构建“三节棍体”模型解决立体几何问题

1、构建“三节棍体”模型解决立体几何问题中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2020） 05-111-02对于大多数高中学生来说，学习立体几何感觉比较困难，遇到一些几何问题往往无从下手， 主要体现在空间思维能力不强及缺少相应的解题套路。中职数学中立体几何重点是对空间点、 线、面的各种位置关系的讨论和研究，高职考试中立体几何部分的试题也经常以棱柱、棱锥 等简单的几何体为载体，考查空间的线线关系、线面关系、面面关系的判断与证明，以及空 间角、表面积、体积的计算。在平时教学中经常有学生对空间垂直的证明、空间角的计算、 几何体外接球的表面积和体积计算等问题一筹莫展

2、。若通过联想并构建三节棍体模型加以解 决，则能够把复杂的问题归类化，形成一套行之有效的解题经验，从而达到事半功倍的效果。 下面我从教学体会谈谈“三节棍体”模型及其应用。一、模型的溯源三节棍体：四个面都是直角三角形的三棱锥称之为三节棍体。如图1所示：其中 ABC、 PBC、 PAB、 PAC都是直角三角形，PA、ACBC两两垂直，即PAAC， ACBC，PABC它们首尾相接如同一条三节棍形成的几何体，因此把它称为三节棍体”模型。图1图2图31、来自实践操作：课外让学生动手切割长方体（立方体）的教具模型，通过观察发现如图2：长方体（立方体） ABCD-A1B1C1D1中沿两个平面A1AC和平面A1

3、BC切割所得的四面体A1ABC就是三节棍体。2、来自教材资源：如图1：在RTAABC中，Z ABC=90，点P为AABC所在平面外一点，PA平面ABC。问：四 面体PABC中有几个直角三角形？3、来自试卷考题（2018宁波三模）如图3，已知AB是圆O的直径，C是圆周上任意一点，直线PA平面 ABC，若 AC=10，PA=AB=，求：（1）二面角P-BC-A的大小；（2）三棱锥A-PBC的体积。以上几种案例在课堂例题、课后习题、各类考试中都是热点，出现频率高。它们具有相同的 特点，借助于此，让同学们仔细观察，认真思考，归纳总结。从图中可找出多组线线、线面、 面面垂直关系，让学生充分认识这一特殊几

4、何模型，熟练掌握它的结构特征。二、模型的特征“三节棍体”中的垂直关系：（1）异面直线垂直（一组）PABC（2）线面垂直（二组）PA平面ABC，BC平面PAB （3）面面垂直（三组）平面PAC平面ABC，平面PAB平面ABC，平面PAB平面PBC此模型中涵盖了立体几何中点、线、面的多种位置关系，突出了 垂直”这个贯穿立体几何的 主干知识点，是探究线线垂直、线面垂直、面面垂直和三种垂直关系间的相互转化的极好的 载体，不但可以破解立体几何中千变万化的空间角，而且可以揭示立体几何的结构特征与本 质规律。图4图5图6三、模型的应用例题 1、如图 4，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，Z ACB

5、=90，AMPB 于 M，ANPC 于N.求证：（1）平面 PBC平面 AMN；（2）PBMNO思路分析（1）由题意得三棱锥中PAAC，PABC，ACBC，所以此几何体就是三节棍体， 易证得BC平面PAC，又AN平面PCA，得BCAN，又因为ANPC，PCnBC=C，由线面垂 直判定定理可得AN平面PBC，又AN平面AMN，由面面垂直判定定理即可得出平面PBC 平面AMN；（2）由AN平面PBC得ANPB，由已知AMPB由线面垂直判定定理可得 PB平面AMN，从面得出PBMN例题2、（2017杭州一模）如图5，在三棱锥S-ABC中，已知Z SAB=Z SAC=Z ACB=90，且 AC=2，求

6、：（1）侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小；（2）三棱锥S-ABC的体积思路分析由题意得三棱锥中SAAC，SABC，ACBC，所以此三棱锥就是三节棍体，易 证得BC平面SAC，所以SCBC，ACBC，即可得Z SCA就是所求二面角的平面角，又得 SC=4，AC=2，所以所求二面角的大小为60o例题3、（2018省第二次联考）如图6，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，BC=2，二面角 A-B1C1-A1的大小为60，求（1）棱AA1的长；（2）点A1到平面AB1C1的距离。思路分析由题意直三棱柱中AB=3，BC=2，得Z ACB=90，得A1C1B1C1，AA1A1C， AA1B1

7、C1，因此几何体A-A1B1C1是三节棍体，易证得B1C1平面AA1C1，所以 AC1B1C1，A1C1B1C1，即得Z AC1A1为已知二面角的平面角为60，所以 AA1=C1A1tan60=；（2）利用等体积法：求得距离。由例1、例2、例3可以看出三节棍体模型，其本质就是运用三垂线定理及其逆定理解题， 而三垂线定理及其逆定理在立体几何中应用的十分广泛，特别是一些非正常位置下的三垂线 定理及其逆定理的应用又是命题的一个热点，因此，该模型具有很强的实用性。例题4、在三棱锥A-BCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，则三棱锥A-BCD的外接球的表 面积是。思路分析通过计算发现ABBC，

8、BCCD，ABCD，此四面体是三节棍体，该几何体可以 从长方体、立方体中得到的，因此，我们可将此四面体补形还原成长方体，而此长方体的外 接球正好是所求四面体的外接球，这样问题就转化为典型的求长方体外接球的表面积问题， 又因为外接球的直径就是长方体的对角线AD，所以外接球的表面积为变式：已知A、B、C、D是球O面上的四点，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，则球O 的体积为。思路分析由已知发现ADBC，ABBC，ADAB，得到球面上的四点构成的四面体是三节 棍体，因此，我们可将此四面体补形还原成立方体，而此立方体的外接球正好是已知的球O, 这样问题就转化为我们所熟悉的求立方体外接球的体

9、积问题，又因为外接球的直径就是立方 体的对角线CD=3,所以球O的体积为 例题5、如图7，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，ABBC且PA=AB=BC，则异面直线PB与 AC所成角的大小。思路分析由题意本题知三棱锥中PAAB，PABC，ABBC，可知三棱锥P-ABC是三节棍 体，因此可以将此三棱锥补形还原成立方体（如图8），这时异面直线PB与AC就转化为我 们常见的立方体的两条面对角线所成角问题，只需将AC平移到PD处，再连接BD，就发现 PBD为正三角形。所以所求角为60。图7图8点评：巧妙利用三节棍体模型可以快速的解决空间角问题、外接球问题。此类几何体有着丰富的垂直关系，搞清楚这些基本特征，有助于培养学生的空间想象能力， 揭示立体几何的基本结构。同时“补形”法体现了立体几何的本质规律各种问题来源，并转化 为学生能够理解的思考策略，体现了构建模型解决立体几何问题的优越性。常言道：教无定法，教学有