高三数学高考考点解析不等式问题的题型与方法全国通用

1、不等式问题的题型与方法（3课时）一、考试内容不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值不等式二、考试要求.理解不等式的性质及其证明。.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单 的应用。.掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。.掌握简单不等式的解法。.理解不等式 |a|- |b| |a+b| a,则a=.分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口.怎样理解“对M中的其它元素(c, d),总有 Oa ? M中的元素又有什么特点?解：依题可知，本题等价于求函数x=f(y)=(y+3) |y-1|+(y+3)在时的最小值.

2、 TOC o 1-5 h z 5125(1)当式代 1 时，x = (y + 3)(l-y)+(y + 3)，丁 -y+6 = -(y + -)3+ ,59所以y = A时，39(2)当 1 WyW3 时,x = (y + 3)(y-l) + (y + 3) = y3+3y = (；y + -)3乙I所以当y=1时，xmin=4 . HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 9599而4因此当y时，*有最小值1即好; HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 4244说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集

3、合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质.即求集合 M中的元素满足关系式= (y +3) |y -l|+(y+ 3), -3 的所有点中横坐标最小的自值.2a .例2.解关于x的不等式：xx -a 0)9分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数 a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组， 最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。. x 至a一 x 至 a解：当x之a时，不等式可转化为,22,9x(x 一 a K 2a 19x - 9ax -2a40 x ax 父 a TOC o 1-5 h z 当x a时不等式可化为

4、2即122ax(a -x) 2a 9x - 9ax + 2a 之 0a 2a二 x 一或 x a33故不等式的解集为(g； Ll|2a,17alo336x 2例3.己知二个不等式： 2x45x =至1 2x2+mx10 x2 -3x +2(1)若同时满足、的 x值也满足，求 m的取值范围；(2)若满足的x值至少满足和中的一个，求m的取值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的x值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分别在(-,0坏口 3,十比)内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决 问题的过程中

5、，要适时地联系它们之间的内在关系。解：记的解集为A,的解集为B,的解集为Co解得 A= (-1, 3)；解得 B=b,1)u(2,4 , A c B = 0,1) u (2,3)因同时满足、的 x值也满足，ACBEC2设f(x)=2x +mx+1,由f(x)的图象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于 3时,即可满足AcB5f(0)0即;一9,mM上/(3) 03m+17031f (4) =4m+31 之0,解之得-m1d m /-144说明：同时满足的x值满足的充要条件是：对应的方程 2x2+mx-1=0的两根分别在(-8, 0)和3, +8)内，因此有f(0)5.分析：回忆二次函数的几种特

6、殊形式.设f(x)=ax2+bx+c(aw 0).顶点式.f(x)=a(x-x0)2+f(x0)(aw0).这里(x0, f(x0)是二次函数的顶点，x0 = -b,f(Ka)=-i fW点式.= 康-町这里讣町是使电=0的值，满足X1+町二士国必二三点式.设你y a a)、(x2 , f(x2)、(x3, f(x3)是二次函数图象上的不同三点，则系数a, b, c可由ff(xj) = +b3q +ct(町)=ax a +b町确定)耳叼)=居妙+ c.证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x1 )(x-x2), aC N.依题意知：0 Vxi v 1, 0Vx2 V 1,且x1 w x2 .

7、于是有f(0) 0, f(1)0.又f(x)=ax2 -a(x 1+x 2 )x+ax1 x 2为整系数二次三项式，所以 f(0)=axx2、f(1)=a (1-x1)(1-x2)为正整数.故 f(0) 1, f(1)1.从而 f(0) - f(1) 1.另一方面，：._1： 1.且由x1 wx2知等号不同时成立，所以X(l-町)町(1-叼) 1.165 1 口町(1 叼)16.又aC N,所以a5.说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活.根 据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键.例5.设等差数列an的首项al 0且Sm=Sh(mwn

8、).问：它的前多少项的和最大？分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列.解:设等差数列an的公差为d,由Sm=Sn得d二呵 + do 2(m-n)电 +dm2 -n: -(m-n) = 0乙2al-= d= m + n-1K数列%是递减数列，所以存在kE N.使 力ak 0,且 ak+1 0,如地2亍亍+1+ 1。.所以数列%的前丁项和最大.说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式(组).正确列出不等式(组)，并分析其解在具体问题的意义，是得到合理结论的关键.例6.若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且 iwf(-l)w2, 3f(1)4,求f(-2)的范围.分析：要

