数字信号处理：第4章4.1-4.5 数字滤波器的原理和设计方法

1、1第四章 数字滤波器的原理和设计方法 4.1 引言 4.2 数字滤波器的表示方法及其分类4.3 IIR基本网络结构4.4 FIR基本网络结构4.5 IIR滤波器的设计4.6 FIR滤波器的设计2 系 统输出输入差分方程h (n)H(z)以及零极点分布 时域波形频域成分时域波形频域成分34.1 引 言 离散时间信号在传输、检测、估计等过程中都要广泛使用数字滤波器,主要用于对信号的频谱进行加工.数字滤波器的优点: 精度高稳定度高; 结构组合灵活; 不存在阻抗匹配问题; 便于大规模集成.易实现多维滤波器.对于确定的输入和输出关系,可以用不同的结构来实现.44.1 引 言 一般时域离散系统或网络可以用

2、差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程 其系统函数H(z)为 5 数字滤波器的两种实现方法:1.用数字硬件构成专用的数字信号处理机(组成模型)2.编写滤波运算软件,在计算机上实现(软件工具matlab)6 给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如： 74.2 数字滤波器的表示方法及其分类 观察(4.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图4.2.1所示。 8图4.2.1 三种基本运算的方框图和流程图表示9 +1/z1/zx(n)b0a1a2y(n)x(n)y(n)b0a1a21/z1/z二阶数字滤波器的差分

3、方程为10 FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述： 其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(4.2.2)式，h(n)表示为 其它n FIR系统的特点：（1）h(n)为有限长的序列（2）结构中一般没有反馈环路，为非递归结构（3）系统函数H(z)只有系数bi，没有系数ai11 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=a1y(n-1)+x(n), |a1|1 其单位脉冲响应IIR系统的特点：（1）h(n)为无限长的序列（2）结构中一般含有反馈环路，为递

4、归结构（3）系统函数H(z)有ai系数124.3 无限长脉冲响应基本网络结构 1.直接型 对N阶差分方程重写如下： 13 14 图4.3.1 IIR网络直接型型和型结构 15 例4.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分方程如下：16图4.3.2 例4.3.1图17 2. 级联型 在(4.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到18 式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)

5、H2(z)Hk(z) (4.3.3) 式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图4.3.3所示。 19x(n)y(n)A图4.8 每个二阶节都用直接型结构的级联形式20级联型的特点1.零极点的调整方便,从而容易调整频率响应特性;2. 前后位置的排列,必须考虑误差效应.21 例4.3.2 设系统函数H(z)如下式： 试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到 22 3.并联型 如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。 图4.3.4 例4.3.2图 23 式(4.5)表明，滤波

6、器可由P个一阶网络、Q个二阶网络和一个常数支路并联构成，其结构如图4.9所示。（4.5）24图4.9 IIR系统的并联结构 25 并联型的特点1.极点的调整方便,但不能直接调整零点,如果需要准确传输零点,则采用级联型;2.运行速度快;3.各基本阶的误差互不影响.26 例4.3.3 画出例题4.3.2中的H(z)的并联型结构。 解 将例4.3.2中H(z)展成部分分式形式： 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图4.3.4所示。 27 图4.3.5 例4.3.3图 x(n)y(n)z1z11680.520-16-0.520z128结构名称所需延时单元零，极点调节误差问题直接1型2N不能

7、直接调节无积累直接2型N不能直接调节无积累级联型N可单独调节有积累并联型N只能单独调节极点无积累29网络转置定理： 如将原网络中所有支路的方向加以反转，并将输入 x(n)和输出y(n)相互交换，则网络系统函数H(z)不改变。 利用转置定理，可以将以上讨论的各种结构进行转置处理，从而得到各种新的网络结构。例如，将图46所示的直接型结构转置后得到如图410所示的结构，画成输入在左、输出在右的习惯形式，便成为图411所示的结构。30流图转置 a1a2b0b1b2z1z1a1b2b0b1a2z1z1x(n)y(n)x(n)y(n)两流图等效直接型直接型转置 a1a2b0b1b2z1z1x(n)直接型y

