测量误差和测量结果处理课件

1、第2章 测量误差和测量结果处理2.1 误差2.2 测量误差的来源2.3 误差的分类2.4 随机误差分析2.5 系统误差分析2.6 系统误差的合成2.7 测量数据的处理习题二2.1 误差学习误差的必要性：测量误差的存在具有必然性和普遍性学习误差的意义：减小误差，获得尽可能接近真值的测量结果学习误差的内容：误差产生的原因、误差的性质、减小误差的方法等一 、误差二、 误差的表示方法三、容许误差（仪器误差）主 要 内 容一 、误差测量误差指测量仪器仪表的测得值与被测量真值之间的差异。 绝对真值：真值A0 (理论值、指定值As) 相对真值：实际值A(上一级标准所体现的值） 注意：真值A0一般无法得到，可

2、用实际值A代替真值。相对真误差(相对误差)二、 误差的表示方法有绝对误差和相对误差两种表示方法：绝对误差 相对误差 实际相对误差 示值相对误差引用误差(满度相对误差) x测得值，A0被测量真值， A实际值xm仪器量程内最大绝对误差，xm测量仪器满度值应用中的注意事项：误差与精度的关系绝对误差与修正值满度相对误差与电工仪表的准确度等级S的划分 绝对误差和相对误差的区别绝对误差相对误差单位有无符号有有适用对象对同一被测量可反映测量精度的高低，对不同被测量则不能反映对同一被测量和不同被测量均可反映测量精度的高低表示表明测量结果的准确程度时，将测得值与绝对误差一起列出。例如：(301)0c直接可表明测

3、量结果的准确程度例如：0.01%绝对误差和相对误差的区别负值xA ：表示范围300c-10cT300c+10c即290cT310c【例2.1】测量两个电压，分别得到它们的测量值为U1x=103V，U2x=8V，实际值为U1=100V，U2=10V 求两次测量的绝对误差和相对误差。解：两次测量的绝对误差、相对误差分别为 U1=U1x U1 =103100 =3V U2=U2x U2 =810 =2V A1 =3/100=3% A2 =2/10=20% 请根据绝对误差与相对误差的定义说明：绝对误差与(实际)相对误差之间的关系。答案：绝对误差与(实际)相对误差之间的关系：绝对误差等于实际值与相对误差

4、之积。思考题：误差的符号反映测得值与被测量实际值间的偏离方向；如：负值xA 2.误差与精度的关系误差的绝对值大小反映测得值与被测量实际值间的偏离程度；误差绝对值越小，精度越高；误差绝对值越大，精度越低(与误差的符号无关) 。如：相对误差0.01%比0.008%的误差大、精度低【例2.1】测量两个电压，分别得到它们的测量值为U1x=103V，U2x=12V，实际值为U1=100V，U2=10V ，哪一次测量电压的精度较高？两次测量的绝对误差、相对误差分别为 U1=3V， U2 =2V A1 =3%， A2 =20% 所以，第一次测量电压的误差较小、精度较高解：不同被测量，以相对误差比较： |A1

5、|=3%|时纯粹随机误差：当|极小或修正系差(x=A|)估计综合影响：当|、|相差不远时2.4 随机误差分析设对被测量x进行n次等精度测量，得到n个测得值：x1，x2，x3xn且这些测得值中不含粗大误差和系统误差 多次等精度测量时产生的随机误差及测量服从统计规律。一、 测量值的数学期望和标准差二 、随机误差的正态分布三 、有限次测量下测量结果的表达1.测量值的数学期望测量值的数学期望理论(n ) 实际(n为有限值) 应用 测量值的数学期望： 以 代替测量真值A，并作为最后测量结果 测量值的算术平均值： 测量值的随机误差理论(n ) 实际(n为有限值) 残差（剩余误差）应用 1.以 代替 来估计

6、测量值的随机误差2.验证算术平均值和残差计算是否正确测量值的标准差(标准偏差) 理论 (n ) 实际(n为有限值) 应用 2.测量值的方差以 代替 估计单次测量值的精密度，描述测量值或随机误差的分散程度，单位与误差同，其值越小，精密度越高标准差估计值(贝塞尔公式) (均方根误差) n Ux1i Ux2i Ux3i .1 510.4 511.2 509.4 .2 509.8 510.3 510.0 .3 509.7 510.4 511.2 .4 509.6 509.9 509.5 .5 510.3 510.0 509.7 .6 510.0 509.4 511.2 .7 509.9 508.8 5