9、求f(-2)的取值范围，只需找到含人 f(-2)的不等式(组).由于y=f(x)是二次函数，所以 应先将f(x)的表达形式写出来.即可求得 f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有f(-2)的不等式(组)，即可求解.解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设 y=f(x)=ax2+bx.于是3f(l)4,|3a + b4.解法一(利用基本不等式的性质)f22a-2b4, ：42软64a-2b6 f(-2) 10.其中等号分别在与二：时成立.虱二：与满足 b = 1. b = 1.b = L b = 1.建立直角坐标系 aob,作出不等式组(I)所表示的区域，如图 6中的阴影部分.因为(I

10、)所以f(-2)的取值范围是6, 10.解法二(数形Z合)f(-2)=4a-2b ,所以 4a-2b-f(-2)=0 表示斜率为2的直线系.如图6,当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2,1), B(3, 1)时,分别取得f(-2)的最小值6,最大值10.即f(-2)的取值范围是：6f(-2) 10.解法三(利用方程的思想)1=*1)+(-1力1又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1),而1f(-1)2, 3f(1)4,所以33f(-1)6.+ 得 43f(-1)+f(1) 10,即 6 f(-2)10.说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形.要避免出现以下一种错解:243,将

11、不等式组(I )变形得1/-3 而f(-2) =:4a - 2b22b, 84a 12, -3-2b-1,所以 5 f(-2)0时，若又t任意xw R都有f(x)E1,证明：aw2vb;(2)当b1时，证明：对任意xw0,1, | f(x)区1的充要条件是b-1 a2Vb ;(3)当0 b W 1时，讨论：对任意xw 0,1 , | f(x)区1的充要条件。2证明：(1)依题意，对任意 xwR,都有 f(x) 1,v f(x) = -b(x-)2 + 2b 4b2.a a一f ()二一 _1, a 0,b 0. a 2 .b.2b 4b(2)充分性:1,a b -1,对任意xw 0,11可推出

12、:ax bx2 之 b(x-x2)-x之x 21,即ax bx2 之1;又丁 b1,a W2JE,对任意xw b,1可知axbx2 M2Jbxbx2 (2Vbx -bx2)max =2bb (-)2 =1，即 axbx2 M1. b b.-1 f (x) 1必要性：对任意 x 0,11 f(x) 1,. f (x) - -1,. f (1) - -1即 a - b t -1，a A b -1;又 b a 1 二 0 1.b：二1,由 x 1 f即 a= -1 1,. a M2而，故b -1 a M 27b .b综上，对任意xW b,11f(x),M1的充要条件是b-1a0,0 -b -1即 f

13、 (x)之1;又由 f (x) 1f(1) 1,即 ab1,即a，b + 1 而当 a Mb 1时，f (x) = ax -bx2 (b 1)x -bx2 = -b(x -b- )2 (12b 4bb -10 :二 b Ml,. - 12b.在0,1 ,y =(b+1)xbx2是增函数，故在x=1时取得最大值1,f (x) 0,00, b0, a3+b3=2.求证 a+b2, ab 0, b0, a3+b3=2,所以(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a 3+b3)=-3(a+b)(a-b)2 0,即(a+b

14、)323.又叁所以建+b2,因为2病a+b 0, b0, a3+b3=2,所以又 a + b = a* 1*1* 1 + b * 1 * 1=3 J- 1 + Jb3 *7* 1.a3 +1 + 1 b3+l + l a3 +b3+4 6 人%+ = l 口 一 .乙，3333所以 a+b 2, ab 0, b0,所以 m0, n0 且 A=m2-4n0.因止匕 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab=mm2-3n,所以3 %i-i3将代人得n?-4(号-3)0,即二艺0,所以.m3+8)5 3m3m0,即m42,所以a+bm 得 4m2,又 m2 4n

