数列知识点总结与练习

1、数列知识点总结与练习1.数列的概念：按照 的数2.数列的分类：（1）已知，则在数列的最大项为 （2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为 （3）已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围 等差数列的有关概念：1定义： 即2通项公式： ，推广： 是点列所在直线的斜率.是数列成等差数列的充要条件。3前项的和： 变式：=是数列成等差数列的充要条件。4等差中项：若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的 条件。5等差数列的基本性质 = 1 * GB2 ；反之不成立。 = 2 * GB2 = 3 * GB2 = 4 * GB2 成公差为的等差数列。组成公差为的等差数列。 )当为奇数时，中；

2、奇，偶6判断或证明一个数列是等差数列的方法： = 1 * GB3 定义法：是等差数列 = 2 * GB3 中项法：是等差数列 = 3 * GB3 通项公式法：是等差数列 = 4 * GB3 前项和公式法：是等差数列7知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,三数:, 四数8.会从函数角度理解和处理数列问题.练习1.设是等差数列的前项和，若，则 ( )（A） （B） （C） （D）2.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 A 5 B 4 C 3 D 23.等差数列an中，a100，a110且a11|a10|，Sn为其前n项和，则 ( )A. S1

3、0小于0，S11大于0 B. S19小于0，S20大于0C. S5小于0，S6大于0 D. S20小于0，S21大于04.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，、设（），则数列的前10项和等于（ ）A55B70C85D100 5.等差数列an的前n项和记为Sn，若a2+a4+a15=p是一常数，则S13= 6.在等差数列中,已知,则n= .7.已知数列是等差数列，其前10项的和，则其公差等于( )8.已知等差数列中，等于（ ）A15 B30 C31 D649.设为等差数列的前项和，=10.已知等差数列的前项和为，若11.若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的

4、和为390,求这个数列项数. (2)等差数列的前10项的和前100项的和,求前110项的和 12.在等差数列an中,am=n,an=m,则am+n的值为 （ ）（A）m+n （B） （C） （D）013.设是公差为正数的等差数列，若，则 A B C D 14.如果，为各项都大于零的等差数列，公差，则 （ ）（A）（B）（C）+（D）=15.若数列是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是： （ ）A 4005 B 4006 C 4007 D 4008416.如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差； 17.项数为奇数的等差数列，奇数

5、项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数18.已知数列an的前n项和Sn=n2-2n，bn=，证明:数列bn是等差数列.19数列的首项,通项与前n项和之间满足(1)求证:是等差数列,并求公差;(2)求数列的通项公式;(3)数列中是否存在正整数k,使得不等式对任意不小于k的正整数都成立?若存在,求出最小的k,若不存在,请说明理由.20.等差数列的前项和记为，已知 = 1 * GB3 求通项； = 2 * GB3 若=242，求21.已知数列中，前和 = 1 * GB3 求证：数列是等差数列 = 2 * GB3 求数列的通项公式 = 3 * GB3 设数列的前项和为，是否存在实数，

6、使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。等比数列的有关概念：定义：如果一个数列从 起， 与它的 的比等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。即递推关系与通项公式通项公式： 推广： 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的 中项，且 是成等比数列的必要而不充分条件。前项和公式:等比数列的基本性质， = 1 * GB3 ；反之不真！ = 2 * GB3 = 3 * GB3 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。 = 4 * GB3 仍成 。等差数列与等比数列的转化 = 1 * GB3 是等差数列是等比数列； = 2 * GB3 是正

7、项等比数列是等差数列； = 3 * GB3 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。等比数列的判定法 = 1 * GB3 定义法：为等比数列； = 2 * GB3 中项法：为等比数列； = 3 * GB3 通项公式法：为等比数列； = 4 * GB3 前项和法：为等比数列。练习 ，则已知数列是等比数列，且 3.在等比数列中， = 1 * GB3 求， = 2 * GB3 若4.在等比数列中，若在等差数列中有成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式 成立。点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。5.一个等比数列共有项，奇数项之

8、积为100，偶数项之积为120，则为_6.数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列是等比数列。7.设等比数列中，前项和126，求和公比.8.等比数列中，2，S99=77，求9.已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_10.有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。点拨：奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。11.在等比数列中，公比q是整数，则=_12.各项均为正数的等比数列中，若，则 13.已知且，

9、设数列满足，且，则14.等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_15.若是等比数列，且，则 16.设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值=_17.设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 数列的通项的求法一、观察法（多用于选择题，填空题，解答题（需用数学归纳法证明）1.已知数列试写出其一个通项公式：_2. 已知数列试写出其一个通项公式：_3. 已知数列试写出其一个通项公式：_3. 已知数列试写出其一个通项公式：_4. 已知数列试写出其一个通项公式：_二、与的关系1.已知的前项和满足