7、10.4 .8 510.2 509.1 510.3 .9 510.2 511.1 509.4 .10 510.2 510.0 510.1 .算术平均值的标准差510.03 510.02 510.10 . . 510.03 510.02 510.10 . 在相同条件下对同一被测量作多组(m)重复的系列测量，各个测量列的算术平均值不相同，围绕着真值有一定的分散。设被测量真值为:注：表中单位为V算术平均值的标准差理论(n ) 实际(n为有限值) 测量值的算术平均值标准差应用 描述算术平均值与真值间存在的随机误差的分散程度 注：习惯上，将 写成 ，将 写成3.随机误差的正态分布的正态分布曲线 的正态分

8、布曲线概率密度函数：正态分布随机误差的特点：有界性对称性抵偿性单峰性注： 越小，随机误差的分散性越小，精密度越高，测量值比较集中 单峰性 单峰性：随机误差呈正态分布时，绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小。的正态分布曲线极限误差:意味着370次测量中有1次测量的随机误差可能落在 以外。4.有限次测量下测量结果的表达【例2-5】对某电压进行10次等精密度测量，利用修正值对测量值进行修正后，设粗大误差已剔除，具体数值如表(电压单位为V)，要求对测量数据进行处理。 n Uxi i i21 510.4 0.41 0.16812 509.8 -0.19 0.03613 509.7 -0

9、.29 0.08414 509.6 -0.39 0.15215 510.3 0.31 0.09616 510.0 0.01 0.00017 509.9 -0.09 0.00818 510.2 0.21 0.04419 509.9 -0.09 0.008110 510.1 0.11 0.0121解：(1)由测量值Uxi求算术平均值、剩余误差i及i2，将计算结果填入表中。(2)计算标准差估计值(3)计算算术平均值标准差的估计值和不确定度(4)测量结果的报告： n Uxi i i21 510.4 0.41 0.16812 509.8 -0.19 0.03613 509.7 -0.29 0.08414

10、 509.6 -0.39 0.15215 510.3 0.31 0.09616 510.0 0.01 0.00017 509.9 -0.09 0.00818 510.2 0.21 0.04419 509.9 -0.09 0.008110 510.1 0.11 0.0121(贝塞尔公式)5.粗差的处理设一组测量值中，不包含系统误差，可能包含粗差和随机误差；如果测量值中包含粗差，该测量值为坏值，应予以剔除(判断方法常用莱特准则)。莱特准则：使用条件：随机误差的统计分布规律服从正态分布 测量次数大于10次，即 n10 等精度测量判别方法：第i个测量值xi所对应的残差的绝对值大于3 (即|i|3)，则

11、该测量值包含粗差，其所对应的测量值xi为异常值或坏值，应剔除不用。注意：若有多个可疑数据同时满足|i|3 ，应逐个剔除，重新计算算术平均值和标准差，再判断，直到剔除所有的坏值。正态分布随机误差【例2-6】对某电压进行了16次等精密度测量，测量数据中已计入修正值，无明显系统误差，列于下表。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。验证解：(1)由测量值xi求算术平均值、剩余误差i及i2，将计算结果填入表中。(2)计算标准差估计值(3)判断粗大误差由莱特准则判断有无|i|31.3302V ，查表中第5个数据51.35V 3，应将此对应 x5=206.65V视为坏值加以剔除，现剩下15个数据。|5|3坏

12、值(4)重新计算剩余15个数据的平均值：(5)重新计算各残差i 列于表中；并重新计算标准差(6)按莱特准则， 再判断有无坏值，各 ，则认为剩余15个数据中不再含有坏值。(7)计算算术平均值标准偏差(估计值)：(8)写出测量结果表达式： 重复(1)(2)(3)步不再含有坏值2.5 系统误差分析排除粗差后，测量误差等于系统误差 和随机误差 的代数和。通常，系统误差分析涉及以下部分：一、消除系统误差产生的根源 二、系统误差的判断 三、消除或减弱系统误差的典型测量技术 四、消除或减弱系统误差的其他方法 分析系统误差、减小系统误差是测量仪器设计的基本任务，是提高测量精度的主要途径。 测量仪器性能的提高主

