有限元平面问题5

1、3.用待定系数法求n阶单元形函数的步骤。A由形函数N（ n）的性质N （n） （ 0= 0（j,I的全部节点）确定N （n）用面积坐标L （或局部坐标）表示所包含的因子项。B.写出用待定系数和面积坐标表示的形函数N。C由N （）=1的性质（及乙（）的值）确定待定系数。 i整理并写出N .的最后表达式。全部节点的形函数N由对称轮换性写出。（注意下标次序）六、六节点三角形单元（二阶单元）六节点三角形单元的位移函数和形函数。我们已经构造了二阶三角单元的形函数。因此位移函数可表示为：u = N u + N u + N u + N u + N u + N u - 2N u +N u TOC o 1-5

2、h z i i j j k k 1 12 23 3i i1 1i1v - N v + N v + N v + N v + N v + N v N v +2EN v i i j j k k 1 12 23 3i i1 12二阶单元形函数的讨论i1一（.）,（1）2阶单元形函数满足N（j）= 5 j = j 0（牛） 由N的构造保证 （2）2阶单元的形函数满足 证明：（略去上标）（证过）n +1L N1 = N + N + Nk + N1 + N 2 + N 3=L(2L ：1)+ L Gl 1)+ L(2L -1)+ 4L L + 4L L + 4LLi ij jk kj k k ii j=2L

3、 2 L + 2L2 L + 2L2 L + 4L L + 4L L + 4LL(i i j j k k j k、( k i i =2L2 + L2 + L2 + 2L L + 2LL_+ 2LL+ L + L )1/i j k j 丫 k / i jj k=2N + L ) + L + 2L L + L)-L + L + L )/ i j、k f k i j、 i j k=2(L + L + L ) L + L + L )i j ki j kLi + Lj + Lk = 1.& + N = 1i1艮即 N + N + W +、+ N2 + N3 = 1得证。（3）2阶单元的形函数是x,y的2

4、次函数。显然，对2阶单元而言，形函数N是面积坐标的2次函数，而面积坐标又是x,y的线性函 数。（4）2阶单元函数的几何图形2阶单元的形函数是x,y及面积坐标的2次函数。我们可以用几何图形把它们直观地表 示出来。3.二阶单元位移函数的讨论（1）两种形式位移函数的等价性2阶单元共6个节点，12个自由度（节点位移）。股位移函数u,v分别包含6项：u =以 +以X +以y +以X 2 +以5 xy +以y 2v = P + P x + P y + P x 2 + P xy +P y 2 TOC o 1-5 h z l 123456或由节点位移表示：u = 5气 +Z N1u1i1v = nv+nvii

5、11i1对于线性三角形单元，从第一种形式不附加任何条件，我们导出了第二种表达式。因此， 两种形式是完全等价的。（对矩形单元也一样）对高阶单元把N = f（L，中七用L = L G,y）代入可证。（1） 两种形式位移函数的等价性对线性单元其等价性是显然的。对二阶单元：A：位移函数有两种表达形式B：位移函数是x,y的二次函数，在几何上表示了一个二次曲面因此，要证明这两种表达形式等价，就必须证明这两个二次曲面相等。这可不是一件容 易的事情。除非：u = f G)n解出以n表示为= f u )n u = Nu + Nu 等价，那iiii i1 1i1么问题就归结为求解关于a,（i = i, j,k,1

6、,2,3）的6阶代数方程组。太困难了。 我们定性说明一下：（我们只讨论u）对第一种形式：u = a 1 +a2工 + a3y + a4工2 +a5xy +a6y2为x, y的完全二次式（非完全的n次式我们后面再给大家说一下） 节点坐标、气为待定系数，且气完全由2阶单元的节点坐标和节点位移确定n 由V点位;确定对第二种形式:u = nu + Nuii111、N为面积坐标的2次函数（而乙=（a + bx + c y ） n N为x, y的二次函数ii 2 A i i i i n u为x, y的完全2次式2、N由节点坐标确定，而u = nu + Nu n 由节点坐标、节点位移确定 TOC o 1-5

