心理学统计 第四章 离散量

1、第四章 离散(lsn)量主讲(zhjing)：任杰共五十八页离散(lsn)量离散量：反映一组数据离散趋势或离散程度的统计量，用来表示(biosh)一组数据的分散情况。次数分布的两个基本特征:中心位置与离散性7/26/20222第四章 离散量共五十八页图例(tl)7/26/20223第四章 离散(lsn)量共五十八页离散(lsn)量方差(fn ch)与标准差标准分数全距平均差差异系数离散量的种类相对差异量绝对差异量百分位差7/26/20224第四章 离散量共五十八页第一节 全距与百分位差一、全距全距：即一组数据(shj)中最大值与最小值的差。常用大写字母R表示。（Range=Max-Min）7/

2、26/20225第四章 离散(lsn)量共五十八页第一节 全距与百分位差一、全距全距：即一组数据中最大值与最小值的差。常用大写字母R表示。（Range=Max-Min）用全距表示一组数据的离散程度是非常粗略(cl)和不准确的。7/26/20226第四章 离散(lsn)量共五十八页二、百分(bi fn)位数与百分(bi fn)等级（一）百分位数把一个次数分布排序之后，分为100个单位，则某个特定百分点对应的原始(yunsh)分数即为百分位数，它表明在次数分布中有该特定百分数的数据低于该分数。通常用P加下标p（代表某个特定百分点）表示。如：P75=78代表有75%的数据小于78。7/26/2022

3、7第四章 离散量共五十八页二、百分(bi fn)位数与百分(bi fn)等级（一）百分位数计算公式7/26/20228第四章 离散(lsn)量共五十八页二、百分(bi fn)位数与百分(bi fn)等级（一）百分位数7/26/20229第四章 离散(lsn)量共五十八页二、百分(bi fn)位数与百分(bi fn)等级（一）百分位数例：在上表中,假设老师要对全班的前15%的学生进行奖励,请问至少要多少(dusho)分才能获得奖励.7/26/202210第四章 离散量共五十八页二、百分(bi fn)位数与百分(bi fn)等级（二）百分等级分数某个已知原始分数在其所处分布中的相对(xingdu)

4、位置叫百分等级分数。通常用PR表示。7/26/202211第四章 离散量共五十八页二、百分位分数(fnsh)与百分等级（二）百分等级(dngj)分数计算公式7/26/202212第四章 离散量共五十八页二、百分(bi fn)位数与百分(bi fn)等级例：在上表中,假设某位学生(xu sheng)考了76分，请问全班有多少人排在他的前面？7/26/202213第四章 离散量共五十八页二、百分(bi fn)位数与百分(bi fn)等级百分位数与百分等级的关系：二者都是用来表示个体在团体中的相对地位；计算过程相反，一个(y )是由百分数计算原始分数，另一个(y )是由原始分数计算百分数。7/26/

5、202214第四章 离散量共五十八页三、百分位差与四分(s fn)位差一些常用的百分位数Q1=P25 ，即第25%点对应(duyng)的原始分数，是第一个四分位数Q2，第二个四分位数Q3，第三个四分位数例：7/26/202215第四章 离散量共五十八页三、百分位差与四分(s fn)位差百分位差(例：)用P10和P90之间的距离(jl)作为差异量数，即百分位差。作用：比全距更精确、更稳定，不易受两极端数据的影响。7/26/202216第四章 离散量共五十八页三、百分位差与四分(s fn)位差四分位差(例：)百分位差的一种(y zhn)，通常用符号Q表示，指在一个次数分布中，中间50%的次数的距离

6、的一半。Q=（ Q3 -Q1）/27/26/202217第四章 离散量共五十八页第二节 平均差、方差(fn ch)与标准差一、平均差：每一个观测值与平均数的距离的和的平均。用A.D.（average deviation）表示(biosh)。xi：= 叫做离均差7/26/202218第四章 离散量共五十八页平均差的应用(yngyng)平均差是用来表示一组数据离散程度的较好的差异量数，反应灵敏，确定严密。缺点是在计算时要取绝对值，不利于代数方法(fngf)的运算；也不利于进一步的统计分析。 7/26/202219第四章 离散量共五十八页二、方差(fn ch)与标准差1.基本定义方差（Varianc

