线性代数第五章相似矩阵与二次型课件

1、 第五章 相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念定义1内积一、内积的定义及性质(Inner product) 内积的运算性质施瓦茨不等式定义2 令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)单位向量夹角1.2. 正交、正交向量组的概念(orthogonal)正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组2 方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质说明一、特征值与特征向量的概念定义1 设 A 是 n 阶矩阵,若数 和 n 维非零列向量 x

2、 使关系式 A x = x 成立,则称数 为方阵 A 的特征值,非零列向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量.2. 特征值问题只对方阵而言 .二、特征值与特征向量的求法求方阵 的特征值与特征向量的步骤：解例1 求方阵 的特征值与特征向量的步骤：例 解例 设求A的特征值与特征向量解得基础解系为：例 证明：若 是矩阵 A 的特征值 , x 是 A 的 属于 的特征向量，则证明再继续施行上述步骤 次，就得例5例6三、特征值和特征向量的性质1.2.3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的

3、性质证明定理3推论 若 阶方阵A与对角阵定理三、利用相似变换将方阵对角化定理4 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等，则 与对角阵相似推论说明：如果A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A还是能对角化（A与对角阵相似的充分条件）例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故 不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以 可对角化.注意即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应例 3设问x为何值时，矩阵A能对角化？解：得所以 4 对称矩阵的对角化问题：

4、什么样的矩阵可以进行对角化？答案：对称矩阵可以对角化5 二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩一、二次型及其标准形的概念例如都为二次型 . 称为 n 元二次型, 简称二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）例如为二次型的标准形.称为二次型的规范形 例如为二次型的规范形. p: 正惯性指数r - p: 负惯性指数2p-r : 符号差二、二次型的表示方法用矩阵表示三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系解例

5、2所求矩阵为二次型的标准形的矩阵为对角矩阵三、合同矩阵7 正定二次型一、正定二次型的概念二、正(负)定二次型的判别为正定二次型为负定二次型一、正定二次型的概念例如二、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵 A 为正定的充要条件是： A 的 特征值全为正定理11(霍尔维茨定理)对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正，即对称矩阵 A 为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即例1 判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故 f 是正定二次型 .例,问二次型是否正定？正定矩阵具有以下一些简单性质例2 判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，例3 判别二次型的正定性.解例4解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)