15、,所以 4 4n,即 n 1,所以 ab 0, b0, a3+b3=2,所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),于是有63ab(a+b),从而8 3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3 ,所以a+b2.(以下略) TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 证法五(利用公式因为 乙I乙a3 + b3 a + b 2 _ (a + b)4aa + 4b2 - 4ab - a2 - ba - 2abF)8 HYPERLINK l bookmark

16、104 o Current Document 所以对任意非负实数a, b有亨(辞f, 1uu因为a0,b0口+b*=2,所以(与V因此41,UUiUi即a+b2,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab 2(22-3ab).因为 a3+b3=2,所以 22(4-3ab),因此 ab1.另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)(2ab-ab)=(a+b) - ab2ab, 所以abv 1.于是与 矛盾，故a+bw 2.(以下略)说明：此题用了六种不同的方法证明，这几种证法都是证明不等式的常用方法.例9.设函数f(x)=ax2+bx+

17、c的图象与两直线 y=x, y=-x,均不相交.试证明对一切正R都旬ax+& + k .4同分析：因为xC R,故|f(x)|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f(x)=a(x-x0)2+f(x0).b” A ac证明：由题意知，aw0.设 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),则 f,。)=.又二次方程ax2+bx+c= x无实根，故Ai=(b+1)2-4ac0,投=(b-1)2-4acv 0.所以(b+1)2+(b-1)2-8acv 0,即 2b2+2-8acv0,即b2-4ac 1.b2 -4ac |ba -4ac|. 1故|6。)月工-|=西厂福,由M-4如.1 成立.说明：从

18、上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径.例10. (2002理)某城市2001年末汽车保有量为 30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为以后每年末的汽车保有量依次为a2,a3.,每年新增汽车x万辆。由题意得 an 1 = 0.94an , x即 an 1 x = 0.94(an - x )0.060.06an =(30 -0.06n 1

19、X)0.94 0.0630令an E60,解得 xE（30 +）父0.0610.94上式右端是关于n的减函数，且当nT8时，上式趋于3.6故要对一切自然数n满足an M60,应有x M 3.6，即每年新增汽车不应超 过3.6万辆例11.已知奇函数f（x）在（-笛,0）= （0,+由）上有定义，在（0,+R）上是增函数，f （1） =0,又知函数 g=sin2 0 +mcosO -2m,6 w 0, ,集合M =品包有g0汴=何恒有（9。）01求M c N分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函 数在闭区间上的最值问题。解;奇数函数f（x）在（0, +的）

20、上是增函数，二f （x）在（-8,0）上也是增函数。又由 f (1) =0得 f (一1) = f (1) =0 :满足 3g0的条件是f(g(u)：二0 = f(-1)储0g(9) -1即g（8） 1（日乏（。，一），即 sin 之日 + mcosB 2m 1,2也即-cos2 m cor - 2m 2 0令 t =cos仇则t w0,1,又设 6 (t) =t2 +mt-2m + 2,0t 1要使6(t) 0,必须使6在0,1内的最大值小于零10当m0即m0时，6max =6(0) =2m+2,解不等式组1m 知m322m+2c0220当0 Em 1即0 Em2寸，6(t)max -m -

21、8m 8,0 m 2m 2-m 1 :二 0得m :二 2解不等式组m2 8m+8 0#4-272 m1即m 2寸，$(t)max = m + 1,解不等式组J / / I max*综上：M - N = mm 4-2 2 :例12.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高 4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。 (1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？ 厂广三一七产五牙(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高 h和拱L 尹 丁 宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？ 1 .求证(1 + )(1 +)*352口-12分析:虽

22、然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形”，它具有较好规律，因此不妨采用构造数列的方法进行解.证明设1=(1 + 2)(1 + ?)口2), bE =72n+l(n2),5 j 211T则问题转化为证明:只需证明数列广是递增数列即可,设1 1 1(1 + -)(1 + -(1 + T)f(n) -一,02。-1 (口2),42口 + 12+1)f(n)(1+如+?+立)(1+奈L油8 +/1(1 +1,-(1 + -)* 71 2口+ 12(。+ D工0(2口十方铀+1)2( 1)J2n + 3即f(n + l)f(n),所以(n)f(2) J1id说明：因为数列是特殊