7、e）：也叫变异数、均方，是每个观测值与该组数据的平均数之差平方后和的均值(jn zh)，即离均差平方和的平均数。样本方差和总体方差的计算方法和含义是一致的，但符号不同，前者用S2表示 ，后者用2表示。标准差（Standard deviation）：即方差的平方根，样本方差常用符号S或SD表示，总体方差则用表示。 7/26/202220第四章 离散量共五十八页2.方差(fn ch)与标准差的计算公式7/26/202221第四章 离散(lsn)量共五十八页练习(linx)试推导用原始数据计算(j sun)方差和标准差的公式。7/26/202222第四章 离散量共五十八页次数(csh)分布表组别组中

8、值（Xc）次数（f）相对次数上限以下累积次数累积百分数42.5-47.54510.03313.347.5-52.55030.100413.352.5-57.55530.100723.357.5-62.56030.1001033.362.5-67.56540.1331446.667.5-72.57040.1331859.972.5-77.57580.2672686.677.5-82.58030.1002996.682.5-87.58510.03430100.0总和（）N=301.007/26/202223第四章 离散(lsn)量共五十八页计算(j sun)并思考计算下列四组数据(shj)的平均数

9、，并找出每组数据(shj)的最大值和最小值：A7、7、8、8、8、9、9B4、5、7、8、9、11、12C1、4、7、8、9、12、15D 1、8、8、8、8、8、15思考：这四组数据有什么不同？仅仅用平均数能不能反映这组数据的所有特性？为什么？7/26/202224第四章 离散量共五十八页3.标准差的性质(xngzh)一组数据的每一个观测(gunc)值都加上一个常数C，其标准差不变。 一组数据的每一个观测值都乘以一个常数C，其标准差为原标准差乘以常数C。7/26/202225第四章 离散量共五十八页证明(zhngmng)并思考试证明上述标准差的性质并思考在每种情况(qngkung)下数据分布

10、形态的变化。7/26/202226第四章 离散量共五十八页4.方差(fn ch)与标准差的意义方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，具有(jyu)以下优点：反应灵敏，每个数据取值的变化，方差与标准差都会随之变化；有一定的计算公式严密确定；容易计算并适合代数运算;7/26/202227第四章 离散量共五十八页4.方差(fn ch)与标准差的意义受抽样变动的影响小；具有可加性，因此可以分解并确定出属于不同来源(liyun)的变异性，并可进一步说明每种变异对总结果的影响，是以后统计推论部分常用的统计特征数。7/26/202228第四章 离散量共五十八页三、标准分数及其应用(yngyng)1.

11、 标准分数（Standard Score）:又称基分数(fnsh)或Z分数，是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。 7/26/202229第四章 离散量共五十八页2.标准分数的计算(j sun)其中：Xi代表原始(yunsh)分数 为一组数据的平均数S为标准差。 7/26/202230第四章 离散量共五十八页例子(l zi)计算B组各数据(shj)的Z分数及其和7/26/202231第四章 离散量共五十八页3.Z分数(fnsh)的性质在一组数据中，所有由原分数转换(zhunhun)得出的Z分数之和为0，其Z分数的平均数也为0。一组数据中各Z分数的标准差为1。7/26/20

12、2232第四章 离散量共五十八页4.Z分数(fnsh)的应用Z分数可用于比较一组数据中的观测值在该组数据中的相对位置，并可根据Z分数的大小判断该数据距离中心(zhngxn)位置的远近。7/26/202233第四章 离散量共五十八页4.Z分数(fnsh)的应用Z分数可用于比较性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。例：我市3岁幼儿的平均身高为90公分，标准差为20公分；平均体重为10公斤，标准差为5公斤。现有(xin yu)一3岁幼童身高100公分，体重15公斤。问该儿童是身高偏高？还是体重更偏重？7/26/202234第四章 离散量共五十八页4.Z分数(fnsh)的应用当已知同一样本或

13、对象(duxing)各不同质的观测值的次数分布为正态时，可用Z分数求不同的观测值的总和或平均值。例：甲、乙、丙三生的某四门功课的成绩如下表，试问三生的总体学习成绩孰优孰劣？7/26/202235第四章 离散量共五十八页课程A课程B课程C课程D甲81807278乙94649091丙72606774全班平均成绩73756782标准差131314117/26/202236第四章 离散(lsn)量共五十八页4. Z分数(fnsh)的应用Z分数可用来表示标准测验的分数。经过标准化的心理与教育测验，如果其常模分数分布接近正态分布，常常(chngchng)转换成正态标准分数，能更清楚地表明某一分数在相应团体