8、(n)314.4 有限长脉冲响应基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为32 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图4.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构或抽头延时线滤波器或横向滤波器. 图4.4.1 FIR直接型网络结构 33 2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例4.4.1 设FIR网络系统函数H(z)

9、如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 34 解 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构如图4.4.2所示。 图4.4.2 例4.4.1图353.快速卷积型 FFTFFTIFFTx(n)y(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)=Y(k)用循环卷积计算线性卷积364.线性相位FIR数字滤波器的网络结构 本节主要介绍FIR滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为

10、 37 式中，Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这里Hg()不同于|H(ej)|, Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。H(ej)线性相位是指()是的线性函数，即 ()= -, 为常数 (4.4.3) 如果()满足下式： ()=0-,0是起始相位 (4.4.4) 严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即38 也称这种情况为线性相位。一般称满足(4.4.3)式是第一类线性相位；满足(4.4.4)式为第二类线性相位。 下面推导与证明满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即 h(n)=h(N-n-1)

11、 (4.4.5) 满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即 h(n)=-h(N-n-1) (4.4.6)39 (1) 第一类线性相位条件证明：将(4.4.5)式代入上式得令m=N-n-1,则有(4.4.7) 40 按照上式可以将H(z)表示为 将z=e j代入上式，得到： 按照(4.4.2)式，幅度函数Hg()和相位函数分别为(4.4.8) (4.4.9) 41 (2) 第二类线性相位条件证明：(4.4.10) 令m=N-n-1,则有 同样可以表示为42 因此，幅度函数和相位函数分别为(4.4.11) (4.4.12) 43 2. 线性相位FIR滤波器幅度特性H

12、g()的特点 1) h(n)=h(N-n-1),N=奇数 按照(4.4.8)式，幅度函数H g()为 式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为44 令m=(N-1)/2-n,则有(4.4.13) (4.4.14) 式中 按照(4.4.14)式，由于式中cos(n)项对=0,2皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对=0,2是偶对称的。 45 2) h(n)=h(N-n-1),N=偶数 推导情况和前面N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相

13、等的项合并成N/2项。 令m=N/2-n,则有46 (4.4.15) (4.4.16)n=1,2, 3, , N/2 按照式（4.4.15），当=时， ，余弦项对=呈奇对称，因此Hg()=0，即H(z)在z=ej=-1 处必然有一个零点，而且Hg()对=呈奇对称。 当=0或2时， 或-1，余弦项对=0, 2为偶对称，幅度函数Hg()对于=0, 2也呈偶对称。 如果数字滤波器在=处不为零，例如高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 47 令m=(N-1)/2-n，则有(4.4.17) (4.4.18) 3) h(n)=-h(N-n-1),N=奇数 将(4.4.11)式重写如下：4

14、8 由于sin(m)在=0, , 2处都为零，并对这些点呈奇对称， 因此幅度函数Hg()在=0,2处为零，即H(z)在z=1上都有零点，且Hg()对于=0,2也呈奇对称。 如果数字滤波器在=0, , 2处不为零，例如低通滤波器、 高通滤波器、带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计， 除非不考虑这些频率点上的值。 49 (4.4.19) (4.4.20) 4) h(n)=-h(N-n-1),N=偶数 类似上面3)情况，推导如下：令m=N/2-n,则有50 当=0, 2时， ，且对=0, 2呈奇对称，因此H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1 处有一个零点，且H()对=0, 2也呈奇对称。

15、 当=时， 或1， 对=呈偶对称，幅度函数H()对于=也呈偶对称。 如果数字滤波器在=0, 2处不为零，例如低通滤波器、 带阻滤波器，则不能用这类数字滤波器来设计。 51 52 奇对称单位冲击响应 h(n)=-h(N-1-n)53 3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点 第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(4.4.7)式和(4.4.10)式，综合起来用下式表示：(4.4.21) 图4.4.1 线性相位FIR滤波器零点分布 54 4. 线性相位FIR滤波器网络结构 设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有55 (4.4.22)如果N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出， (4.4.23