13、要是系统误差的减小。 系统误差分析的意义：一、消除系统误差产生的根源测量方法正确；选择正确的测量仪器；正确使用仪器。 注：如真值一样，系统误差及其原因不能完全获知。二、系统误差的判断 恒定系统误差：恒值变值系统误差：有规律的变化系差具有确定性、可复现性。1.恒定系统误差的判断理论分析法校准和比对法改变测量条件法实验对比法1.恒定系统误差的判断（续）注意： 各次测量绝对误差的算术平均值等于系差，不能通过多次测量取平均值消除系统误差。或无法通过统计方法来检查是否存在恒值系统误差xi=A+ (a) (b) (c) (d)2.变值系统误差的判断剩余误差观察法 变值系统误差的判断 无 系 差 累进性系差

14、周期性系差复杂规律系差公式判断法：马林科夫判据、阿卑-赫梅特判据三、消除或减弱系统误差的典型测量技术零示法 替代法 对照法 微差法问题的提出：解决的典型技术：问题的解决：如何消除或减弱系统误差？消除或减弱系统误差被测量标准量1. 零示法零示法原理图电位差计原理图零示器零示器例子：测量电位。零示器惠斯登电桥2. 替代法仪器的示值不变 标准电阻替代被测电阻例子：测量电阻。替代法(a)惠斯登电桥3. 对照法对称性 例子：测量电阻。(b)4. 微差法微差式测量法示意图【例2-7】如图是一个用微差法测量未知量Ux的电路，标准电压Us为相对误差0.1%的9V稳压源，若被测电压标称10V,要求测量误差Ux/

15、Ux0.5，电压表量程为3V,问选用几级表可以满足测量要求？解：示值相对误差示值绝对误差：满度相对误差：选量程3V的一级表（s1.0）即可四、消除或减弱系统误差的其他方法1.利用修正值或修正因数加以消除2.智能仪器中系统误差的消除 1.利用修正值或修正因数加以消除 实际测量中，可利用的修正值或修正因数来自测量仪器检定书给出的校正曲线、校正数据或说明书中的校正公式，然后用下式进行修正：A = x + c（ c 为修正值）【例2-8】现校准一个量程为100mV，表盘为100等分刻度的毫伏表，测得数据如下，请将U和c填在表中。实际值A 仪表刻度值(mV) 0 10 20 30 标准仪表示值(mV)

16、00 99 202 304 绝对误差U (mV) 修正值c(mV) 测量值xUx Ux UAc Ux 当Ux=10mV, UA9.9mV时Ux 109.9=0.1mV解：0.0 0.1 0.2 0.40.0 0.1 0.2 0.4?A=x+c（c为修正值）如：Ux=10mV,c0.1mVUA=100.1=9.9mV2.智能仪器中系统误差的消除 (1)直流零位校准（相当于调零）显示值=测得值直流零电压数值其中直流零电压数值被存贮在校准数据存贮器中。这种方法广泛用于数字电压表中。直流零电压输入端直流短路时的输出电压(2)自动校准利用微处理器实现自动校准或修正。 运放的自动校准原理注：P(R1+R2

17、)/R2闭环增益，等效失调电压模拟电路部分的漂移、增益变化、放大器的失调电压和失调电流等都会给测量结果带来系差等精度测量数据的处理步骤1.计算数字特征量：算术平均值(残差) ；标准差的估计值(贝塞尔公式)2.判断有无粗差，如果有就剔除，重复1步，直至剔除所有的坏值：莱特准则（ 3准则）3.判断有无变值系差(若有恒定系差用修正值修正) 剩余误差观察法 4.若无系差，计算算术平均值标准差的估计值5.算术平均值的不确定度：6.给出测量结果的报告值： 无系差2.6 系统误差的合成间接测量中，被测量y与直接测量量x1、x2.xn，它们满足函数关系 且各xi间彼此独立 如频带宽度BW=fhfl，已知fh和

