根的判别式与韦达定理

1、一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练b b 2 4ac TOC o 1-5 h z 对于一元二次方程毅2 + bx + c = 0(a。0)，当判别式 = b2 - 4ac 0时，其求根公式为：x12 =曷；当.-bc 一一 . 一 0时，设一元二次方程的两根为x、x，有：x + x =-，x ,x =；根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的212 a 12 abc逆定理也是成立的，即当x + x =一一，x - x =一时，那么x、x则是方程ax2 + bx + c = 0( a。0)的两根。一元二次方程 12 a 12 ai 2的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有

2、极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，除了要 求熟记一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a。0)根的判别式 = b2-4ac存在的三种情况外，还常常要求应用韦达定理解答一些 变式题目，以及应用求根公式求出方程ax2 + bx + c = 0(a。0)的两个根气、x2，进而分解因式，即 ax2 + bx + c = a(x-气)(x-x2)。下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于x的方程(1)x2 -(1 - 2a)x + a2-3 = 0有两个不相等的实数根，且关于x的方程(2)x2 - 2x

3、 + 2a -1 = 0没 有实数根，问a取什么整数时，方程(1)有整数解？分析：在同时满足方程(1)，(2)条件的a的取值范围中筛选符合条件的a的整数值。解：说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定a的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技 能和一定的逻辑推理，从而筛选出a，这是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例2：不解方程，判别方程2x2 + 3x - 7 = 0两根的符号。判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中;x2 0，仍需考虑x + x的正负，倘若x + x 0，则方程有两个正数根；倘若x + x

4、0，应舍去不合题意的m。四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知x、x是关于x的一元二次方程4x2 + 4(m -1)x + m2 = 0的两个非零实数根，问x和x能否同号？若能同号， 1212请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由。解：说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根 的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力 试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，是重点练习的内容。五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。？例6：

5、已知以、P是方程x2 + 2x-5 = 0的两个实数根，求a2 +ap + 2a的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。解法一：解法二：说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一 元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题 可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力。？六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。？例7：已知两方程X2 - mx + m + 5

6、= 0和x2-(7m +1)x + 13m + 7 = 0至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实 数根的乘积。分析：可设两方程的相同根为a，根据根的意义，可以构成关于a和m的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求 值。解：说明：本题的易错点为求解出关于a、m的二元方程组后，忽略m对方程和判别式的讨论。与苇达定理综合训练一、填空题:1、2、3、如果关于x的方程x2 + 6x + k = 0的两根之差为2，那么k=?。?已知关于x的一元二次方程(a2 -1)x2 - (a +1)x +1 = 0两根互为倒数，则a=?。113x2，且一 + 一 二 一彳，则 m,=?。12x2 + x2 =

7、?； (x + 1)( x + 1) = ?已知关于x的方程x2 -3mx + 2(m -1) = 0的两根为气、已知气、x2是方程2x2 - 7x一 4 = 0的两个根，那么：|x - x | = ?。?5、已知关于x的一元二次方程mx2 - 4 x 一 6 = 0的两根为x、x，且x + x =-2，贝m=?1212(x + x ) ” x2 = ?。?126、如果关于X的一元二次方程w+tx + a = 0的一个根是1-克,那么另一个根是？?？, a的值 TOC o 1-5 h z .为？。 ? HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 7、 已

8、知 2 +、3 是x2 4x + k = 0 的一根，则另一根为?？，k 的值为？?？?？?？。8、一个一元二次方程的两个根是2 + * 6和2 -6，那么这个一元二次方程为：?。?二、求值题：？1、已知气、X2是方程2 X 2 - 3X - 1 = 0的两个根，利用根与系数的关系，求X2 +X1X的值。2、已知气、X2是方程3X2-2X - 1 = 0的两个根，利用根与系数的关系，求(X12-X2)2 的值。3、已知X1、X2是方程2X2 +3x - 4 = 0的两个根，利用根与系数的关系，4、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数。5、已知关于x的方程2x2-(m-1)x + m +

9、1 = 0的两根满足关系式X1 - x2 =1，求m的值及方程的两个根。？6、已知方程x2 + mx + 4 = 0和x2 - (m - 2)x-16 = 0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。三、能力提升题：？1、实数k为何值时，方程kx2 - 2kx + (k 1) = 0有正的实数根？2、已知关于x的一元二次方程x2 +(m 一 2)x + m 一 3 = 0?(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。?(2)若这个方程的两个实数根x、x满足2x + x = m +1，求m的值。1212-,_、1 八m3、若n0，关于籍勺方程x2-(m - 2n)x+4 mn

10、= 0有两个相等的正的实数根，求万的值。如果存在，试求出满足4、是否存在实数k，使关于邢方程9x2 - (47# + 6切=0的两个实根气、x2，条件的k的值，如果不存在，请说明理由。115、已知关于x的一元二次方程m2x2 + 2（3 - m）x +1 = 0（m。0）的两实数根为气、x2，若m = + ，求m的值。？12mn + 4m +16、实数m、n分别满足方程19m2 + 99m +1 = 0和19 + 99n + n2 = 0，求代数式？的值。？n答案与提示：？一、填空题：？1、提示：瓦+无! = 一6，瓦明=先，互一 = 2,.（瓦_沪=4,（瓦+ ）4瓦 = 4?.（一6沪_联

