高三数学专题复习立体几何苏教版知识精讲

1、高三数学专题复习：立体几何苏教版【本讲教育信息】.教学内容：专题复习：立体几何.高考要求：了解：柱、锥、台、球及其简单组合体；三视图与直观图；柱、锥、台、球的表面积和 体积；平面及其基本性质；理解：直线与平面平行、垂直的判定与性质；两平面平行、垂直的判定与性质三.基本内容：1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下表:if 条件 结论 j线线平行线面平行囿囿平行垂直关系线线平行如果 a / b, b / c, 司B么aH c如果a“ a , a二 3 , 3 n a = b, 那么a/ b如果a /3,an y=a,3n丫=b,那么 a/ b如果a a , b1 a ,另B么a b线

2、面平行如果 a/ b, aiZ a , bC a ,那么 a/ a如果 a / 3 , ac a ,那么a / 3囿囿平行如果a二a , be a , cu 3 , d c 3 , all c, b II d, ad b = P,那么 a / 3如果 az a , be a , a A b= P, a / 3 , b / 3 ,那 么 a / 3如果a / 3 , 3Y ,那么a丫如果a a , a 3 ,那么a / 3参件结论线线垂直线面垂直卸回垂直平行关系线线垂直三垂线定理及逆 定理如果a a , ba a ,那么a b如果三个平囿两 两垂直，那么它们 的交线两两垂直如果 a/ b, a

3、c,那么bc线圆垂直如果 ab,ac, b 二 a , c 匚 a , b n c= P,那么a _L a如果a 3 , a A 3 = b, a = a , ab,那么a 3如果a a , b II a,那么 b a卸回垂直定义(二面角等 于 90 )如果a a , aa 3 ,那么3 -L a2、空间元素位置关系的度量(1)角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两 条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理

4、法，棱的垂面法及面 积射影法。(2)距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。3、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题，在 正棱锥中，要熟记由高PO,斜高PM,侧程PA,底面外接圆半径 OA,底面内切圆半径 OM, 底面正多边形半边长 OM构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。P4、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。5、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换(分割，补形，旋转等)，因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量

5、关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。【典型例题】例 1.在正方体 ABCD A1B1c1D1 中，E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中 点，O为AC与BD的交点(如图)，求证：(1) EG/平面BBiDiD; (2)平面BDF/平面 BiDiH; (3) AiO,平面 BDF; (4)平面 BDF，平面 AAiC。F.解析：(1)欲证EG/平面BBiDiD,需在平面BBiDiD内找一条与EG平行的直线， 构造辅助平面BEGO 及辅助直线BO,显然BO 即是。(2)按线线平行 二 线面平行 二 面面平行的思路，在平面 BiDiH内寻找BiDi和O H 两条关键

6、的相交直线，转化为证明：BiDi/平面BDF, O H/平面BDF。(3)为证AiOL平面BDF ,由三垂线定理，易得BD AiO,再寻AiO垂直于平面 BDF 内的另一条直线。 猜想AiOXOFo借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：AiO2+OF22= AiF = AiOXOFo CCi,平面 ACCCiXBD 又 BDACBD，平面 AA iC又BDU平面BDF平面BDF，平面 AA 1c例2.在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M为DDi中点，O为底面ABCD的中心，P为棱AiBi上任意一点，求直线 OP与直线AM所成的角。解析：取P点的特殊点 Ai,连OAi,在底面上过 O作O

7、ELAD于E,连AE OE，平面 ADD1A1, AM A1E根据三垂线定理，得： AM OAi,故直线OP与直线AM所成的角为三2评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路例3.如图，三棱锥 D ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，/ ABC = /BAD =90 ,其腰 BC = a,且二面角 DABC = 60 。D(I)求异面直线DA与BC所成的角的度数；(2)求异面直线BD与AC所成的角的余弦值；(3)求D到BC的距离；(4)求异面直线 BD与AC的距离。解析：(I)在平面 ABC内作AE / BC,从而得/ DAE =60 DA 与 BC 成 60 角(2)过B作BF