16、) 56 图4.4.2 第一类线性相位网络结构57 图4.4.3 第二类线性相位网络结构58 5. 频率采样结构 频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式： 设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，(4.4.1)式中H(k)用下式表示： (4.4.1) 59 要求频率域采样点数NM。这称为频率采样的FIR网络结构。请分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构？将(4.4.1)式写成下式： (4.4.2) 式

17、中 Hc(z)是一个梳状滤波器，频率响应幅度特性为半波正弦图形,其零点为60图4.4.3 FIR滤波器频率采样结构 61 (1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。 (2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。 62 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点： (1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (2)结构中，H(k)和 一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算

18、，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。 首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r123 124对不同n, 函数 的变化曲线125 |H(j)|2/c111/(1+2)N=3 =0.5N=6=0.32、切比雪夫(Chebyshev)滤波器幅度频率特性：126 N=3 N=4 N=5 N=6 3、Chebyshev低通滤波器的特点：127 N=3 N=4 N=5 N=6 128 N=3 N=3 N=6 N=6 (3)过渡带宽为cs-： 最小阻带衰耗指标sA应满足dB-ACjHscsNs+=)(11log(10)(222e 或 dB-AC

19、scsN+-)(1log(1022e。如果给定设计指标sA、s、c和e，则可以由此关系式确定阶数N。类似的如果用通带最大波动值cA作为设计指标，即 dB-Ac+-)1log(102e。则得波动系数11010-cAe。 129 130 说明：可以证明Chebyshev 滤波器特性是较佳的全极点滤波器，在满足给定的设计指标(通带和阻带逼近误差容限)中，它具有较低的阶数。或者说，在相同的阶全极点滤波器中，Chebyshev 滤波器特性对理想特性的逼近误差较小。131阶切比雪夫滤波器的极点位置极点分布在椭圆上,横坐标与小圆有关,纵坐标与大圆有关,注意2被2N整除的角度射线与两圆相交决定横坐标和纵坐标1

20、324、 Chebyshev 滤波器的设计步骤：根据逼近要求通过查特性曲线或计算求取阶数 和波动系数，计算（S）或者查表得（S）(1)设计指标：Chebyshev滤波器逼近函数有两个参数：阶数和波动系数。它们可通过给定的2个特征频率点c，s的参数指标Ac，As来确定。(即通带和阻带衰耗值。)133 134135 136（）利用脉冲响应不变法或双线性变换法将H(s)转换为H（z）。137 从模拟滤波器到IIR数字滤波器设计思想： s 平面 z 平面模拟系统 数字系统H(z) 的频率响应要能模仿 H(s) 的频率响应，即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆因果稳定的 H(s) 映射到因果稳定的

21、 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| 1138 数 字滤波器指 标模 拟滤波器指 标模拟原型低通数字原型低通模拟频率变换非低通型基本数字滤波器模拟/数字 变 换数字频率变换4.5 IIR滤波器的频率变换 为了得到其他基本类型的数字滤波器，可以先用以上介绍的设计方法设计出低通滤波器，再经过变换来得到。139 说明：具体的变换方法有两种：模拟变换与数字变换；两种变换都是先利用模拟低通滤波器的设计方法得到模拟原型低通函数Ha(s) ；模拟变换方法是把模拟原型低通函数Ha(s)变换成模拟非低通实际滤波器H (s)，再经过SZ映射变换得到非低通基本数字滤波器H (z)。数字变换方法是先把模拟原型低通函数Ha(s)经过SZ映射变换得到数字原型低通Hl(z)，再经过数字/数字频率变换得到非低通实际数字滤波器H (z)。140 2、实际模拟滤波器设计步骤：实际滤波器指非低通型的其他基本类型滤波器。(高通、带通、带阻)(1)由频率坐标变换关系把实际滤波器设计