10、，求=_2.数列满足，求=3.数列中，对所有的都有，则_4.已知数列的前项和为，且.()求数列的通项;()设的前项和为，证明: .5.设数列的前项和为，且满足，()求数列的通项公式；6.已知数列满足的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）若数列的通项公式满足，求数列的前项和。7.在数列中，（1）求数列的通项；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值.7.已知数列中，前项和，若，求8.数列满足，求三、公式法（等差数列，等比数列）等差数列：等比数列: 1.已知数列满足，求数列的通项公式。2.数列中，且满足 (1)求数列的通项公式；(2)设，求3.等比数列为递增数列，且，数列（1）求数列an的

11、通项公式；（2）设，求。4.（2009全国卷理）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。5.（2009辽宁卷）等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）求3，求 6.已知数列满足=1，求四、累加法累加法(逐差相加法) 或1. 已知数列满足，则=_。2.已知数列满足，则=_3. 已知数列满足，则=_。4.已知数列满足，求数列的通项公式。5.已知数列满足，求数列的通项公式。五累积法：累乘法(逐商相乘法) 1.已知数列满足，则=_。2.已知， ，则=_。3.数列，满足a1=1， (n2)，则的通项 4. 已知数列满足，求数列的通项公式。六、

12、（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。1.已知数列中，则=_.2.在数列中，若，则该数列的通项_ 3.已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）证明：3.已知，求；4.已知，求；5.已知，求；六（答：）（答：）（答：）七、三项 递推公式为（其中p，q均为常数）。一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）

13、；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。1.数列：， ，求数列的通项公式。2.已知数列中，,，求。3.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 4.已知数列中，,，求5.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。八周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。1.若数列满足，若，则的值为_。2.已知数列满足，则=（ ）A0BCD数列求和的常用方法一、公式法：任意数列的求和公式： （用于项数较少）等差数列的前项的和： 变式：

14、=等比数列的前项和公式:常用几个数列的求和公式（1）、（2）、（3）、1.等比数列的前项和S2，则_；2.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制数是_二、分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。应于等差加等比即： 1.2.已知各项为正数的等差数列满足，且（）（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和3.求数列+的前项和4.求数列的前项和分析：将用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。三、倒

15、序相加法：这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个。1.若函数对任意都有。（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论；（2）求数列的的前项和。解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。2.求证：3. 四、错位相减法求和 （乘公比错项相减（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。1.求数列(为常数)的前项和。

16、解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。2.已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。五、裂项相消法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：乘积形式，如：（1）、 （2）、（3）、（4）、根式形式，如： 1.求和思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.2.求数列，的前

17、项和3.求数列，的前项和解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是剩下首尾两项，还是剩下几项。六、拆项求和法：在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。1.求数列9，99，999， 的前n项和分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。2.=一（答：）（答：）二（答：）解：令 令 式式：故：解：= （首项，公比等比数列） （常数列） （首项，公比等比数列）、令时，=时，=、令、令时，时，=综上所述：时，时，这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思

18、想的应用。三解：（1）、（倒序相加） 则，由条件：对任意都有。从而：数列是的等差数列。（2）、=故：=解： 当 当四解：、若=0， 则=0、若=1，则 、若0且1，则 式式：综上所述：五解: 2.求 答案: 解：= 解：由于：=）则： 六解：由于：则：解：由于：则：=（等差+等比，利用公式求和）=解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。1.（答：）（答：）；（答：）3.（答：）7.（答：解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问

19、中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以总体来说，09年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。解：（）依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 （）由已知可得 故 从而 10分5.解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公

20、式3.解：由得则所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。4.解：由得则所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。2.（答：）1.解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。4.解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。5.解：因为所以用式式得则故所以由，则，

21、又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。8.（答：）6.（答：）3.解： = 1 * GB2 = 1 * GB3 由等比数列的性质可知： = 2 * GB3 由等比数列的性质可知，是等差数列，因为4 = 2 * GB2 由题设可知，如果在等差数列中有成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若成立，在本题中5.（答：）；7. （答：，或2）8.（答：44）；9.（答：AB）10.（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）11.（答：512）；12.（答：10）。13.（答：）；14.（答：40）15.（答：1）16.（答：2）17.（答：）（答：） （答：）； （答：）简答:1-4.ACBC; 3. a11|a10|=a10，a10+a11=a1+a200.S20=10（a1+a20）0.选 B4.5. a2+a4+a15=p（常数），3a1+18d=p，即a7=p.S13=13a7=p.6.设首项为,公差为,则7.8A