin6 cos48 cos24 *cos12cos6 *sin 6 *cos12 *cos24 cos48cos61 .sin96 A16/cos6 161 . sin12 *cos12 * cos24 * cos48一2cos6说明：此题分子分母同乘以cos6 ：从而连续逆用倍角公式，达到多次化角的目地 五：升降次法/ r - ah22例 6. 化间 cos (x + y

4、) +cos (x - y) 一cos2x *cos2y1 cos(2x 2y) 1 -cos(2x -2y)解：原式=口 +s口 -cos2x cos2y TOC o 1-5 h z ,1 r=1 2【cos(2x 2y)-cos(2x -2y) -cos2x .cos2y1 cos2x *cos2y-cos2x *cos2 y = 13 1-17.化间： cos2x +cos4x 8 28一3121 一 2 -.、3 o 1 o ,03 o 1 .解:原式=(2cos x_1)(2cos 2x_1) =- -cosx (2cosx-1)2 =cosx (4c0sx-4cosx 1)8 28

5、4444242、2. 41 -2 cos x cos x = (1 - cos x) =sin x六:基本技巧1 sin 21-cos2 二8 (1)化间：1 sin 21cos2 1解:2 .原式 (1 -cos2r) sin 22sin 1 2sinicosi(1 cos2?) sin2cos21 2sini cos2sini(sin 二 cos2 cos? (sin 1 cos)解:=tan 二(2)已知 tan x = 2，求 sin 2x + cos2x的值.tan x = 2,. sin x =2 cosx2),2-2/.sin 2x cos2x = 2sin xcosx 2 co

6、s x -1 = 4 cos x 2cos x - 1C 2,66=6 cos x -1 = 2- - 1 = 2- - 1sec x 1 tan xJ1 45角的变换角的变换，一般包括角的分解和角的组合，角的分解即把一个角分成几个角的和或差，而角的组合即把几个角通过和或差组合成 一个角。sin :例 1、已知 sino=4sin(o+B,求证：tan(o+P)=cos - -4证明：将角 的解成 o=(a+ft-P由 sin(o+B-P=4sin(o+8得：sin(o+ P)cosp-cos(a+P)sinP=4sin(o(+P)-.一- sin ：即 sin(二+ )(cos|.： 4)=

7、cos(二+ )sin :从而 tan(二+卜)=cos : -4例 2、若 3tano=2tan(a+P),则 sin(2c+B=5sin B证明：由条件有 3sin ccos(a+P)=2sin( o+ P)cosa,6sinocos(o+5=4sin(*5cosa,从而 sinocos(o+ +cosocsin(o+ =5sin( a+ ftcoscc-sino(cos(o+ ft,即 sin(2o+P)=5sin 口。一 . 二 3例 3、已知 cos( 一 +x)=-5127 二:x :二一42qsin 2x 2 sin x %,古,求的值。1 - tan xsin2x 2sin ;

8、1 -tanx2sinx(cosx sinx)cosx -sinxcosxsin2x *sin(x )冗cosx -)n而 cos( 一 +x)=412:二 xji 一+ x F),由题可得：cos(生p)=- ， sin(5B=71411 1 5、. 3 4, 3 1,cos2 =cos( ：+：)(. )=cos(:+ ：)cos( ： - .)+sin(: + ：)sin( j -.)=-节 +-j-=JIJT又0+冗08斥,J,0（o+B-（gP）=2代二2隹一即住一。例 5、求(1+tan10)(1+tan20)(1+tan30)(1 十 tan450)的值。解：由 10+44=20

9、+43=220+230 及(1+tan1 0)(1+tan440)=1+(tan10+tan440)+tan10tan440 =1+tan(1 0+440)(1 4an10tan440)+tan1 0tan440=1+1 -tan10440+ tan10440=2 ,同理有：(1+tan20)(1+tan430)= =(1+tan22)(1+tan230)=2 因而原式=223。兀一般地，若 a B =n *（n 为奇数），均可考虑用 tanc（tan P = tan（o（ P）（1 + tann tan P）化简。 4例6、求2 cos200 2sin20 -100.2 cos20 -2 s

