高三数学空间直线与平面通用版知识精讲

1、高三数学空间直线与平面通用版【本讲主要内容】 空间直线与平面空间直线与直线间关系、直线与平面间关系、平面与平面间关系 【知识掌握】【知识点精析】1.（一）平面的基本性质和空间的两条直线 平面的基本性质公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.（如图1)线.公理（如图图12如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直公理3* B（如图3）推论图3经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面（如图推论经过两条相交直线，有且只有一个平面.（如图5)b推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.（如图6）说明：公理1是研究直线与平面的关系， 公理

2、2是研究平面与平面的关系， 公理3及三 个推论是研究有关确定平面的条件.公理中的“有且只有一个”的含义是“既存在且唯一”.2.空间中两条直线位置关系平行一一在同一平面内，没有公共点；相交在同一平面内，有且仅有一个公共点；平面不同在任何一个平面内.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.说明：公理4反映了平行线的传递性， 它是证明等角定理的基础， 也是论证平行问题的 主要依据之一.3.异面直线的判定及异面直线构成的角与距离(1)异面直线的判定方法主要有：定义法：不同在任何一个平面内的两条直线；定理法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.(2)求两条异面直线所成的

3、角的一般步骤：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使它们成为相交直线.这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中的某一条上的特殊点.求相交直线所构成的锐角(或直角，)通常在三角形中，计算这个角的大小.(3)异面直线间的距离是指它们的公垂线的长度.公垂线的确定方法：既相交又垂直.(二)空间的直线与平面.直线与平面的位置关系(1)直线在平面内；(2)直线与平面平行；(3)直线与平面相交；相关概念一一直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和平面所成的角.直线和平面垂直直线与平面所成的角是直角.直线和平面平行或直线在平面内一一直线与平

4、面所成的角是0的角.直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.a / a, a匚3, aC=b= a/ b直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.即：a/b, a，b= = all.直线和平面垂直的判定与性质(1)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直于这个平面.即：a- a, b二/且a,b相交，la, l,bn l a .(2)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，

5、那么这两条直线 平行.即：a a, b a= a / b.(3)三垂线定理及逆定理：在平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直的充要条 件是它和这条斜线的射影垂直.即：PA、PO分别是平面”的垂线、斜线，AO是PO在平面a上的射影，a匚% a,AOU a PO.注：三垂线定理及其逆定理， 揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，其实质是平面内的一条直线与平面的一条斜线（或斜线在平面内的射影）垂直的判定定理.（三）空间的平面与平面.平面与平面的位置关系：（1）平行一一没有公共点；（2）相交一一有且仅有一条公共直线 .平面和平面平行的性质与判定（1）判定两个平

6、面平行的方法：）根据定义一一证明两平面没有公共点；）判定定理一一证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；证明两平面同垂直于一条直线。（2）两个平面平行的主要性质：由定义知：“两平行平面没有公共点”。由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。夹在两个平行平面间的平行线段相等。经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。注：以上性质在课本中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。.平面和平面垂直

7、的判定与性质（1）判定两个平面垂直的方法：根据定义一一利用二面角为直角；）判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.注：解决面面垂直的问题的关键是转化为线面垂直的问题.（2）两个平面垂直的主要性质性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面.如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.说明：有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中， 大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等 ）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先

8、应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过 较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中 解决问题的规律一一充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力.【解题方法指导】例1.如图1,已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1, A1B1, BC, CD, DA , DE, CL 的中点。（1）求证：EFXGF; （2）求证：MN /平面 EFGH ;N肝图1解：(1)如图2,作GQBiCi于Q,连接FQ, 则GQ，平面AiBiCiDi,且Q为BiCi的中

9、点。 在正方形AiBiCiDi中，由E、F、Q分别为AiDi、AiBi、BiCi的中点可证明 EFXFQ,由三垂线定理得 EF GFo图2(2)连 DG 和 EG。N为CL的中点，由正方形的对称性，N也为DG的中点。在4DEG中，由三角形中位线性质得MN / EG,又EG二平面EFGH , MN0平面EFGH ,MN /平面 EFGH。例2.如图，在正三棱柱 ABC-A iBiCi中，EC BBi,且BE=EB i,求证：截面 AiEC,侧面ACi证明：取AC中点F,连结BF ,作FG / AA i交AiC于G ,连结GE.Ex因为 FG/ AA，F是AC中点，所以FG1AAi，2又因为 正三

10、棱柱ABC-A1B1c1,所以 AA 1BB1,又因为BE= 1 BBi,所以FGBE,所以四边形FGEB是平行四边形.2所以 BF/GE.又因为正 ABC ,所以 BFXAC ,又因为 AAL面ABC所以 AA i BF,因此 BFL面ACi,所以 GEL面ACi,所以 面AEC，面ACi.【考点突破】【考点指要】立体几何是中学数学的重要内容，它在培养和考察学生的思维能力、运算能力、空间想象能力以及解决实际问题的能力方面具有独特的作用，因此也是高考重点考察的内容。考察的重点与热点主要是线线、线面、面面的平行与垂直的判断、推理，主要是数学语 言、图形语言、符号语言的密切结合及相互转化，根据概念