14、中的位置。7/26/202237第四章 离散量共五十八页其转换公式为：Z=aZ+b其中(qzhng)：Z为正态标准分数 a 、b为常数，通常为该测验总的标准差和总平均数,有时也用经验分数。 X为原分数 为某团体（或年龄组）的平均分数 S为该团体或年龄组的标准差7/26/202238第四章 离散(lsn)量共五十八页一些(yxi)测验的常模Z分数 0, 12T分数 50, 102GRE,SAT500,1002WechlerIQ100, 152SbIQ100, 1627/26/202239第四章 离散(lsn)量共五十八页练习(linx)并证明例一：某校大二学生分属三个学院，全部参加了某次英语四级

15、考试，其成绩见下表，试计算该校大二学生CET-4平均成绩和总的标准差。并找出计算总标准差的通用(tngyng)公式。学院A学院B学院C平均数 74 7065标准差 25 1030人数100120807/26/202240第四章 离散量共五十八页方差(fn ch)的可加性证明7/26/202241第四章 离散(lsn)量共五十八页方差(fn ch)的可加性证明在上式中，总的方差（变异）被分成两部分，前一部分可看作(kn zu)是组内方差或由组内原因引起的变异（如被试内的差异） ；后一部分可看作是组间的方差或由不同的组引起的变异（如实验中不同的变量） 。7/26/202242第四章 离散量共五十八

16、页方差(fn ch)的可加性证明因此，标准差是反映一组数据离散程度的高效差异量。对于两组同质的数据来说，要比较它们之间的离散程度，就要用标准差的大小(dxio)来衡量，标准差大，说明该组数据较分散，标准差小，说明该组数据较集中。7/26/202243第四章 离散量共五十八页例二：试分析例一中三个学院CET-4成绩分布的分散程度。例三：已知某小学一年级学生的平均体重为25公斤，体重的标准差为3.7公斤，平均身高(shn o)为110厘米，身高(shn o)标准差为6.2厘米，问身高(shn o)与体重的离散程度哪一个大？7/26/202244第四章 离散(lsn)量共五十八页利用标准差进行比较是

17、有严格条件的：即进行比较的数据组是对同一特质用同一种测量工具进行测量而获得(hud)的，并且样本的总体之间差异不大，即样本平均数差异不大。这是一个绝对差异量。7/26/202245第四章 离散(lsn)量共五十八页四、差异(chy)系数这样，如果两个样本水平相差较大，就要借助相对差异量来进行比较。最常用的相对差异量就是差异系数(xsh)。1.差异系数：又叫变异系数、相对标准差等，通常用符号CV表示。其计算公式如下： 7/26/202246第四章 离散量共五十八页2.差异(chy)系数的应用条件同一团体不同特质观测值离散程度的比较；进行的是同一种观测，但水平相差较大的各种团体，进行观测值离散程度

18、的比较；此外，适用于用差异系数(xsh)进行比较的测量值最好是比率变量，如重量、长度、时间和编制得好的测验量表。7/26/202247第四章 离散量共五十八页例四：今有一画线实验(shyn)，标准线分别为5厘米及10厘米，实验(shyn)结果5厘米组的误差平均数为1.3厘米，标准差为0.7厘米；10厘米组的误差平均数为4.3厘米，标准差为1.2厘米。请问，如何比较其离散程度的大小？7/26/202248第四章 离散(lsn)量共五十八页3.差异系数(xsh)的缺点差异系数的缺点主要在于它只能用于一般的相对差异量的描述上，至今尚无有效的假设检验方法，因此(ync)对差异系数不能进行统计推论。7/

19、26/202249第四章 离散量共五十八页次数分布(fnb)的分布(fnb)形态正态分布与偏态分布正态分布（normal distribution）：以平均数为中心位置(wi zhi)的对称分布。偏态分布（skewed distribution）：非对称分布。正偏态分布（positive skewed）：次数分布中低分数偏多，尾部在高分端（右端），也叫右偏分布。负偏态分布（negative skewed）：次数分布中高分数偏多，尾部在低分端（左端），也叫左偏分布。7/26/202250第四章 离散量共五十八页图例(tl)7/26/202251第四章 离散(lsn)量共五十八页图例(tl)7/26/202252第四章 离散(lsn)量共五十八页次数(csh)分布的分布形态不同分布中平均数、中数及众数(zhn sh)之间的关系：分布形态 关系正态分布M=Md=Mo正偏态分布MMd Mo负偏态分布MMd Mo7/26/202253第四章 离散量共五十八页动差体系(tx)动差：用来反映数据离散情况的统计指标。计算原理：是把次数分布中各组的次数当作力学上的力，各数值（或组中值）与原