柔性悬臂梁的主动控制

1、柔性悬臂梁的主动控制吕毅宁在各类太空结构和超高层结构中，大柔性结构(如柔性梁、柔性板等)的应 用日益广泛。由于大型柔性复杂结构极易受到外部以及结构自身的影响而发生振 动。剧烈的振动会严重影响结构的正常工作，导致系统的性能下降甚至失效，直 接威胁整个结构的安全。长期的振动还可能造成结构的疲劳破坏。因此，对大柔 性结构的振动抑制有非常重要的工程意义。采用传统的以减振垫、约束阻尼结构等为代表的被动控制方法对这类结构进 行振动控制往往不能达到很好的效果。近年来，以压电晶体作为作动元件的主动 控制方法在对大柔性结构的主动控制中得到了广泛的应用。柔性悬臂梁作为典型的大柔性结构，以其结构简单和便于实验验证在

2、这类结构的 控制方法研究中得到广泛应用。本文在柔性悬臂梁中集成作为压电传感器与执行器的压电陶瓷对悬臂梁的 自由振动进行了主动控制数值模拟。悬臂梁的弯曲振动方程梁弯曲振动的运动方程d4y(x,t) d2y(x,t) EI=-m- ,(0 xL)dt式中，m是单位长度梁的质量。边界条件)，(0j) = 0 ( = 1,2,345,6)是 六个独立的应力分量，S, , ( / = 1,2,3,4,5,6 )是六个独立的应变分量，P心 (, = 1,2,3)是在x,”方向上产生的极化强度。在各向异性电介质中电位移D和外加电场强度E以及极化强度P之间满足下面 的关系， TOC o 1-5 h z P =

3、 % 座(12)D二用(13)D = %E + P(14)式中，是介电常数，孔是电场强度E为0时的介电常数。对于柔性梁振动，主要考虑沿梁长度方向的应变，且考虑外加电场强度为0.此 时，可以将上面的公式简化为，Q =右兀=%/(15)式中，跖是电场强度E为0时压电片的弹性常数。传感压电片输出的电压信号为v(r)= Y5叫七(却)k(16)式中，是X位置处的压电片的应变，可以近似为该贴片处的梁的应变。压电控制原理对悬臂梁进行一维简化后的逆压电方程= Epcd.y(/dp(17)式中，E好为弹性模量，dp为压电片的厚度，岭(/)为所施加的控制电压。数值模拟1)问题弹性悬臂梁受到初始横向力作用，在，=

4、0时刻撤除该力，则梁发生弯曲自由振 动。对该振动进行主动压电控制。2)求初始条件在横向力。作用下梁的变形由平衡方程和边界条件可得，初始模态状态Eh* = Q%L=o，y：L=o，y：、=o光(工)=百0X3,工=0乂。=。扁。匕女，(尸= 1,2,., 8)0 =。(18)(19)(20)(21)求解模态方程 TOC o 1-5 h z qr(t)+co；qr(t) = Qrt)，(尸=1,2,.,s)(22)式中，00)是主动控制力。主动控制力由压电晶体根据给定的控制电压得到。这里根据压电传感器输出的电 位变化来得到控制电压，其具体描述如下。,。)=0(夕)匕3)火(23)式中，qt)是分布

5、横向载荷，坐标变换关系= x- xQ(24)(25)(26)(27)由压电晶体作动器对梁的弯矩得到的等效分布横向载荷为1P式中，M是压电晶体作动器对梁的弯矩，且MLjbpdph = EpMMQ）bph式中，如是压电晶体的宽度，人是梁的厚度。由此可得压电晶体作动器对梁的控制力，ci f24SE cLye （t）b h0u）=L 一外（有+）火式中，岭（。是给定的控制电压，实际应用中可以根据测量得到的压电传感 器电压进行反馈得到。在数值模拟中，根据数值计算得到的该处的虚拟压电 传感器电压进行反馈控制来确定V.（0o在本文中，给定，岭（。=*,（。（28）式中，。是一个给定常数。4）主动控制梁的响应