11、、性质、公理、定理进行逻辑推 理和论证。从2006年全国及各个省市的考题看立体几何的高考命题有以下特点：(I)题型和题量较稳定， 一般是二选一填一解答，分值占总分的20%,文科要求降低。(2)选择题、填空题注重符号语言、文字语言、图形语言在推理中的运用，更重视概 念明确、关系清楚、基本运算熟练等。(3)解答题形成了以下规律，一般将几何元素集中于一个几何体中，即以一个多面体 或旋转体为依托设置几个小问题，设问形式以证明或计算为主，也有时设置一些开放性的问题，每个小题之间有一定的联系，在突出考察逻辑思维能力的前提下，将空间想象能力和运算、推理能力相结合进行考察。【典型例题分析】例1. (06上海I

12、4题)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的()A.充分非必要条件B,必要非充分条件C,充分必要条件D.既非充分又非必要条件答案：选A例2. (2006上海理I0题)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成 一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成 的“正交线面对”的个数是 .解析：条棱都与两个平面垂直共有I2X2=24个，正方体每个面的一条对角线都与一个对角面垂直，共有I2个，故符合题意的“正交线面对”共有 36个.例3. (06北京文i7)如图，ABCD ABQiDi是正四棱柱.(I)求证：B

13、D_l平面 acga；(II)若二面角 GBDC的大小为60,求异面直线BG与AC所成角的大小.DiAiBiCCiDiAiBiDCAOB设 BC=a,则 CO =a , CCi =CO tan 60 2；6i0AiB =BCi =a ,2ACi =/2a .在ABCi中，由余弦定理得，cosABiCi222AG2 BCi2 - AB；2ACi BCi解法一：(I) : ABCD ABCiDi 是正四棱柱，二 CCi，平面 ABCD BD CCi , A ABCD 是正方形，:.BD AC .又/ AC, CCi c 平面 ACC1A，且 AC A CCi = C , 二 BD，平面 ACGA

14、.(n)设BD与AC相交于O ,连结CiO .CiC CCi，平面 ABCD, BD AC , a BD CiO .二/ CiOC 是二面角 CBD-C 的平面角./ CiOC = 60 . 连接 AB. ；ACi/AC, 二/ACiB 是 BG 与 AC 所成角.ACiB =arccos，二异面直线BG与AC所成角的大小为arccos 55解法二：(I)建立空间直角坐标系 D-xyz,如图.A(a,0,0) B(a, a,z设 AD =a , DD1 = b ,叱C(0, a,0) % a, b),二 BD = (a, a,0) AC = (a, a,0) CG = (0,0, b),BDA

15、C=0, BD CC1 =0二 BD_L AC, BD _L CC1 .OCi(II )设BD与AC相交于O ,连接CiO ,a a -则点O坐标为.,0 ,2 2a a .=,一 bl.,2 2BD CC； =0 , :. BD J_CiO,又 BD ICO ,二/ CiOC是二面角Ci-BD-C 的平面角/ CiOC = 600., ,CCi. tanCQC =-2OCb6 - v 3 , r. b - a .22a2；Ac =(-a, a,0)Bj = (-a,0, b), . . cos=AC BCi _5AC BCi _ 5又；AC, CCi=平面 ACCiA,且 ACACCi=C,

16、，BD _L 平面 ACGA .异面直线BCi与AC所成角的大小为arccos.5【综合测试】一、选择题：i.如图，在正方体 ACi中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱 DD、D1Ci的中点,则直线OM( )A、是AC和MN的公垂线C、垂直于 MN，但不垂直于ACB、垂直于 AC,但不垂直于 MND、与AC、MN都不垂直CiAnCEM kDiBi2.下列命题中，正确的是( A、若直线a平行于平面)a内的一条直线b,则a/aB、若直线a垂直于平面a的斜线b在平面a内的射影，则abC、若直线a垂直于平面a ,直线b是平面a的斜线，则a与b是异面直线D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等

17、，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥.过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A、18 对 B、24 对 C、30 对D、36 对.设8 氏为平面，m、n、l为直线，则m _L 0的一个充分条件是（）A、1 _ ：,；: =l,m_lB、二. 二m,r, I ；,C I ；,二 I ； , m I,，D n - ： , n ,1 ,-, m - 二二、填空题.如图，正方体 ABCD-A iBiCiDi中，下列各对直线（1） DB与AC ; （2） DiB与A1C1；（3） DiB与ABi； （4） DiB与BiC.其中互相垂直的是 .不共面的四个定点到平面 豆的距离

18、都相等，这样的平面 汽共有 个.给出下列关于互不相同的直线m、1、n和平面“、3的四个命题：若mu%1ma =A,点A宓m,则1与m不共面；若m、1是异面直线，1 。，m。,且n _L 1, n _L m,则n _L 口 ；若1%mBp 氏则1m； 若1 uo（,muo（，门mA,1 P,m P,则口 P.其中 为 假命题 的 序号是三、解答题：.设AB是。的直径，P是平面。O外一点，PCXOO, C是。上一点.求证：面 PACXM PBC. （2006 北京理 17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P ABCD中，AB AC , PAL平面ABCD , 且PA = AB,点E是PD的中点.(I)求证：AC PB ;(n)求证：PB /平面AEC 。参考答案一、选择题：A由三垂线定理得 OMLAC,求出 OM、MN、ON的长，得 OM，MND 提示：可用排除法选出选项B 提示：2M3+6父1+6M2D 提示：注意充分条件而不是充要条件 二、填空题DiBAiCi DiBXABi DiBBiC DiBXAC提示：连结BD,因为正方体 ACi,所以ACXBD , AC匚平面ABCD . DD,平面ABCD. 由三垂线定