原来课还可以这么上（湖州市吴兴区爱山小学　余仙凤）

1、 PAGE 12原来数学课还可以这么上 三角形的认识一课的磨砺与思考 浙江省湖州市爱山小学 余仙凤 拟订预案：忧心忡忡2010年6月份，我很荣幸被推荐在浙江省小学数学和科学新课程疑难问题解决专题研训活动中上研究课，内容为人教版四年级下册第五单元三角形的认识。接到这一任务，真是既高兴又担忧，高兴的是有机会锻炼一下，但作为疑难问题培训，听课的教师不仅仅是数学学科的，还有来自全省的科学学科教研员和骨干教师，共同探讨“探究式教学”，压力便可想而知。由于是指定内容上课，与课有关的问题便接踵而至。首先担忧的是，三角形的认识四下年级已经上完了，需要到三年级借班。而从教材编排的顺序来看，三年级的学生还没有学习

2、四上年级角的度量和平行四边形和梯形这两个单元，而且又正值复习阶段，只能稍微补一下直线、射线和角；角的度量；角的分类以及垂直与平行、画垂线、画平行四边形和梯形的高等内容。在这样的基础上学习三角形的认识能行吗？更为担忧的是：举办者还想体现一个设想，即对三角形单元的教材进行重组。理由是原来的教材编排顺序是三角形的认识（包括三角形的概念、三角形的高、三角形的特性），然后是三边关系、三角形的分类，最后是三角形的内角和。这样的编排每个知识点之间的逻辑联系不够紧密，尝试把三角形按角分类放入三角形的认识一节课中，意图是想让这节课的各个知识点间更具有逻辑性，可以从三角形的共同特征推断出三角形的描述性定义，从分类

3、中感受到三角形的不同特征，并通过画高加深对不同类别三角形特征的理解和把握。 听听觉得很有道理，但这样的思路谁都没有尝试过呀？况且，这么多的教学内容在一堂课中能完成吗？如果匆匆完成，岂不是走过场；如果要理解到位，那教学时间不够怎么办？ 虽然有种种困惑与不解，但我还是硬着头皮去思考教学预案，经过了一周左右的思考，初步形成教学预案。把单元教材稍作调整，将三角形按角分类放入其中，这样三角形的认识一课的教学就形成如下两个紧密联系的问题：（1）三角形有哪些共同特征呢？（理解三角形的概念和稳定性）（2）三角形又有哪些不同的特征呢？（通过按角分类和画高来理解三类三角形的不同特征）当然，对于这两个问题，在教学时

4、也应该有所侧重：（1）淡化三角形概念的教学笔者以为学生在学习四边形时，对于“封闭图形、四条边、四个角、四条线段围成”等特征已经认识得比较透彻了，并且三角形的概念本身就是描述性的，不是初中阶段完全科学规范的，所以可以淡化概念的教学，主要借助学生原有认知对一些图形进行是否为三角形的直观判断，不在概念上作过多诠释。（2）强化分类和高的教学三角形的高在本节课中不是单独呈现的，而是在“三角形具有哪些不同的特征”这个问题的引领下自然呈现的，可以先通过分类让学生认识三类三角形的不同特征，再通过画高来加深学生对三类三角形不同特征的理解，同时也通过经历画高的过程来理解不同类三角形高的不同特征。学生在画三类三角形

5、的高时，既是在理解高的定义，同时也进一步巩固了三类三角形的不同特征，培养学生类化的思想。那这样的设想毕竟只是设想，究竟是否合理呢？只能从实践中去找寻答案。初次实践：当头一棒带着种种担忧，我进行了第一次教学尝试，教学过程记录如下：一、导入新课师：小朋友, 认识三角形吗？生：认识二、引导探索（一）探究三角形的共同特征1.课件出示下列图形： 师：在这些平面图形中，哪些不是三角形？为什么呢？生：不是，因为有一条边是弯的，有四条边、四个角，不是封闭图形。师：剩下的这些都是三角形吗？那么它们又有什么共同的特征呢？生：它们都有三条边、三个角、三个顶点（课件将所有三角形的三条边、三个角、三个顶点分别闪烁，并出