11、=4,解得：上二8山+ 12、 提示：瓦,专=，由韦达定理得：】1， t 检验，有意义，.=必。?3、 提示：由于韦达定理得：利+形=3跳，句形伽1），1m = 一 TOC o 1-5 h z 解得：3。?74、提示：由韦达定理得：2，电形=E，_75（5）（5）f5J+i = =5；由瓦 + HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 11_ a+i-1，.决-1，?解得：=处，代入12/-11 + 1 _ 3 工1+形 _3 3m _ 3 1 勺 4，?.，.冰 T）矿, 2 _ / .-.2 _ 0= （） - 2 X （-2）=再+码一（瓦+圣）

12、一 2再邑？24 ；7C-I _2，恐=可判定方程的两根异号。有两种情况: TOC o 1-5 h z 设工 10，互 0，gkiflf = JSif） = 七为 互 4 x ；设瓦 0， f、9k _工一（电一道）=一云则I街心一2。_ 4_ 64 _工+ X -I X X.-! _ _ _5、提示：由韦达定理得：刑，刑，.瓦十专=一，.酬，欧=一2, .瓦,位!=乙.01十花J=（-2）3=-86、提示：设互=1一 J，由韦达定理得：瓦+花! 二J，有山，.1_ +形=_柜，解得：呵二一1，电叱!= =（-也）5 =思，即7。x2 = 2 - 5/37? = (2 + /6)+ (2-/6

13、) = 47、提示：设盂1 = 2 +顼由韦达定理得：鱼+勺=4 ,工=止，.2 +必+花! =4 , 二（2-75）（2 + ） = 128、提示：设所求的一元二次方程为x +吓+弓=0，那么街+专=,瓦圣=弓， 即责=-4； g = （2 +扼）（2-扼）=-2；.设所求的一元二次方程为：了_牝-2 = 0? 二、求值题：1和 + 电= X1 X2 = 1、提示：由韦达定理得：2 ,2= _lxrri)2 + 2xl = - 2、.顶砺+砂：=皿3 +侦？二仲(瓦+寸-新切2X 2 + X2 82 瓦+呵二_ 3、提示：由韦达定理得：3=（-）2x（-）2-4x（-1）=3338113（工

14、：-工：沪=（而-形）=- 4瓦氏,4、提示：由韦达定理得：一一 2,互形=_七.瓦项泌+工：工：=（每明尸0：+工：）=（互。打）气瓦+勺）（x： +泌甘矽=（互,形）气互+呵）（互+打） 3互如3399=（-2）2 x （-）（-）2-3x（-2） = -乙乙U5、提示：设这两个数为有 形，于是有瓦+卅=气互花=4，因此电 专可看作方程妒+w+q = 0的两根，即 利+形=” = $，利勺= q = 4，所以可得方程:亍-6工+ 4=0，解得：瓦= 3 + J5，w = 3 J5，所以所求的两个数 分别是3 + 75，3-右。m-幽+ 1利+形= 瓦氏=6、提示：由韦达定理得2 ，2/酬一

15、 1、力幽+ 1（） -4x.2二1 %2，化简得：洗一10地一11 = 0 ；解得:?当屿二11时m- =瓦+欧一 = 5当部/T时m-电 + 曲=- = 一1X2=.(瓦 一 )=， .（瓦+心）一4瓦勺 = 11，刑=1;以下分两种情况：X. + X., = 5(1)1 = 3电_勺=1？解这个方程组得：1河=2+互=-1fx1 = 0小勺=；解这个方程组得：飞二Ta2 +am+4 = 0=1，组成方程组:瓦一笔=】，组成方程组:1，27、提示：设+ + 4 = 0和x （横_2_16 = 0相同的根为x*，于是可得方程组:+得：当俱二时，13孑，/一风幽一 2) 16 =。 ;133

16、(2)IQI-J_ Q?3+占-6 = ，解这个方程得:的=一知”；以下分两种情况：（1）当的=T时，代入得代入得峰=一气所以/+濒+ 4 = 0和_（折_明-16 = 0相同的根为知=一3,昭=2,酬的值分别欧 为三、能力提升题:1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：判别式A0* ,勺0，和 f0；于是可得不等式组:一戏尸一快优一1)兰0L把?解这个不等式组得：北1/ + 伽一 2)工 +【刑一 3 =。= b2 -Aac = (m-2)2 - 4(m-3)隹=.r z 2?2、提示：(1)2的判别式2 =m m + 16二伽一为+70,所以无论状取什么实数值，这个方程总有两个不相等

17、的实数根。(2)利用韦达定理，并根据已知条件可得： TOC o 1-5 h z (xl+x2 = -(m-2)_2瓦+ =刑+ 1解这个关于街 心的方程组，可得到：瓦=2幽一1,心=3一 3刑，由于卅。尸,所以可得 m-3= (23 -1) (3 - 3m)_ -=2，解这个方程，可得：幽1 = ，2；=o可得：(刑-物伽) = 0,3、提示：可利用韦达定理得出道,曲0,再+形0；于是得到不等式组：IA = -(m-2?3)2-4求得不等式组的解，且兼顾 ；即可得到部 代，再由接下去即可根据打0,状，得到洗=朱，即：冉=44、答案：存在。提示：因为花!=勿(RH 0)；由韦达定理得:+ x2 = （4 止-7） = 2a+3a9，-(Ak-l) = 5a 92X、* =好=& ,茶心=6/；于是可得方程组：3777a2=氏、=一 灼=时， 刃；所以止的值有两个： 11；19；?2(3-)1瓦+= 2 瓦毛=y5、 提示：由韦达定理得：林 ，腕解得：幽=26、提示：利用求根公式可分别表示出方程19妒+99酬+ 1 =_1_解这个方程组得：