概率20162.5,2连续型随机变量及其

1、2.5 连续型随机变量及其 概率密度函数定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得其中F ( x )是它的分布函数则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率密度连续型随机变量的概念xf ( x)xF ( x )分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义p.d.f. f ( x )的性质 常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数，或求其中的未知参数 在 f ( x ) 的连续点处， 积分不是Cauchy 积分，而是Lesbesgue 意义下的积分，所得的变上限的函数是

2、绝对连续的，因此几乎处处可导线段质量长度密度注意: 对于连续型随机变量X , P ( X = a) = 0这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的取值命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零强调 概率为1 (零) 的事件未必发生 (不发生)事实上对于连续型随机变量Xbxf ( x)axf ( x)a例1 有一批晶体管，已知每只的使用寿命 X 为 连续型随机变量，其概率密度函数为( c 为常数) 求常数 c(2) 已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，每只晶体管能否正常工作相互独立，求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.解(1)c = 1000(2)设事件 A 表示一只晶体管的寿命小于

3、1500小时设在使用的最初1500小时三只晶体管中损坏的只数为 Y例2 设随机变量X的概率密度为求(1) (2) 的分布函数。解(1) (2) 当时, 当时, 当时,当时,的分布函数为 (1) 均匀分布( a , b)上的均匀分布记作2.6 常见的连续型随机变量的分布若 X 的密度函数为 ，则称 X 服从区间其中X 的分布函数为xf ( x)abxF( x)ba即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形.在进行大量数值计算时，如果在小数点后第 k 位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从应用场合例3 秒表的最小刻度

4、差为0.01秒. 若计时精度是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率. 解 由题设知随机误差 X 等可能地取得区间 上的任一值，则所以(2) 指数分布若 X 的概率密度为则称 X 服从 参数为的指数分布X 的分布函数为 0 为常数1xF( x)0 xf ( x)0对于任意的 0 a b, 应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似若 X服从指数分布,则所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布指数分布的“无记忆性”事实上例4 假定一

5、大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布, 求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布.解 即T服从指数分布 2.7 正态分布若X 的概率密度为则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布记作 X N ( , 2 ) 为常数，N (-3 , 1.2 )f (x) 的性质： 图形关于直线 x = 对称: f ( +a ) = f ( - a) 在 x = 时, f (x) 取得最大值在 x = 时, 曲线 y = f (x) 在对应的点处有拐点曲线 y = f (x) 以x轴为渐近线曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状 f (x) 的两个参数

6、： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)的形状不变化，只是位置不同 形状参数固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.若 1 2 则比x = 2 所对应的拐点更靠近直线 x = 附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点前者取 Showfn1,fn3大小应用场合 若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加, 则 X 服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差； 人的生理特征；工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；一种重要的正态分布：N (0,1) 标准正态分布它的分布函数记为 (x)，其值有专门的表可查 (x) 是偶函数，其图形关于纵轴对称-xx对一般的正态分布 ：X N ( , 2) 其分布函数作变量代换例5 设 X N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)解P380 附表3例6 已知且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 0 ).解一解二 图解法0.2由图0.3例 3 原理设 X N ( , 2), 求解在一次试验中, X 落入区间( - 3 , +3 )的概率为 0.9974, 而超出此区间的可能性很小由3 原理知，当标准正态分