6、），（印）=机业）匕（力（29）r=l5）数值模拟结果悬臂梁、压电陶瓷以及与模态相关的参数的选取如表1, 2, 3。表1.悬臂梁的参数EIPALhQl.e57.8e330*2e-60.62e-350表2.压电陶瓷的参数选取Ep,.-255.25e-126.39el0240015.66e-120.3e-310e-3表3.模态相关参数假设选取模态数n4qiq2(rox)A图1.未加主动控制的梁的自由振动8n0246图1.主动控制后梁的振动结论1）本文在柔性悬臂梁中集成作为压电传感器与执行器的压电陶瓷对悬臂梁 的自由振动进行了主动控制数值模拟；2）数值模拟结果表明主动控制对柔性悬臂梁的自由振动有很明

7、显的衰减作 用；3）根何文中所述的主动控制原理，其对柔性梁结构的强迫振动的主动控制 同样有效。附录：MATLAB计算程序function beamactivecontrolclear all; clc;format long;%format short;n=4;L=600e-3; %x0=0 1;EI=0.1;row=7.8e3;A=30e-3*2e-3;m=row*A;Q=2;%zeta_i=1:n;%zeta_w=(2*zeta_i-l) ./ (2*L) .*pi) .A2.*sqrt(El/m) zeta=get_eigval(n)timespan=0:0.01:12;tmp=size

8、(timespan);qrdqr=zeros(tmp(2) / n*2);for ii=l:nzetai=zeta (ii);w(i i)=zetai.*zetai.*sqrt(EI/m/LA4);% qrO(ii)=1.0/iiA2;qrO(ii)=get_qr0(YZ y0z Q,EIZ Lrmz zetai);endwqrOalpha(1:n)=1;for ii=l:n% iizetai=zeta(ii);wi=zetai.*zetai.*sqrt(EI/m/LA4);time,qrdqr(:/2*ii-l:2*ii)=ode45(get_q,timespan,qrO(ii);0t fw

9、iz Lz zetai,zeta,wz qrOz alpha(ii);%qrrrz dqrr=ode45(get_q,timespan, qrO; 0, f wz Lz zetai);% cx=size(qrrr)% cy=size(dqrr)% cxx=size(qrr)% cyy=size(dqr)end qrdqr%f id=fopen (1 NoControl. dat1 / 1 v;1 );fid=fopen(1ActiveControl.dat,1w1);fprintf (fid, 1 time qlq2 q3q4 n1 );for ii=l:size(time)fprintf(f

10、id,1 %10.7f %15.7f %15.7f %15.7f %15.7fn1, time(ii)/qrdqr(iiz1:2:2*n);end%fprintf (fid, 1 time dqldq2 dq3dq4dq6 dq7dq8 n1 );%for ii=l:size(time)% fprintf(fid, 1 %10.7f %15.7f %15.7f %15.7f %15.7f Xntimedi) , qrdqr (ii, 2 : 2 : 2*n);%endfclose(fid);dqr=zeros(tmp(2),1);x0=100.e-3;for ii=l:n/2dqr(:)=dq

11、r(:)+qrdqr(:,2*ii-l) .*Y(xOzL,zeta (ii);endfid=fopen(1ActiveControlresult.dat,1w1);fprintf (fid, 1 time qlq2 q3q4 q5q6 q7q8 nf);for ii=l:size(time)fprintf(fid,1 %10.7f %15.7fn1,time(ii),dqr(ii);end%fprintf (fid, 1 time dqldq2 dq3dq4 dq5dq6 dq7dq8 n1 );%for ii=l:size(time)% fprintf(fid, 1 %10.7f %15.