8、 / AC ,交EA延长线于F,则/ DBF为BD与AC所成的角由DAF 易得 AF=a, DA =a, Z DAF =i20DF 3-.3 2=a a = a 24=a2+a22a2 ( _1) = 3a2DF = V3 a2在 DBF中，BF = AC= 2 a，cos/ DBF = 1异面直线BD与AC所成角的余弦4值为工4 BAL平面 ADE 平面 DAE，平面 ABC故取AE中点M,则有DM,平面ABC ;取BC中点N,有MN，BC ,根据三垂线定 理，DNLBC3、7 .DN 是 D 到 BC 的距离，在 DMN 中，DM =53 a, MN = a,DN = a BF 仁平面 B

9、DF , AC 0平面 BDF , AC / BFAC /平面 BDF又BD仁平面BDFAC与BD的距离即AC到平面BDF的距离iVA -BDF =-h SBDF , Va -BDF =VbDF 3Sbdf 二 一 AB S. Adf 3ii _, I5 . I5 2=-BD BF sin/DBF = , 2a . 2a =a2i= AF DM 22244由 h 二 AB S-ADF 一S.BDF5a ,即异面直线 BD与AC的距离为 吧a5评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。例 4.如图，在 60 的二面角 a CD 3 中，AC C a , BD = 3 ,且/ AC

10、D =45 , tg /BDC=2, CD=a, AC = x, BD = 75 x,当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距 离。解析:BF 成 60作AECD于E, BFLCD于F,则EF为异面直线 AE、BF的公垂线，AE与 角，可求得|AB| = 7x2 -4ax+a2 ,当x=当 时，|AB|有最小值、；1a。评注:转化为求异面直线上两点间距离的最小值。例5.如图，斜三棱柱 ABCA B C中，底面是边长为 a的正三角形，侧棱长为 b, 侧棱AA 与底面相邻两边 AB、AC都成45角，求此三棱柱的侧面积和体积。解析：在侧面 AB 内作 BDXAA 于D,连结 CD DAB DAC A

11、C =AB , AD = AD , Z DAB = Z DAC = 45ZCDA =Z BDA =90 , BD = CD ,BD AA ； CDAAADBCADBC2是斜二棱枉的直截面，在 RtAADB中，BD = AB sin45 = a 22的周长=BD + CD + BC= ( J5 + 1) a, DBC 的面积= 4a2b(BD + DC + BC) = ( 42 + 1) ab,V= SBC AA =4评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和， 二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积X侧棱长。例 6.在三棱锥

12、 PABC 中，PC=16cm, AB = 18cm, PA= PB= AC = BC= 17cm,求三棱 锥的体积VPABC。解析：取PC和AB的中点M和N-V P SBC - VP SM B Vc -M B - PC S . AM B3在 AAMB 中，AM 2= BM 2= 172 82 = 25 X 9,AM=BM = 15cm, MN 2= 152- 92=24X6 SaAMB = 1 X AB X MN = 1 X 18X12= 108 (cm2),22 VP Abc= 1 x 16X 108=576 (cm3)3评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，

13、这样分割 的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积 相等，等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比，等等。例 7.在直角梯形 ABCD 中，/ A=Z D=90 , ABvCD, SDL平面 ABCD , AB = AD =a, S D= r2a,在线段SA上取一点E (不含端点)使 EC = AC,截面CDE与SB交于点 F。(1)求证：四边形 EFCD为直角梯形；(2)求二面角B EF C的平面角的正切值；(3)设SB的中点为M ,当CD的值是多少时，能使 DMC为直角三角形？请给出证 AB明。解：(1)CD/AB, ABU 平面 SAB . . CD

14、/平面 SAB面 EFCD n 面 sab=ef,CD II EF /D =90 : CD _LAD,xsd_l abcdSD _LCD , CD _L 平面 sad, CD _L ED 又 EF AB CD:EFCD为直角梯形 丁 CD _L平面 SAD,EF / CD,EF _L平面 SADAE _LEF,DE _LEF,./AED 即为二面角 B EFC 的平面角7 ED _LCD ,二 RtACDE 中 EC2 =ED2 +CD2而 AC 2 =AD 2 +CD2 且 AC =EC.ED=AD=O(,二 AADE 为等腰三角形，zZAED =2AD ;Jan ZAED =2,CD ,(