7、 h z ii i1 1Ii1 显然，两种位移函数包含的内容及x,y的次数都是一样的。因此，既然a为待定的系数，那么我们总可以吧u = Znu +Nu写成u = fG,y）ii i1 1i1的完全二次式。再令f G, y）中各项的系数等于则两种形式就完全等价了。（2）位移函数的收敛性既然两种形式的位移函数是等价的，则我们就可以用这种形式来讨论共收敛性:u =a +a x + a y + a x2 +a xy + a y2v = p + p x + p y + p x 2 + p xy + p y 2 123456在讨论矩形单元位移函数收敛性的问题中，我们已经指出，只要位移函数种包含有常数项和完

8、全的x,y 一次式即解满足收敛准则的前2条。显然，位移函数中包含：u =a +a x + a y + a x2 +a xy + a y2dxdyP JyJAN p N p T dxdy若体积力为重力Y，则有:p=b,-RT，所以A考虑面积坐标：N = L G L - 1), (i = i, j, k )N1 = 4LL, G = 1,2,3; j = j, k, i; k = k, i, j) jj N dxdy =AA A = 03=jj G L2 - LA=2!0!0!=(2 + 0 + 0 + 2)1!0!0!、+ 0 + 0 + 2)2AG = i, j, k)jj N dxdy =

9、jj 4 L L dxdy = 4 x (-_11_)2 A ，AG = 1,2,3)jjN dxdy = y其等效节点荷载为:i j k 123P e)=- 口 )0|00|0 0|0 1|01|0e 3因此，重力由三个边节点均担。(3)面力的移置已知单元某边界受面力q= ix % 作用；求其等效荷载。P86由面力q)= q q、得：(用分力表示)p = t J In 静ds = tjb N i Ness ij若q 为梯形分布的面力，则有合力：q = q L + q L用合力表示q则有：N = L(2L 1)= 2L2 - Lp= tJ,Inrqds = J LNbN. in3TqdsG =

10、 i, j, k ).P = t J N qds = t J G L Lq L + q L ds = t J G L q L q + 2 L L q LL qi 、 i、 i i i i j ji i i i i j j i j jN = 4L L(i = 1,2,3; j = j, k, i; k = k, i, j)L 3!0!2!0!)(2!0!11!)(1 1)(1 1)=q 2 s : s + q 2 s s = q s - - + q s -，13 + 0 + 1112 + 0 + 11 )人(2 +1 +11(1 +1 +1) )，2 3) j 6 6)1 =q st6 iJ L

11、 Lp ds =s i j以!P!G + P + 1卜11 故 P = g q st n P = g q.st, P1=q st6讨 P = f N qds =Gl2 -L XqL + q Lj s j s j j i i j j 由对称性)=6 q s 故：P = 6 q st在j上N = 0. PkGqd。同理：P = t f N qds = t f 4 L L qds = 01 f 1 f j kP = t J N qds = t J 4 L L qds = 0s 2k i xP = tJ N qds = tJ 4LL (q L + q Ls 3s 1 j 1 1 j JA r 21!1

12、!2! 一=4仅 51)s P 1!s J故：P = ? (q + q因此得：(与合力q方向一致)? = Pe ids = 4tf & L L + q L2 Liisst ()+ q /jist ,一 q6 ix总荷载为(梯形)：M st = S ( + q )=虫 + q 122 1 j 61 jqiyqjxqjy0000ix因此：边节点3承担总荷载的2/3。非ij边上的节点不承担。若q为三角形分布的 面力。令q,=。（或0.=。），则有，则节点i承担总荷载的1/3，节点3承知我 0 0 0 0 2q，?担2/3，而节点j不承担。对于高阶的三角形单元，只要给定荷载。我们总可以把形函数N及给定