6、示边、角、顶点等名称，同时由教师口述，并出示三角形的概念：由三条线段围成的图形就叫作三角形。然后教学用字母表示）现场情况说明：对于三角形的共同特征这个环节，花时很少，学生很迅速、很轻松找到不是三角形的图形，理由也阐述得清楚明了，对于三角形的共同特征也能清楚述说。对学生而言三角形的概念比较简单，很容易理解。这也说明弱化三角形概念教学，借助学生已有认知来理解三角形的概念，这种教学思路完全符合学生年龄特点。（二）探究不同类三角形的不同特征师：同样都是三角形，它们又有什么不同呢？生1：它们的角不同，有直角，有锐角、钝角。生2：它们的边不同，有的是等边的。师：如果我们按角的不同把他们分分类,可以怎么分呢

7、？同桌讨论讨论。生1：和分成一类，它们都有直角，其他的一类。生2：和成一类，一类，一类师：为什么这样分呢？生2：有直角的一类，有锐角的一类，有钝角的一类师：有直角这一类，也有锐角呀？生：哦，三个角全部是锐角的分一类。在与学生讨论后，逐步形成下图：再隐去图形成为：（三）教学三角形的高在学生初步认识了三类三角形后，进行概念辨析。遮住三角形的两个角，只露出一个角，让学生判断是哪一类三角形，通过讨论辨析，使学生进一步深入理解了三类三角形的不同特征。师：三类三角形还有哪些不同的特征呢？引导学生通过看书了解三角形的高和稳定性。师：根据课本上对高的描述，你能判断下面哪几副图中的虚线不是三角形的高吗，为什么？

8、 生1：不是，没有从顶点出发。生2：也不是，没有作垂线。生3：不是，斜了。师：有不同意见吗？生4：是高，从顶点C出发，向对边作垂线了。师：你觉得一个锐角三角形共有几条高呢？为什么？生1：有3条，每个顶点出发都有1条，有3个顶点，所以有3条。（课件演示作锐角三角形的三条高）师：那钝角三角形、直角三角形分别有几条高呢？生1：也有3条，因为有3个顶点。师：请你来指一指哪3条？（学生指的是从顶点出发到对边的斜线，找不到两条直角边所在的垂线）生2：直角三角形只有1条。师：其实直角三角形也有3条高。（课件演示作直角三角形的三条高）钝角三角形也有3条高。（课件演示作钝角三角形的三条高）师：比一比这三类三角形

9、的高，有什么发现吗？生1：锐角三角形的高都在三角形里面，直角三角形有两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在三角形的外面。现场情况说明：学生对直角三角形、钝角三角形的高理解起来比较困难，基本上是教师告诉学生，然后通过课件演示帮助学生理解，当学生看到直角三角形和钝角三角形的高后一阵惊叹，似乎对还有这样的高觉得不可思议。但问及三类三角形的高有什么不同时，学生很快发现高所在的位置不同。（四）教学三角形的特性课件出示电线杆，三脚架等图片师：为什么这些物体要制成三角形呢？ 为什么制成三角形就会稳定呢？接下来，咱们就一起来研究这个问题。师：每位小朋友小袋里都有三根不同颜色的小棒，同一种颜色的小棒，长度都相等

10、。现在，我们用这三根小棒搭成一个三角形。请你把搭好的三角形和同桌的比一比，再和前后桌的同学比一比，有什么发现吗？生1：我搭的三角形和她的完全一样。生2：我们比了一下，也是一样的。师：形状、大小真的一样吗？（教师将较多同学的三角形挂在一根长棒上，让学生再次感知形状、大小完全相同。）师：看来，三角形的三根小棒确定了，不管怎样搭，形状、大小完全相同，如果用这四根小棒搭成一个四边形，形状是不是也完全一样呢？试试看！生：不同，会变来变去。师：这几个四边形搭法不同（小棒的连接顺序不同），形状、大小怎么样？生：不同。师：这几个搭的方法完全相同，都是绿、蓝、黄、蓝，形状、大小怎么样？生：不同师：四边形的四条边

11、确定了，但是形状却是多种多样，具有易变性。现在，你能说说这些物体为什么制成三角形吗？（利用了三角形的稳定性）现场情况说明：让学生通过操作理解三角形的稳定性，效果比较好，学生清晰地体会到三角形的三条边固定了，不管怎样搭，形状、大小完全相同。但是这样先搭三角形，分析讨论后再搭四边形，再分析讨论，花费的时间比较多，有部分速度快的学生在搭好三角形后，就用其他的小棒搭着玩，部分慢的学生在讲评时还没有搭成功。并且把三角形和四边形完全割裂开来，也不利于学生相互比较。第一次尝试就这样结束了。我清晰地记得那是6月4日的上午，距离正式上课还有一周的时间。省小学数学教研员斯苗儿老师和省小学科学教研员俞伯军老师也来听

