空间曲线简介课件

1、高等数学全程教学视频课第59讲空间曲线空间曲线及其方程般地，曲线。上动点M的坐标(x,y,z)都表示为另一个变量E的函数：X = x(t) y = y(t), (a t jg) z = z(t).当t在范围0危范围内变动时，则 产生一条空间曲线c ,称上述方程组 为空间曲线。的参数方程，并称t为参数.如第59讲空间曲线空间曲线及其方程例1设空间一动点M在圆柱面工2 + y2 = r2 .上以等角速度3绕Z轴旋转，同时又以线 速度沿平行于Z轴的正向均匀地上升. 动点M的轨迹称为圆柱螺旋线.试求圆柱螺旋线的参数方程.第59讲空间曲线空间曲线及其方程z圆柱螺旋线的参数方程为:螺距应用案例XX = R

2、cosO, y = RsinO, z = b6.x = Rcos(i)t, y = Rsinst, 、z = vt.=R2x2 + y2v令(Dt = 0,b =(x)Vfo y, z)N(x, yf 0)y 螺距：九=2nb第59讲 空间曲线空间曲线及其方程例2 求空间曲线 r-.x =(p(t),y = p(t),z = a)(t) (a t /?)绕 z轴旋转时的旋转曲面方程.旋转曲面方程为：)cos。,八八、J j- f a t /3 y = J?2(t)+ 寸2(。singly lo 0 2n)(z = a)(t)*二丿 第5 9讲 空间曲线一一空间曲线及其方程例如，X = l,y

3、= t,z = 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为% = 1 + t2 COS0, /_ (_8 t y = y/l + t2 sinQ V 0 0 z = t消去和。，得旋转曲面方程为4(%2 + y2) Z? = 4.旋转单叶双曲面第59讲空间曲线空间曲线及其方程设两曲面的方程分别为：Si：F(”z) = 0,S2G(xfyfz) = 0.空间曲线可视为两曲面的交线：(F(x,y,z) = 0,(G (” z) = 0.这种描述空间曲线C的形式称为空间曲线的一般方程.第59讲空间曲线空间曲线及其方程例如,方程组Z*2 + y2 = L+ 3z = 6表示圆柱面与平面的交线。第59讲空间曲线空间曲

4、线及其方程Z木R1X表示球心在原点，半径为&的球面. 因此，两个球面的交线为一个圆.【例3解】2 +y2 + z2 2Rz = 0 表示球心在(0,0, &),半径为&的球面.*2 + y2 + z2 _ &2 = 0丿第5 9讲 空间曲线一一空间曲线及其方程例3方程组%2 = 0,表示怎样的曲线?(%匕 + ,匕 + _ R匕=0说明：这个圆还可以表示= R2,该曲线的参数方程为V3 V3 1x = -Rcosd, y = -RsinO, z = -R .2 2 2第59讲空间曲线空间曲线及其方程表示怎样的曲线？X例4方程组 【例4解】与%0y面围 成的立体具 有什么特征？第59讲空间曲线空

5、间曲线及其方程Z = J&2 丁2X2 + y2 Rx = 0Z = JR2 _ x2 y2表示球/ 在(0,0,0),半径为R的上半f*2 + y2 一 Rx = o表示准线为xOy 面上的圆X2 + y2 一 Rx = o ,母线 平行于轴的圆柱面.该空间曲线称为维维安尼曲线.设空间曲线厂的参数方程为X = x(t) = y(t) ,Z = z(t)(捉或 tj)由空间点F(x,y z)在xOy,yOz,xOz平面上的投影分别为(x,y ,0)s (0, y, z)、(x, 0, z),很容易求得曲线在各坐标面上的投影曲线.例如，曲线厂在Oy平面上的 投影曲线为x = %(t),。秽：y

6、= y(t), 仕0*1)z = 0第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线设空间曲线的一般方程为F（x,y, z） = 0, G （x 况 z） = 0,由方程组消去Z ,得方程H（的 y） = 0.该方程表示母线平行于z轴的柱面，通过曲线 称该柱面为空间曲线关于xOy平面的投影柱面.投影柱面与%Oy面的交线C：（H（驾）=饥投影曲线 I z = u .第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线设空间曲线的一般方程为(F(x,y, z) = 0,G(x,y, z) = 0同理,由方程组消去X或y后，得到空间曲线关于yOz平面 及zOx平面的投影柱面方程分别为T(y,z) = 0, R(的z) = 0.