10、in 20 -1妇n250的值。解：上式即为0 . cl00 , cl0. Cl02 cos20 sin 252 sin 20 sin 25 - sin 25000002cos20 cos25 -2sin 20 cos25 -cos25分子=sin450+sin50-cos450+cos50-sin250=sin50+(sin850-sin250)=sin50+2cos550sin300=cos850+cos550=2cos700cos150 ， 同理：分母=2cos70sin15,，原式=8口5=2+ 3 。和（差）角范围I可题在三角解题中经常遇到确定和（差）角范围的问题，学生常因确定和（差

11、）角范围的偏差导致解题失误。本文举例说明这类问题的处理 方法。一.合理选用公式来确定例1已知a , 0均为锐角,sin a5.:10，sin P =，求“ + B的值。510解析：由已知条件有 cos a=2、55cos : 二3而 ,且 0 a + 0 0, 325sin(2 a + 0 )=sin2 a cos0 +cos2 s sin 0(-24)x(25204)032513+ 7 x 1225132 a + 0在一、二象限。综上知 2 a + 0在第一象限。同理可确定 2 a挖掘隐含条件来确定 TOC o 1-5 h z 一，11 一3 已知 cos(a 0)= ,sin 2口 =，,

12、2口、 P 都是锐角，求 cos(a+B)的值。 HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 23解析：由已知条件有一 一 二一.一 10V 2a ,又 sin2ot= , HYPERLINK l bookmark92 o Current Document 23则 cos2二 1 -sin2 2? = . 1 Y1)31因为 0V sin2 a = 31二二一,所以02a ，所以0 a 。12JI又因为0 0 一2所以JI一 -0 02由、得 a - 0 o又因为cos ( aji一 P 0 。所以sin( ：-)-. 1 -cos2( - - ) 2.

13、211 / 、3、= X +X(_ J)32 32从而 cos(a + 0 )=cos2 a -( a - 0 )=cos2 a cos( a - 0 )+sin2 a sin( a - 0 )2.2- , 3=O、，一，一，11 一一 一,评析：本例通过 0sin2 =-,发现了隐含条件:3T0 a ,将a - 0的范围缩小为12兀口 冗- a - P ，212进而由 cos( a -p 0,从而避免了增解。一一 H例4已知 2n n Ir 一 、一 p 一,且tana ,tna0是一兀一次方程22x +3y3x+4= 0的两个根，求a +8的值。解析:由已知条件得tan a +tan 0

14、=-30,所以tna aJiJi0, tanB0。又因为一一 VotV ,所以一一V Ot 0, V 00,所以-无 a +0 0。又因为 tan(a + 0 )=tan ： - tan :-3 3口 = 73所以1 - tan 二 tan ：1 - 4评析：本例根据韦达定理tana+tan0= 3%：3 , tan a tan 0 =4,挖掘出了隐含条件tan a 0,tan 0 0,知_3T-a0 ,22 _=兀。3-P0 ,所以 sin -cos已知 sin +cos“未知 sgn 口c o 的联系是(sin -2cos-) HYPERLINK l bookmark115 o Curre

15、nt Document 2一=(sin cos ) +4sin豆 cos豆 工 从而目标是求出 sin a cosa 的值.一4例3、sin =, tan（g+中）=1，且8是第二象限的角，求tan中. 5，:tan : = tan(-)-二解：: 6是第二象限的角，sin 9 = ,. cos9 = -3 ,即 tan8= 55tan(日 +中)-tan _ _71 tan(i:) tan注：“未知中”与“已知日”和“已知e +邛”的联系显然是“甲=（日+邛）_8例 4、COS(C(P)12, 一、 4 二 一 3二4一,cos(a +户)=一一，且大 a 户 一,求 sin 2ct .13

16、524nR 冗Q ：； 一 ：:： 一 ,二：二 ; -:二44,又 cos(ct 一 P )12,13COS（二之一,）4 日,所以可知a5P是第一象限的角，a +P是第三象限的角.sin( ：-一二)1 - cos( )=sin(-：，)-) = - ,1 -cos。*：1)13:sin 2a =sin(a +P) +(a _P) =sin(o(+P) cos(a _P) +cos(a +P) sin(a _P),3 12 ,4、 一()5 135 1355665注：“未知2口 ”与“已知口 + P ”和“已知口 P ”的联系显然是“ 20c = （口 + P） + （口 一 P） ” .