12、试教了，我自认为还上得挺流畅的，学生也掌握得比较扎实，唯一遗憾的是内容太多，足足上了45分钟才下课。因为内心深处觉得是内容太多造成的，所以也没有放在心上。然而课后，两位教研员的点评给我“当头一棒”，让我尴尬万分，不知所措，“你牢牢控制住了学生”、“主要还是观念的问题，不肯放手让学生去试误”、“我们的主题是探究性学习，你的探究呢？”“不放手，怎么知道学生的起点在哪儿？问题在哪儿？”“你只是在备教材，根本没有在备学生”“数学课不让学生动笔怎么行”一句句犀利的话语，让我真有种透不过气的感觉，也觉得很委屈，不理解，这么多的内容在一节课中能上完，已经很好了，还要全部放手给学生，能行吗？又委屈、又不解、又

13、不甘心的我当时整个都懵了。冷静下来以后，每天伏案在桌前，看着课本和教参，想着学生，渐渐的，我感觉自己似乎慢慢理解了专家的话语，在市、区数学教研员杨海荣和范新林老师的帮助下，我对原教案又开始了新的思索再次实践：初尝战果 讨论的焦点在于：一是如何凸显“探究教学”的主题，让学生有更大的自主探索空间？二是如何把握教学的难点？于是对三个地方进行了大刀阔斧的修改，以起到削枝强干的作用。修改之一：在学生通过分类认识了三类三角形后，变原先的“让学生看图判断”为“任意画一个三角形”。教学过程简述如下：师：我们已经认识三类三角形了，请小朋友在点子图上任意画一个三角形。（学生按要求在点子图上画三角形，教师每一类选择

14、一个进行反馈。）师：（逐一展示学生画的不同类的三个三角形）我们来看这几位小朋友画的，是什么三角形？生1：锐角三角形。师：为什么？生1：因为它三个角都是锐角。师：这个呢？生2：直角三角形。因为有一个角是直角。师：出示钝角三角形。生3：是钝角三角形，因为有一个角是钝角。师：下面小朋友画的三角形不属于刚才这三类的，有吗？（只有一个学生举手认为自己画的不属于这三类，展示给学生看，大家都认为他画的是一个锐角三角形，只是因为没有用尺画，所以边都是歪歪扭扭的。事后了解到这是位特殊生。）师：那你能不能画出一个不属于这三类的三角形呢？生1：三角形只有这三类，不可能画出别的。生2：三角形中只有锐角、直角、钝角，没

15、有别的角，所以不能画出别的三角形。师：其实我们继续往下学就能证明三角形按角分，只有这样三类。现场情况说明：把原先的看图判断变为自己画三角形，虽然两者都能进一步巩固对三类三角形的认识，但是我们可以很清楚地看到，学生自己画三角形更开放些，并且每个学生都在参与，在画之前会思考：我画一个什么三角形呢？然后通过“能不能画出一个不属于这三类的三角形”这个问题，把学生的思维推向纵深，初步感悟了三角形按角分类的穷尽。修改之二：学生通过看课本发现三角形具有稳定性和三角形的高这两个知识点后，变原先的“判断是不是高”为“自己尝试画高”，教学过程简述如下：师：根据课本上对高的描述，请你每一类选一个三角形来画高，画好一

16、条后，再想想在这个三角形中还能画其他的高吗？（生每一类选择一个三角形尝试画高，教师巡视，并选择部分学生的作业按锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的次序分别进行反馈。）师：我们先来看锐角三角形生1画的：师：是三角形的高吗？生：是的，从顶点出发，向对边作一条垂线。顶点到垂足的距离就是三角形的高。师：对，这条对边BC就是高所对应的底。生2画的： 师：画得对吗？为什么？生3画的：师：这一条是三角形的高吗？生：不是，没有从顶点出发。生4画的：师：这一条是三角形ABC的高吗？为什么？生：是的，因为它是从顶点B出发向对边作了一条垂线。师：从顶点A出发可以作一条，从顶点B出发也可以作一条高，那请大家思考一下，