18、fl的误差，BW误差？xi绝对误差为xi，y的绝对误差为y，则得系统误差合成公式 ：或（当各分项的符号不确定时，各分项取绝对值） 1.常用函数的合成误差 函数关系 系统误差合成公式 和 差函数和函数差函数 积 商 幂函数 (k为常数）当xi的符号确定时 当xi的符号不确定时 【例2-9】电阻R13k ， R22k ，相对误差分别为5、 10 ， 求串联后等效电阻的相对误差。解：串联后的等效电阻串联后等效电阻的相对误差方法一：方法二：1)含义：系统误差可能变化的最大幅度。如测量仪器的基本误差、工作误差等都属此类。2)系统不确定度的合成法：(相对系统不确定度)应用：用系统不确定度分析仪器测量误差。

19、2.系统不确定度 均方根合成法：【例2-9】电阻R13k ， R22k，相对误差分别为5、 10 ， 求串联后等效电阻的误差范围。均方根合成法解：绝对值合成法绝对值合成法：结论：一般地，均方根合成误差比绝对值合成误差要小。2.7 测量数据的处理因为有误差，测量和计算的值是近似值。有效数字2. 数值修约舍入规则4. 有效数字的运算规则 1.有效数字规定：用近似数表示一个量时，为了表示确切，通常规定绝对误差的误差值不超过其末位的半个单位。0.5误差原则： 若这个近似值的末位数字是个位，则它包含的绝对误差值不大于0.5，若末位数字是十位，则包含的绝对误差值不大于5。如某电压测量报告值为1V，表示其绝

20、对误差0.5V 1.0V，表示其绝对误差0.05V有效数字对于其绝对误差不大于末位数字一半的数，从它左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（包括零）为止，都叫做有效数字。注意：“0”的意义。如 302.0 四位有效数字， 3200 四位有效数字 0.032 二位有效数字， 3.2103 两位有效数字有效数字的位数反映了误差的大小。多写则夸大了测量的准确度，少写则带来附加误差。注意：有单位的数字更需注意记录的方法32000 mV 五位有效数字，绝对误差0.5mV32103 mV 二位有效数字，绝对误差0.5103 mV 0.5V【例2-10 】用一台0.5级电压表100V量程档测量电压，电

21、压表指示值为85.35V，试由误差确定有效位数。 解：该表在100V档最大绝对误差由“0.5误差原则”，则测量值最末位有效位为个位，即保留到个位，所以有效位数为两位。请思考：怎样表示此电压测量报告值？85？2. 数值修约问题：测量仪器的误差为0.02V，测得数据为4.4712V，其结果应该写为多少？(1)数值的修约 指把数值中被认为是多余(或无效)的部分舍弃。(2)修约间隔 确定修约保留位数的一种方式。修约值为修约间隔量值的整数倍。如修约间隔为10，相当于将数值修约到“十”位数。(3)在数值修约过程中要注意以下几点：对测量结果修约时，先确定修约间隔而后得出其有效位数。如 测量仪器的误差为0.0

22、2V，测得数据为4.4712V，其修约间隔为0.01V。带有单位的测量值，有效数字应和绝对误差取齐如 4.470.02V解：修约间隔为0.1V,即有效位保留到小数点后1位，且有效数字应和绝对误差取齐，故表示为： 85.40.5V【例2-10 】用一台0.5级电压表100V量程档测量电压，电压表指示值为85.35V，带误差的测量结果应该写为多少? 不标注误差的测量报告值应该写为多少？ 由0.5误差原则，有效位数为两位，则测量报告值为85V3.舍入规则 数字的舍入规则： 当保留n位有效数字，其后面的数值“小于5舍，大于5入，等于5时取偶数”。【例2-11】将下列数字保留3位有效数字：45.77，3

23、6.251，43.143，38050，47.15，3.995解：保留后的数字如下45.8，36.2，43.1，3.80104，47.2，4.0045.77 45.8 (75，进一)36.251 36.2 (2是偶数，5舍)43.143 43.1 (44时，测量值的两个误差限同的均匀分布的误差之和仪器分辨率、调谐不准致误差、信息不全具有随机相位的正弦信号相关误差注：置信概率高于99%3. 合成标准不确定度uc 当各分量彼此独立时：（均方根合成法）4.扩展不确定度U确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。覆盖因子(或包含因子)为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。 注：