13、的荷载用面积坐 标表示。然后再计算面积坐标下的等效节点荷载 。e34矩形单元族一、无量纲坐标系（局部坐标系）为了研究高阶单元的方便，我们常用一些代换，引入所谓无量纲的坐标系（ex:L =二（a + bx + c y）。我们怎样建立无量纲的坐标系呢？i 2 A i i i事实上，作变量代换：丫 x& =a则x-y坐标系下的矩形n & -门坐标系下的正方形。P88以后我们对矩形单元族的研究就是在局部坐标系& -门下进行。矩形单元族的概念与三角形单元族一样，我们在四节点矩形单元的基础上，逐一渐增加单元的节点数，形 成了各节点的巨形单元族。节点间的间距是相等的。P89 一阶矩形单元(线性单元)u =a

14、 +a x + a y + a xyv = P + P x + P y + P xy4| r,、1234二阶矩形单元u =以 +以x +以y +以x 2 +以xy +以 y 2 +以x 2 y +以xy 2123456788 个节v = P + P x + P y + P x 2 + P xy + P y 2 + P x 2 y + P xy 2点八、u =a +a x + + a x3y + a xy3 v = P + P x + + P x 3 y + P xy 3 121112矩形单元的全体我们称为矩形单元族。三、n阶矩形单元形函数的确定1.线性单元的形函数12个节点在&-门坐标系下，线

15、性单元如图所示。p89我们仍用待定系数法确定Ni (i = i, j,k,m)设N =M &)-n)(N (j)= N (k)= N(m)= 0)则由Niiii(i)= 1 得:1 = x ( +1)1 +1)=4(1 -Q1 -n)三角形单元LiLk对称矩形单元&对称。设N = X (1+。(-n)， 则由 Nj (j )=1 得：1=x j G+1)1+1)/.Xj同理，设:=:G g)G+r()N =X G + )C+r|) k kN =人(1 &)G+r|)mm线性单元的形函数为:N =-G-g)(-门)i 4Nj 4N = -G + )(+r|) k 4N = -G-)(+r|)、m

16、 4N G = i, j, k, m)苗足:N(J)=5jii并N =1iN +N +N +N =项&)(-q)+G 顼+门)+(1 + 顼+门)+。+ 顼_门) i i k mA.N./xv1- 1_1C xY /1 + 1 41 1人( rV1 + -1 + 土4( 1人xY=1 4。人b)b)* zjy A1+兰b)nNy.)用节点坐标表示令：&=三，则有: a b用节点坐标表示:便于编程便于记忆N = 1 G-&）1 -门）iNjNkNm4=1G+&）（-门）4n n =1G+冥）（+侦）=1G+顼+n）=4G+顼+门）i 4 i i 400=4 G&）（+n）& =冥0i门=门与在&

17、-门坐标系直接推导的结果一致。因此，一般人们为了方便起见，在无量纲坐标x y系下建立形函数n用& =一,叩=号代入变换到有量纲的局部坐标系n坐标系移到结构坐 a b标系下。故对称矩形单元族我们都用& -门的无量纲坐标系来研究。2.二阶矩形单元的形函数为了提高矩形低钠盐的精度，我们可以用高阶的矩形单元。二阶矩形单元如图表示，它有8个节点：i ,j,k,m,l,2,3,4p91取无量纲坐标系如图所示（&-n）。我们仍用待定系数法来推导它的形函数。先求n,由N（2）的5性质，我们可以设：iNG）= G-E）1 -门）-1-E-门）T （节点1-4的直线方程为：-&-门-1 = 0i& =门=-1,

18、N（2） = 1.1=人 G+1）1+1）-1+1+1）在节点i:-人=1. i 4故：N（2） =1G一&）1 一门）-1一&一门）i4一般地，我们把包含若干个节点的直线方程写成f&,n）= o的形式，则nj中必包含f G ,月）项。求 N G）。包含节点k,3,m的直线方程为：1 -门=0包含节点m,4,i的直线方程为：1 + & =0包含节点2,1的直线方程为：-1 + &-门二0,-设泌)=人 6 + &)(一门) -r| -1)在节点j上： 1; & =1； T = 1.1=人 G+i)(+i)(+i-i)j人=1J 4泌)=人 6 + &)(一门) -r| -1)j i同理有：NS