17、一个锐角三角形一共有几条高呢？怎么想的？生：三角形有三个顶点，从每一个顶点出发都可以作一条垂线。所以一共有3条高。（课件演示画三条高）师：锐角三角形一共有三条高，那你们觉得直角三角形、钝角三角形分别有几条高呢？生1：有三条高，因为直角三角形和钝角三角形也有三个顶点。师：有不同意见吗？生2：我觉得直角三角形一条高也没有。生3：我认为直角三角形有一条高。师：直角三角形究竟有几条高呢，我们一起来看。（讨论学生刚才画的直角三角形的高）生4画的：师：是直角三角形的高吗？生：是的，因为是从顶点D出发向对边作了一条垂线。师：那刚才认为直角三角形一条高也没有的小朋友，你现在觉得呢？生2：我现在认为有一条高了。

18、师：那小朋友认为从顶点E出发、从顶点C出发不能作垂线吗？生：是的师：那刚才有小朋友认为有三条，来指一指另外两条。生1：我现在认为只有一条了。师：为什么小朋友认为从顶点C出发不能向对边作垂线呢？生：因为顶点C和D连起来和ED已经垂直了。师：如果再从顶点C出发向对边作一条垂线，会发生什么情况？生：这条垂线会和CD这条边重合。师：那课本上有没有说重合了就不是三角形的高呢？生：没有。师：重合了也符合高的定义，和直角边CD重合的垂直线段也是它的高。那这个直角三角形还有其他的高吗？谁来指一指。（学生指出与ED重合的垂直线段也是一条高）（课件演示画直角三角形的三条高）师：现在你认为钝角三角形有几条高呢？生：

19、三条。师：请你来画一画，还有两条高在哪里？生：把一条边延长，再过顶点作这条对边的垂线。师：真聪明，钝角三角形另外两条高确实很难画，我们一起来看。（课件演示画钝角三角形的三条高）现场情况说明：让学生尝试画高，通过放手让学生画，来了解学生的认知起点，这个设想我一直很担心，总觉得对三年级的孩子而言要求太高。而事实证明我的担忧是多余的，即使是三年级的孩子也能根据自己的理解来画高，虽然有这样那样的问题，但就是这些问题的暴露让我清晰地看到了学生的起点、思维状态以及对知识的理解程度。在激发学生不断思考、辩误的过程中，我也沉浸在与学生争辩、思索的每一个瞬间，真正感受到一种心灵碰撞的愉悦。修改之三：通过操作来理

20、解三角形的稳定性，将原先的先搭三角形，再搭四边形两个环节进行整合，教学过程简述如下：师：三角形的稳定性又是什么意思呢?下面，咱们一起来做个小实验。师：每位小朋友小袋里都有各种不同颜色的小棒，同一种颜色的小棒，长度都相等。现在，我们选择其中3根，搭成一个三角形。再选择另外4根搭成一个四边形，搭好后拉一拉，比一比，有什么发现呢？生1：我发现搭好的三角形怎么拉也拉不动，四边形碰一下就会变形。师：和她的发现一样的小朋友请举手。为什么搭成三角形就比较稳定，不容易变形呢？我们继续来观察。哪些小朋友是选这三根小棒搭三角形的。（师把选择的小棒一样的三角形挂在一起）师：放在一起看一下形状、大小，有什么发现呢？生

21、：形状、大小一样。师：选择这样三根的放在一起看看，形状、大小，又怎么样？生：形状、大小完全相同。师：你有什么发现呢？生：选择的小棒相同，搭出的三角形的形状、大小就完全相同。师：对，只要三根小棒的长度固定，不管怎样搭，形状、大小都完全一样，这就是三角形的唯一性，在数学上，就叫三角形的稳定性。 现场情况说明：与预想的一样，将搭三角形和四边形两个环节整合后，学生边操作，边比较，花的时间不多，但却深刻体会到三角形的稳定性和四边形的易变性。同时，把搭成的三角形一类类让学生仔细观察，如选择3蓝、3黄、2蓝1黄、红黄蓝各1根等不同情况，通过比较使学生清晰看到只要三条边确定，不管怎样搭，形状、大小完全相同，让

22、学生初步在活动中理解了三角形的唯一性。 回顾历程：感触多多 三角形的认识一课让我从观念到行为历尽磨砺，感触多多，归纳起来有以下几点：1.原来教材还可以这么处理尽管我们已从“教教材”向“用教材教”转变，但一般情况下，我们对教材的处理不外乎两种，一种是原本属于一课时的内容太多，把其中某一个知识点移至下一课时，或者把属于下一课时的内容提前到本课时进行教学。另一种是对教材中原有的例题或习题进行删减或改编，以更符合教学的需要。然而，经过这次开课，我才发现，教师处理教材的空间完全可以更大、更开阔。当发现某一个单元的教材编排顺序不够合理，比如说知识点之间的逻辑联系不够紧密，致使学生学习后，每个知识点在学生脑