23、的函数，所以可以因问题的数学结构，利用函数的思想解决.一 ，一一x2 -2x 2例14.已知函数f(x)=x-2X-x 1设 0 x 1,0 t M1,求证:t +x +|t -x | f (tx +1 )|(2)设x是正实数，求证：f (x+1 P - f (xn+1)之 2n -2. TOC o 1-5 h z 分析：本例主要复习函数、不等式的基础知识，绝对值不等式及函数不等式的证明技巧。基 本思路先将函数不等式转化为代数不等式，利用绝对值不等式的性质及函数的性质。 证明(1)再利用二项展开式及基本不等式的证明(2)。2(x -1)2 11证明：(1) - f(x)=二 f(tx+1)=t

24、x+ 一x 7tx,1二 f (tx +1) =tx+&tx tx ；,2=2,当且仅当tx=1时，上式取等号。T0|x 1,0|t| 2I2_22_22i i2_22_22s=(t+x+tx| =2(t +x )+2t -x (t+x+|tx) =2(t +x)+2|t -x当 t 之 x时,s=4t2 4;当1 w|x时s = 4x2 4 . t + x +|t -x 2 f (tx +1)即 t + x + t x f (tx +1)(2) n =1时，结论显然成立 TOC o 1-5 h z f (x - 1) n - f (xn 1) =(x - -)n -(xn , 4)二Cn1x

25、n1 - Cn2xn/ 口 xxxxn _21 rn1 Cn,_n _4 Cn ，-nZ2xx-n-221_ nJ 1_ 1 n_2_ 2 n _4Cn xFCn x F= Cn xCn xxx11/n_21、 2 nx 1、n n_21 x I=7 Cn (x n) Cn(x ). Cn (x )2 ILxxx1_1_2_n_1_2_n n一步Cn Cn-Cn jn Cn Cn =22例15. (2001年全国理)己知i,m,n是正整数，且1 ci w men (1)证明：n1Ami (1 + n)miAmi m m-1 m-2mT 1证明：(1) 对于 i Em.Am =m.(m1)m-i

26、 +1),-r =*.m m m m mn n-1 n-2 n-i 1 .由于 m Am即mAi 日晨 mnm 由二项式定理有(1 -m)n=miCni,(1n)m=、n1cmi，由知 mA. NaJi =0i=0(1 4 5, W =% m&i 才以E mn) TOC o 1-5 h z mm因此 miCniniCmi,又moCno = noCmo = 1,mCn1 = nCm1 = mn, miCni a 0i 2i 2nm(m i (1 +n)m。 i =0i =0七、强化训练.已知非负实数 x, y满足2x+3y8W0且3x+2y7M0,则x + y的最大值是()A. -B. 8C.

27、2D. 333.已知命题p：函数y=log0.5(x2 +2x+a)的值域为R,命题q：函数y = (5 2a)x是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数 a的取值范围是()A. a 1B, a2C. 1a2-a a-x -.解关于x的不等式0 x2-2x -3.求a, b的值，使得关于 x的不等式ax2+bx+a2-1 w 0的解集分别是：(1)-1 , 2; (2)(-8, -1u 2, +8)；(3)2; (4)-1 , +8).解关于x的不等式V1 -a2x a -ax(a 0且a丰1)1 11a6. (2002北东文)数列 &n 由下列条件确定：x1 = a0,xn书=-

28、xn +，n = N2 Ja,(2)证明：对于n至2,总有xn至xn书.7.设P=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1 ,若t在区间-2, 2上变动时，P恒为正值，试求 x的变化范围.8,已知数列 Q的通项为an ,前n项和为Sn,且an是Sn与2的等差中项，数列 M中，b1=1,点 P ( bn,bn+1)在直线 x-y+2=0上。I)求数列本n Hbn加通项公式an ,bnn)设的前n项和为Bn试比较 工+工+.+,与2的大小。B1B2Bn出)设Tn= +. +2，若对一切正整数n,Tn 1= a 2。若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。若p为真，q为假时，无解；若 p为假，q为真时，结果为1a2,故选C.分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用序轴标根法解不等式的基本步骤。本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为(x-aj(x-3j(x+1 )0和比较a与-1及3的大小，定出分类方法。解：原不等式化为：x