15、3)当 =2时，mmc为直角三角形。 ABAB =a,. CD =2a,BD = AB2 AD2 = 2a, BDC =45二 BC = & BC-L BD ,SD_1平面 ABCD,，SD _LBC,a BC _L平面 SBD。在 iSBD 中，SD =DB,M 为 SB 中点，,MD _LSBomd _L平面 sbc,mcu平面 SBC, ,md _lmc，Admc 为直角三角形。例8.如图，几何体 ABCDE中， ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面 ABC ,且EA=AB=2a, DC = a, F、G 分别为 EB 和 AB 的中点。(1)求证：FD /平面ABC ;(2)求证：

16、AFXBD ;解：(1) F、G分别为EB、AB的中点，一 1 _FG=EA,又 EA、DC 都垂直于面 ABC , FG=DC,2，四边形FGCD为平行四边形，FD / GC,又GC匚面ABC ,FD /面 ABC。 AB = EA ,且 F 为 EB 中点，AF EB 又 FG / EA , EA，面 ABCFGm ABC .G 为等边 ABC, AB 边的中点，AG GCo . AFGC 又 FD/GC, ，AF，FD 由、知 AF，面 EBD，又 BD U 面 EBD ,AF BD o1 , P、Q分别是线段ADi和BD上的点,例9.如图，正方体 ABCDAiBiCiDi的棱长为且 D

17、P : PA=DQ : QB = 5 ： 12.(1)求证 PQ/平面 CDD 1cl ；(2)求证 PQXAD ;(3)求线段PQ的长.解：(1)在平面AD 1内，作PP1 / AD与DD 1交于点P1 ,在平面AC内，作QQ1 / BC交CD于点Q1 ,连结P1Q1OOF DQ 5pl=efl=i2 PP14QQ1.PQ/ P1Q1 ,而 P1Q1 二平面 CDD1c1 ,由四边形PQQ 1Pl为平行四边形，知所以PQ /平面CDD 1cl(2) 丁 AD,平面 D1DCC1 ,ADLP1Q1 ,又PQ/ P1Q1, . ADPQ。(3)由(1)知 P1Q1 -PQ,也！=史_=&,而棱长

18、CD = 1。，DQ1=勺。同理可求得P1D=12oQ1c QB 121717在Rt4P1DQ 1中，应用勾股定理，得 P1Q1= 1RD2 +DQ2 = J但+应1=13。晨 17) 17；17作为本题的深化，我们提出这样的问题：P, Q分别是BD, AD1上的动点，试求 PQ的最小值，请应用函数方法计算，并与如下 2002年全国高考试题作一对照，可以得到一些启不 例10.如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若 CM = BN=a, (0 a J2)。a的余弦值。(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的

19、长最小;(3)当 MN解析：立体几何知识是复习耗时较多，而考试得分偏低的题型。只有放低起点，依据课 本，熟化知识，构建空间思维网络，掌握解三角形的基本工具，严密规范表述，才能突破解 答立几考题的道道难关。解：(1)作MP / AB交BC于点P , NQ / AB交BE于点Q ,连结PQ ,依题意可 得MP / NQ ,且MP = NQ ,即MNQP是平行四边形。MN = PQ由已知 CM = BN = a , CB = AB = BE = 1AC =BF =：J2 , CP =BQ = 2a 2MN =PQ =J(1 -CP)2 BQ2上2 21(2)由(1) MN = (a - 2)2 %所

20、以，当a =时，MN .二22即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 、22(3)取MN的中点G ,连结AG、BG , AM = AN, BM = BN , G 为 MN 的中点AG _L MN ,BG _L MN ,即ZAGB即为二面角的平面角 a又 AG -BG由余弦定理有,cos 一:6 6 26 6 2(丁(7 一1，一,一 ，一、一，1故所求二面角a的余弦值为_13例11.在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形。这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的， 并且这三个四边形也全等， 如图。若用剩下的部分折成一个无盖的正 三棱柱形容器，如图。则当容器的高为多少