7、曲线在yOz平面、zOx平面上的投影曲线方程为；T(yf z) = 0, (R(y, z) = 0, % = 0 . (y = 0 .第59讲 空间曲线投影柱面与投影曲线(2丄 2丄 2 _ 1 + * + % = 1, 在xOy平面上的疽 +(* - I)2 +(Z _1)2 = 1投影曲线方程.【例5解】两方程相减，得y + z = l,将Z = 1 - *代入第一个方程, 得投影柱面方程为X + 2 *2 2 * = 0,投影曲线方程为X + 2 *2 2 * = 0,z = 0.第59讲空间曲线投影柱面与投影曲线例6画出由曲面S| :.+ .1-2二二()与曲面: .Y2 + V2 -

8、 2.v =()以及 xOy面所围成的立体Q在xOy面上的投影区域.【例6解】两曲面的交线的方程为+ y2 2z = 0 , 0, y 0, z 0, x + z l,y2 + z2 1所确定的立体的图形，并画出它在各坐标面上的投影区域.截痕法例8试用截痕法考察椭球面的图形特征.，丿第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面一 - 2 2 2【例8解】椭球面方程为F + % +a b cx2 y2 z2 a2_ 屏一 W 一 ,即椭球面在以平面x-a,y-b,z-c,长方体内.选用三个坐标面截椭球面，截痕分别为三个截痕都为椭圆.用平行于*0y面的平面z =九截取,第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面截痕

9、为2 2 2X乙 N Z匕_L _I-= 1 b2 c22 2 7 2+2L = i_jL疽 b2 c2 h | c)z = h,2 2X Z v -1-=2 丁 2 1 5a c* = 0(2 2E + J2 ,2 ( +匕=1 c2 b2 z = 0.x = 0.L I用y = k(|k| M幻和x = m(|m| q)去截取椭球面，得完全 类似的结果.k2，丿第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面x%2 Z2q2 +1 b2 (|k| M b)y = kfxy2 z2 m2双+ 歹=1_波，(|m|%Q) x = m,丿第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面X /、y例9试用截痕法考察单叶双曲面

10、的图形特征.2 2 2【例9解】单叶双曲面方程为 二1 .a b c 曲面关于三个坐标面、坐标轴和坐标原点对称用面截曲面，截痕为2 2J 如2胪z = 0.为Z = 0平面上中心在原点，半轴G和力的椭圆.用平行于xOy面的平面z = h,截得的截痕为5椭圆z = h.用z。截得的截痕为x2z2C2J = 01,截痕为实轴为轴，虚轴为Z轴的双曲线.第59讲 空间曲线用截痕法研究曲面用平行于zO%面的平面,=kg b）截得的截痕为x1 z2 k1T 点 a c b，=k当k2 b2时,实轴平行于z轴的双曲线.当丁二b时，则交线为一对直线.第59讲空间曲线用截痕法研究曲面例10试用截痕法考察双曲抛物面的图形特征.2 2【例10解】双曲抛物面方程为- += ?. q b用xOy面截曲面时，截得为一对相交于于原点的直线+2-，或一一2一饥二 一丁x第59讲空间曲线用截痕法研究曲面2 2双曲抛物面方程为-丄+ 二二.a b用平面Z = fl,截得的截痕为双曲线X2 J2-F= 0时，实轴平行于y