17、1-1例 5、已知 sin a +sin P =, cos +cos P = 3，求(i)cos。），（2） cos（口 + p）.解：解法一:1 sin 工sin -41 cos 工cos =:3sin% +2sin a sin B+sin、2cos - 2cos - cos cos2-十得：cos仁-：）26328816116得：cos2工 cos2 : 2cos(、 I；)=即 2cos(:工，P) cos( - - ) 2cos(：，)144,所以cos(288cos(：)125a + P a - Pcos22解法二：把已知和差化积得:二 1 一 _ _sin 工 rsin - - -

18、 2sincos 工 3 cos ： = 1 二32coscos222 ：25cos144，即 21 cos(-)=25，144c cos(:- - )=-263288ot + P王得：tan23 cos( G + P)41tan 二25注：求cos（a- P）利用方法一简单， 求cos（ a + B）利用方法二简单.一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦,往往采用和差化积或者平方后求和与差. 积化和差与和差化积1、积化和差公式:112sin s sin - = cos( a+ -)cos( a0)cos c cos 3 = cos( a+B )+cos(0加sin a2cos

19、 p = sin( a + 0 )+sin( 0 闪9cos s sin 0=sin( + +-sin()sin a积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。其中后两个公式可合并为一个:cos 6sin( a + 0 )+s-n( )a2、和差化积公式sin 0 +sin j)=2sin 2 cos 3十0cos 0 +cos j)=2cos - cossin -sin j)=2cos 28+0cos (-cos j)=2sinsin8-中sin 二和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是:8十- 8 -0其中前两个公式可合并为一个：sin 0 +sin (j

20、)=2sin / cos 2积化和差公式的推导用了解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了换元”思想。只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。合一变形也是一种和差化积。三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。3、积化和差与积差化积是一种挛生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数 的平方，要先考虑降嘉公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化

21、公式其基本功能在于：当和、积互化时， 角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。例题选讲1、求下列各式的值cos40+cos60+cos80+cos160 cos23-cos67 +2 &sin4 +cos26csc40 +ctg80 cos271 +cos71cos49+cos249解： cos40+cos60+cos80+cos160 = 2+cos80+2cos100cos60 =2+cos80-cos80 = 2cos23 -cos67 +2 L - sin4 cos26 =2

22、sin45 sin22 + L -(sin30 -sin22 )=sin22 -圾sin22 = 一 csc40+ctg80 =0+si 理 8002c o s3 0% o si 0=2cos30 =叵解法一：cos271+cos71cos49+cos249 =(cos71 +cos49)2-cos71 cos492=(2cos60 cos11 )2- - (cos120 +cos22 )=cos211m 1+D11cos22=cos211+4 -22cos211 -1)= 2+ 2 cos142=+-cos142 +cos98)+ 一 +cos22 =Ll+cos120 cos2212Aco

23、s22=4=cos211+ r-cos211 +解法二：cos271 +cos71 cos49+cos2497+ 乙(cos120 +cos22 )+解法三设 x=cos271+cos71cos49+cos249y=sin271 +sin71 sin49 +sin249则 x+y=2(cos71 cos49 +sin71 sin49 ) =2+cos22x-y=(cos271 -sin271 )+(cos71 cos49 -sin71 sin49 )+(cos249 -sin249 )=cos142+cos120+cos98=- 2 +(cos142 +cos98) =- 2 +2cos120

24、cos22=- 2 -cos22 联立二式得 x=4.2、已知 sin a+sincosa+cos0=2 求 tgatg 的值解:/sin Q 4-5122=躯-COSd +7(?S p = -11 2+2 得 2+2(sin a sin 0+cosacos2-2得5cos2 a +cos2 0 +2(cos c-sins 冷 sin -2 2:2cos( a +3 )cos6 )+2cos( a +-)=. 2 弋cos( a + 0 )+2cos( g71.4 8 )cos( &5+酎=-1 5 3 73)=又 sin s sin -2 cos( + + -Oos( - 0 )= 2 (-

25、 1 1 - 8 )= 1 7 6cos a cos 月cosa + 0 )+cos()送-1 1 + 8 =- 1 7 6:tg a tg23、设函数 f(x)=asin wx+bcoswx+1 (a、b，00 )的周期是 & f(x)有最大值 72且 f(JT 5 v13)=+4(1)求a、b的值(2)若“wk；： + 0 qz)且a、0是f(x)=0的两根求tg( a+酌值。解:(1) . f(x)=而 sin( wx+(j)+11+l1=71由条件asin二+bcos 3+1= 4+4一 a=b=6由a si 2 Q +bcos2 Cl +1 = 0asinl p+1 = 0两式相减得 a(sin2 -sin2