机器负荷分配问题概要

1、案例4机器负荷分配问题某机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。高负荷下生产时，产品年产量s1= 8u1，式中u1为投入生产的机器数量，机器的年折损率为a = 07，即年初完好的机器 数量为U1，年终就只剩下0.7 u1台是完好的，其余均需维修或报废。在低负荷下生产，产品 年产量 = 5%，式中2为投入生产的机器数量，机器的年折损率为七=1000台，要求 制定一个五年计划，在每年开始时决定如何重新分配好机器在两种不同负荷下工作的数量， 使产品五年的总产量最高。模型分析 设阶段变量k表示年度，状态变量气是第k年初拥有的完好机器数量。 k 0时它也是k -1年度末的完好机器数量，决策变量x规定为

2、第k年度中分配在高负荷k下生产的机器数量。于是xk - uk是该年度分配在低负荷下生产的机器数量。这里与前面几 个例子不同的是x，u的非整数值可以这样来理解：例如x =0.6表示一台机器在该年度k kk正常工作时间只占60%；匕=0.3表示一台机器在该年度的3/10时间里在高负荷下工作。此 时状态转移方程为kx = 0.7u + 0.9(x u ), k = 1,2, ,5k阶段的允许决策集合是k+1k k kD (x ) = u 10 u x 第k年度产品产量是k k k k kv (x , u ) = 8u + 5(x - u )指数函数是k k k k k kV 8u. + 5(x. -

3、 u )最优值函数为j=kfk (气)=第k年初从七出发到第5年度结束产品产量的最大值由最优化原理得递推关系为 k kf (x ) = max8u + 5(x - u ) + f 0.7u + 0.9(x - u )k k、 k k kk+1kk ku eD (x )边界条件是f (x*) = 0，计算过程如下：-66k = 5 时，f (x ) = max 8u + 5(x - u ) + f 0.7u + 0.9(x - u ) TOC o 1-5 h z 5 50u x5556555max 8u + 5(x 一 u )0u5 x5555=max 3u + 5x %55因为f的表示式是u的

4、单调函数，所以最优决策u *= x，f (x )=8x ；5555555k = 4 时，f (x ) = max 8u + 5(x 一 u ) + f 0.7u + 0.9(x 一 u )44”，44454440u4 x4=max8u + 5(x 一 u ) + 80.7u + 0.9(x 一 u )0u x444444max 14 u +12.2x 0u4 0, d 0, c d，年折损率分别为a和b，0 a b 1，则应用上例相似 的办法可以求出最优策略是，前若干年全部投入低负荷下生产。由此还可看出，应用动态规 划可以在不求出数量值解的情况下确定最优策略的结构。 TOC o 1-5 h z

5、 终端状态固定的情形。如果要求在第5年末完好的机器数量是500台，即x6 =500，于 是由状态转移方程得6x = 0.7u + 0.9(x - u ) = 500即u6 = 4.5x6 - 250055=max 3u + 5x %55这时允许决策集合，(气)退化为一个点，第5年度投入高负荷生产的机器数只能由式 (3-29)作出一种决策，所以=max 8u + 5(x - u )0 u5 x5555=3(4.5x -2500)+5x 55利用递推关系，k = 4时， f( x)= max 8u40u x=18.5 x -7500 5+ 5(x - u ) + f (x )+ 0.9(x4 -

6、u4) - 7500=max 8u + 5(x - u ) + 1850.7u TOC o 1-5 h z 0u x444显然有最优策略:max421.654x - 0.7u - 7500 0以4 尤444u *=0，f (x )=21.65x -7500 21.7x -7500 44444依次相似可得u * = 0, f (x ) = 24.5x - 7500 33 33u * = 0,f (x ) = 27.1x -7500u * = 0, f (x ) = 29.4x - 7500 1111由此可见为满足第5年度末完好机器为500台的要求，而又要使产品产量最高，则前4年均 应全部在低负荷下生产，而在第5年又将部分机器投入高负荷生产。经过计算x =656，u *=45