21、时， 可使这个容器的容积最大，并求出容积的 最大值。图图解：设容器的高为x。则容器底面正三角形的边长为a -2v3x ,r 9x (a -2 3x) (0 :二 x. V(x)=344443x (a 2 , 3x)(a 2 3x)4 4.3 TOC o 1-5 h z ,1 ,4 3x a -2 3x a -2 3x、3 a3 三一()=一 16354,3当且仅当 4M3x =a-243乂 即* =a日f, Vmax =. 1854故当容器的高为 逅a时，容器的容积最大，其最大容积为h1854 .2002 年三角函数的最值问题用导数求解最方便，不妨一试.另外，本题的深化似乎与全国高考文科数学压

22、轴题有关.类似的问题是：某企业设计一个容积为 V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省(即容器的表面积最小)例12.如图所示，等腰 4ABC的底边AB = 6j6,高CD = 3 ,点E是线段BD上异于点B, D的动点，点F在BC边上，且EF AB ,现沿EF将 BEF折起到 PEF的位置，使PE，AE ,记BE = x , V(x)表示四棱锥 P -ACFE的体积.求V(x)的表达式；当x为何值时，V(x)取得最大值？当V(x)取得最大值时,求异面直线 AC与PF所成角的余弦值C TOC o 1-5 h z x2.6 2解：

23、1由折起的过程可知，PEL平面ABC, S逸bc =946 , S也ef = 8*dc =Jx:54 ,:12/6 仆 12、V (x) = x(9 x ) (0 x 0 , V (x)单调递增；6x3v/6 34时，V(x)c0, V (x)单调递减；因此 x=6时，V (x)取得最大值12、公；(3)过 F 作 MF/AC 交 AD 于 M ,则tF-E =E=,MB 鎏2=PM = 672 ,A C D1A口AB2 TOC o 1-5 h z 6，：距 -MF =BF =：PF : =BC ,54 9 二 , 42 ,3.63在 PFM中，cos/PFM =84 72 =-，异面直线 A

24、C与PF所成角的余弦值为 -。4277【模拟试题】.如下图中“斜二测”直观图所示的平面图形是.设l, m, n均为直线，其中 m , n在平面a内，“ l _Lct ”是“ l _L m ”且“ l _L n 的 条件。.设l,m,n表示三条直线，3,B,Y表示三个平面，给出下列四个命题，其中真命题是O若l _L 口，m _L久，则l m ;若muP,n是l在口内的射影，m _L l ,则m _L n ; 若mua,mn ,则na ；若尊1工H 1尸，则aP .已知某个几何体的三视图如下(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm),可得这个几何体的体积是 cm3.已知PA _L正方

25、形ABCD所在的平面，垂足为 A ,连结PB, PC, PD, AC,BD ,则互 相垂直的平面有 对。.下列命题中正确的个数有 (1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行 .如图，正方体 ABCD AiBiCiDi中，对角线BD1与过A、D、C1的平面交于点 M ,则 BM : MD i=.直三棱柱 ABCAiBiCi的体积为V,点P、Q分别在侧棱 AA和CC1上，AP=C1Q,则 四棱锥BAPQC的体积为.下面命题中，正确结论有 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两

26、条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.下面条件中，能判定直线L平面a的有,与平面a内的两条直线垂直，与平面a内的无数条直线垂直与平面a内的某一条直线垂直点与平面a内的任意一条直线垂直.在正四面体 P-ABC中，D, E, F分别是AB, BC, CA的中点，下面四个结论中不. 成立的有EBC平面PDFDFPAE平面PDF，平面 ABC 平面PAE，平面 ABC.如图，在正方形 SGiG2G3中，E, F分别是G1G2, G2G3的中点，D是EF的中点，现 沿SE, SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使 Gi, G2, G3三点重合于点 G,这样，有 下列五个结