12、7f %15.7f %15.7f %15.7fnf,time(ii),qrdqr(ii,2:2:2*n);%endfclose(fid);function zeta=get_eigval (n)for k=l:nzeta(k)=fzero(inline(1 cos(x)*cosh(x)+11),pi*(2*k-l)/2.);end%x=0:0.1:n*pi;%figure(1)%plotcos(x) .*cosh(x)+1.0)%axis(0 n*pi -0.01 0.01);function primey=get_q(tz y,wi,L,zetai,zeta,wr qr0z alpha) p

13、rimey= y (2) ; -wi . *vzi . *y (1) +Qrk (tz Lz zetai, zetaz wz qrO, y (2);%primey=y(2); -wi.*wi.*y(1);%primey=y(2); -wi.*wi.*y(1)+(-alpha).*y(2);function qr0=get_qr0(y0z Q,El,Lz zeta) qr0=quadl(Yy0, 0 .，L, , L,zeta,El,Q)； function y=Qrk(t,L,zetai,zeta, wr qr0z y2)%x0z Epe,alpha,klz d31z sllz hzIpx0=

14、100.e-3;Epe=6.39el0;alpha=0.5; kl=l.0;%kl=2400;d31=-255.25e-12;sll=1.0/(15.66e-12);h=2e-3;lp=10e-3; TOC o 1-5 h z %/*for With Active Control*y=quadl(xY,0,lp/2.0z z z x0z Lz zetai);y=y*48.0*Epe*d31*h/(lpA3)*Vc(tz alpha,x0z klz d31,sllz h,Ip,Lz zeta,qr0z y2)；%*for With Active Control*/%/*for No Active

15、%Control! mmmmm !H! !%y=0.0;%*for No Active Control/function y=Vc(tz alpha,x0z klz d31z sllz h,Ip,Lz zeta,wr qr0z y2)format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y.*(Y(xO+lp/2.0z L,zeta)-2.0.*Y(x0z L,zeta)+Y(xO-lp/2 0,L,zeta) ./(Ip*lp/4.0);%y=sum(-y.*(qrO.*sin(w.*t);%y=-y(1) .*(-qrO(1) .*sin(w(1) .*t);y=y

16、(D .* (-y2)；%if (abs(y)l.e-6)% y=O.0;%end%y=y(1) .*(-qr(1) .*sin(w(1) .*t)+y(2) .* (-rO (2) .*sin(w(2) .*t);- %y=-alha*Vs (t) ; %Vs (t) is to be got from sensor as part of feedback signal;function y=Vc_openloop(tz alpha,x0z klz d31f sllzh,lp,Lz zeta,w,qrO) format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y.*(

17、Y(xO+lp/2.0z Lz zeta)-2.0.*Y(x0z L,zeta)+Y(xO-lp/2 0,L, zeta) ./(Ip *lp/4.0);%y=sum(-y.*(qrO.*sin(w.*t);y=-y(1) .*(-qrO(1) .*sin (w(1) .*t);if (abs(y)1.e-6)%y=0.0;end%y=y(1) .*(-qr(1) .*sin(w(1) .*t)+y(2) .* (-rO (2) .*sin(w(2) .*t);- %y=-alha*Vs (t) ; %Vs (t) is to be got from sensor as part of fee

18、dback signal;function y=Vc_closeloop (t, alpha, x0f kl, d31z sllz hz lpz L, zeta, qrO) format long;y=alpha*kl*d31*sll*h/2.0;y=y.*(Y(xO+lp/2.0z Lz zeta)-2.0.*Y(x0z L,zeta)+Y(xO-lp/2 0,L,zeta) ./(Ip*lp/4.0);%y=sum(-y.*(qrO.*sin(w.*t);keth=alpha/2/vz (1);wp=w(1)*sqrt(l-keth*keth);z=-y(1) .*alpha *(-exp(-keth*w(1)*t) .*qr0(1) .*sin(wp.*t) ; %+y(2).*(qrO(2).*cos(w(2).*t);y=z-y(1) *alpha.*(-keth