23、海中都是孤零零呈现的，那么我们完全可以大动干戈，站在系统的角度来重组教材，让单元中的每一个知识点间连接得更加紧密，更方便学生理解、掌握知识。有时甚至可以跳出单元看教材，结合学生的实际对不同单元的教材进行重组。就拿三角形这个单元来说，要使知识点间连接更加紧密，可以对教材进行如下重组：教学课时教学安排课时内容划分1课时内容划分2第一课时三角形的概念（淡化）三角形按角分类理解三类三角形的高三角形的稳定性三角形的概念（淡化）三角形的分类理解三类三角形的高第二课时三角形按边分类继续巩固三类三角形的高三类三角形画高练习三角形的稳定性第三课时三角形的三边关系三角形的三边关系第四课时三角形的内角和三角形的内角

24、和对本单元教材进行上述重组，可以很清晰地看到，知识点之间的连接更加紧密了，学生在学习的过程中可以对知识进行不断地比较。“三角形有哪些共同特征呢” ，“同样是三角形他们又有什么不同呢？”正所谓知识要“求连”，这样的重组，使原本如同散落的珍珠般的知识点都串联起来，成为一条学生易于理解、方便接受的知识链，也使教师真正有了单元备课的思想。2.原来教学还可以这样设计一直以来，我都认为教学设计应该尽量避免学生出错，如果一堂课走得很流畅，学生不出现什么意料之外的错误，那就说明我的教学设计是成功的。所以，在课堂中，尤其是公开课上，我一直努力促使学生不出错或少出错，因为我总认为学生出错就说明我的教学有问题，然而

25、这一次开课，彻底颠覆了我的想法，我才意识到让学生暴露自己的错误，展现自己真实的状态才是至关重要的，教师只有了解了学生的困惑点在哪里，教学才更有针对性，引领学生讨论、争辩、明晰的过程才会更有价值，学生参与课堂的积极性才会更高。在学习的道路上，曾经错误的东西比正确的更能让人记忆深刻。比如，对于画高，我觉得教师不指导，学生根本不可能会画，所以第一次试教就不让学生尝试画。然而事实上，即使是三年级的孩子，有了画垂线的基础，根据课本上对高的描述完全可以尝试画高，虽然存在这样那样的错误，但这正是课堂所需要的真实资源，通过对这些错误的辨析，才使学生真正深刻理解了三角形的高。对于直角三角形和钝角三角形的三条高虽

26、然比较难于理解，但因为放手让学生去探索、思考、尝试，加上教师在预设教案时经常站在学生的角度去思考，学生可能会怎么想，学生的疑难点在哪儿，随着深入挖掘这些本质因素，教师的思考也会更加深刻，问题也会想得更透彻。如“直角三角形的与直角边重合的两条高的教学”对我而言一直是个困惑点，学生如果认为只有一条高，怎么办？就直接展示给学生看吗？这样的展示对学生的思维，对学生真正理解高究竟有多大作用呢？我又进行深入思考，为什么学生会认为只有这一条高呢？是觉得从另外两个顶点不能向对边作垂线吗？经过反复思索，我隐隐感到对学生而言，不是不能作垂线，而是所作的垂线与直角边重合了，他们觉得重合了就不是高，潜意识中觉得高是在

27、边与边的中间空隙处。了解了学生的想法后，我就改变了设计思路，在学生认为只有一条高时，通过追问继续引发学生思考，充分暴露学生内心的真实想法，“为什么你认为从顶点E出发不能向对边作垂线呢？”“如果要向对边作一条垂线，会怎么样呢？”迫使学生直面问题的本质高与直角边重合了，这样问题就迎刃而解了。试想，如果直接告诉学生，直角三角形有三条高，有两条高与两条直角边相重合，学生的感悟就不深刻，并且对高的本质含义的理解也是不到位，而且容易造成一种错觉，认为直角三角形的高和锐角三角形高的画法不相同。这样的“先试后讲”让学生充分暴露问题，让教师清晰地看到学生对高的理解困惑点在哪里，虽然给教师的教学带来更大的不确定性，但对学生来说却是非常有益的，这大概就是“读懂学生”的本意吧。3.原来开放还可以这样实施新课程实践这么多年，对于很多的理念，都在努力尝试，比如放手让学生探究。但经常感觉有些课