杆的模型应用及受力情况分析

1、杆的模型应用及受力情况分析中学物理研究问题的思想方法，虽然在课本中没有明确指出，但它已经渗透到各部分内容的叙述中， 只要留心就会发现这样的事实，物理学研究问题时，往往先从大量的事实中，抽象出它们的化身理想化模型（如描述物体的有：质点、点电荷等；描述运动的有：匀变速直线运动、匀速圆周运动、简言曾振动 等；描述过程的有：弹性碰撞、等温变化、等幅振荡等；描述状态的有：热学中的平衡状态、电学中的静 电平衡等；描述器件的有：如单摆、理想电表、理想变压器等），再对模型进行研究，得出有关的定义、 概念、规律等知识，最后用这些规律性的知识去解决问题，这就是中学物理研究问题的基本方法。即从实 际问题分析总结得出

2、A模型研究得出A规律运用解决A实际问题。因此，在解决实际问题时，能否全面的掌握已经学过的模 型（条件、范围、意义等）,是否能从问题所设定的情境中恰当地确认模型、正确地建立模型、熟练地应用 模型是解决问题的关键。物理学中杆是很常见的。由于杆在实际中往往起到传递力和力矩的作用，它受到的可能是压力、拉力， 有时可能是切力。其方向可能沿杆的方向，也可能和杆有一定的夹角。正是因为这样，实际中在没有明确 给出杆的质量的情况下，我们通常将杆简化为：没有质量，不考虑粗细及形变的轻质细杆，即轻质细杆模 型。但实际问题是复杂的，在有些情况下只能将杆简化为：没有质量、没有形变，但必须考虑粗细的轻质 粗杆，即轻质粗杆

3、模型。对杆的这两种模型来说，无论杆受力怎样，运动状态如何，总有：其合力为零；力矩的代数和为零， 这是分析轻质杆受力问题的依据。现举例分析两种模型的应用。例1. 小车上有轻质杆支架，B端固定一质量为m的小球，ADC端为铰链，D为AB的中点，CB 两点在同一水平线上，如图1所示，则1）当小车静止时，球和CD杆对AB杆的作用力各多大？ 2）当小 车以加速度a向左运动时，球和CD杆对AB杆的作用力又怎样？分析：1）当小车 静止时，系统平衡，要 分析小球和CD杆对AB 杆的作用力，必须先分析 小球和CD杆的受力情况。 以小球为研究对象：受力 如图1a，这时有F=mg, 即小球给AB杆的作用力 大小为mg

4、,方向竖直向下。 以CD杆为研究对象：C端 和D端各受一个力作用 （CD为轻质细杆，不计杆 的重力）而平衡，这两个力 一定合力为零，合力矩为零。 受力如图1b，其方向一定沿 CD连线，大小相等，方向 相反，与CD的形状无关。 因此AB杆受力如图1c， 以A为轴，由SM=Q得：F1 ABsin aNADsin（18Q2 a ）=Q 所以 N1 =mg/cos a 2）当小车以加速度a 向左运动时，以小球为 研究对象，这时杆给小球的作用力既有竖直分 量和mg平衡；又有水Fi| mg 图1a图1bFi图1cN1N2F2平分量产生加速度a,如图 Id,有F2=mjg2 a2 , tg 9=a/g CD

5、杆的受力如前。故对AB杆，受力如图1e以A TOC o 1-5 h z 为轴，由SM=0得：F2F2 ,ABsin( cl-9 )-N2 ADsin (1802 a)=0所以N2=m(gtga-a)/sina可见，当 agtg a 时，gtg 9 gtg a 则 9gtg a时，9a,CD杆中有拉力，沿CD方向，AB杆B端F2的反向延长线在ZABC内。例2：如图2所示，质量均为m的小球ABCD分别用轻质杆相连，AB = CD = 2L，AC、BD、OE为细绳，且BD剪断瞬时，OE绳内的张力？AC=BD = L，E为AB的中点，试求：分析：因为杆为轻质杆， 每个小球及杆的受力如图 2a,下杆不受