19、)”i)i 4*)=J 4*) =+门) +r| -1)j 4N6 = LG _ g)(+r|)Cg+r|_l)I j 4同理可用节点坐标表示为：N2)= ： G + &)(+r|r|)&+r|r|1)(i = i,j,k,m) i 4 ii i i对节点1,求N如显然，设：必)二人G-&)(-门)(+ &) 1 1 1节点上：NG)= 1；& =0；门二一1 1.1=人 G-o)(+i)(+o) 1:.X =11 2.必) 里 J5+&)1同理，我们可以写出:NS ） = 1（1 我 + &）J） i 2* ） = 1（1 + &）（ +危-n） 22N（2 ） = 1（1 我 + &）（

20、+n） 32N（2 ）= 2 G 我疝 +GN（2）= 1C 一&2 j 门） i 2n（2 ） = 1（-n 2 +&）22n（2 ） = 1（-&2 +n） 32ng） = 1 （-n 2 X-&） TOC o 1-5 h z 42用节点坐标表示为：n G）= L（& 2 X+nn）G = 1，3） 12iN G）= L（-n 2 X + &）（2 = 2,4）22i再令0 平,G = i, j,k, m,1,2,3,4）In =n n0ing ） =1 +ni）1 +n*+&* = i, j, k, m）则* TOC o 1-5 h z N（2 ）= X-&2 X+n ）G = 1,3）

21、 12oN（2） = 1 （-n 2 X + & ）,（2 = 2,4）220这就是8节点矩形单元的8个形函数。有了单元的形函数，则单元的位移就可写成：u = &u. +尤 Nui1v = Nv+&vii11& 加川蒐线性变换，而川）与x（y）也是线性关系。因次，& G）Wx（y加是线性关系。 0000用类似的方法，我们可以确定出n阶矩形单元的形函数。形函数确定后，便可直接写出 单元的位移函数。但是，还有一个问题不知大家是否注意到。四、矩形单元族位移函数的讨论作为一个例子，我们进一步考察一下二阶矩形单元的形函数和位移函数的关系。对于三 角形单元族：线性单元：3个节点n位移函数3项n完全一次式P

22、94二阶单元：6个节点n位移函数6项n完全二次式三阶单元：10个节点n位移函数io项n完全三次式n阶单一的位移函数为完全n次式Ex：二阶单元：u =气 +a2x + a3y + a4xy + a5y2或u = Nu 圣Nui i1 1i1N = L (2 L 1) (i = i, j, k)N1 = 4 LL, G = 1,2,3)L =(a + b x + c y)i 2 A i i i显然：由L G = i, j,k为x,y的完全一次式n N.、N为x,y的完全二次式。因此，我们前面已经定性地说明了等价性u = fOo u = nu +Nu。对于矩形单元族， ii i1 1i1情况就不一样

23、了，我们以二阶矩形单元族为例说明一下:二阶矩形单元有8个节点。由Pascal 三角形我们知道，x,y的完全二次式有8项，完全3次式有10项。因此，二阶单元的位移 函数既不是一个x,y的完全2次式，也不是x,y的完全3次式。（对一阶矩形单元一样）因此，我们就不能像三角形单元族那样直接选择完全n次式作为ie位移函数。ex：u =气 +a2x + a3y + a4x2 +a5xy + a6y2 （对二阶三角形单元） 对二阶矩形单元，其位移函数可表示为：u =&u +&ui1V = &v +&vi1那么它对应着以下哪种选择呢?u =以 +以x +以y +以x 2 +以xy +以y 2 +以x 3 +以y 3 TOC o 1-5 h z 12345678v = P + P x + P y + P x 2 + P xy +P y2 + P x3 + P y3 123456