6、力(否则不能 满足合力为零， 合力矩为零)， 而 a1a2a3 一定 相等(因为AC 间绳不可伸长 AE=BE) 由此可得方程：mg+TN1=maN2mg=maMgT1=ma n1l=n2l解得：N1=N2=4mg/3 所以 T=N1+N2=8mg/3例3、质量为m=6kg半径为R的球B，固定在与半径等长的轻杆AD的一端，另一端可绕A转动，球 搁在放置于水平地面的物体C上，此杆水平，如图3,球与物体间的动摩擦因数四=0.4，将物体从球下匀 速向右抽出，则杆的两端受到的力如何？ (g=10m/s2)杆球受分析：杆球受 力情况如图3a,杆 球受力可转化为 三个共点力,fa必 过A、E两点， 力情况

7、如图3a 以为A转动轴 SM = 0得方程 mg2R=N2R+ f=gN 解得：N=50N 所以，f=20N故将Fa分解为竖直分量FAy=mgN，水平分量Fa x=f,则：Fa= C f 2 + (mg - N)2 = 10 y5 N TOC o 1-5 h z 方向与水平成tga=1/2N同理，球受到AD杆D端的力过D、E两点，受力如图3b。FdFd方向与水平成45角。仔细分析球的受力情D况就会发现存在严重的E f问体，球受力不满足平衡条件。对球无论FD的mg大小怎样，要竖直方向图3b平衡，则水平方向不平衡；要水平方向平衡，则竖直方向不平衡。为什么会出现这样的结果呢？原因是这种情况下把杆看成

8、理想 的细杆，与球接触处为一个点，即把杆看成轻质细杆模型是错误的。假如杆与球接触处真为一个点，拉动 C物体时杆受合力矩不为零，必然转动，D处必被折断。所以这种情况杆与球接触处应为一个面，当拉动 C时，杆与球之间有两个力fd1、fD2,且这两个力要产生一个扭转力矩，即这种情况下杆的粗细不能忽略。 杆球受力如图3c，建立正确的杆的模型以后，所存在的问体都迎刃而解了。O a A B b TOC o 1-5 h z 例4、一根长为2L,质量不计的硬杆，杆的中点和-右端各固定一个质量为m的小球a、b，杆可带着两小球在竖直面内绕O点转动，若杆从水平位置静止O释放，当杆下落到竖直位置时，如图4所示，求两小球

9、之间的杆AB对a、b小球O做的功？并分析图4AB杆的受力情况？分析：a、b两球在下摆的过程中系统机械能守恒。因为是轻质硬杆连接，所以任意时刻两球绕O转 动的角速度相等，故a、b两球在竖直位置时速度关系为：Vb=3 2L=2 L=2 Va以过O点的水平面为零势面，由系统机械能守恒得： m V2 + m V； mgL mg2L = 0 Fb1Fa1Fb2Fb2gL= 5 mgLFa22.6gL 24gL杆对a球做的功等于a球的机械能增量1即W后字ma2 22 即杆对a球做负功5 mgL。解得：Va=，寻、=与1V 2 mg2L= 5 mgL杆对b球做的功等于b球的机械能增量，即Wb= m2即杆对b

10、球做正功5 mgL。可见杆对a、b两球做功的代数和为零。既然杆AB对a、b球都做功，那么杆的受力情况怎样呢？这又牵涉到杆的模型问题，若取轻质细杆模型，则受力如图4a 这种情况对a、b两球受力看不出 问题，但对AB 杆受力则很容易 看出F.和F：的 合力矩不为零，不满足力矩平衡条件。果真这样的话，OAB将被折弯，不在一直线上，这与题设硬杆不符。问题出在哪里呢？问题还出在对AB杆的模型应用上。在这种情况下，杆的粗细不能被忽略，接触处 不再是一个点，而是一个面。杆受力情况应为图4b所示。图中a球受到杆给的Fa1、Fa2的作用，其切向分 量对a球来说与运动方向相反，故做负功；Fa1、Fa2径向分量和重力的径向分量、轴对杆拉力共同提供a 球做圆周运动的向心力。对b球来说，杆给它的力Fb1、Fb2的切向分量与速度方向相同，故做正功；其径向分量和重力的径向分量共同提供b球做圆周运动的向心力。对杆A