中心对称图形2复习

1、中心对称图形2复习一、圆的定义（运动观点）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”圆的定义辨析篮球是圆吗？圆必须在一个平面内以3cm为半径画圆，能画多少个？以点O为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？圆是一条封闭曲线圆周上的点与圆心有什么关系？点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的

2、集合。由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？一、点与圆的位置关系ABC点与圆的位置关系点到圆心的距离d与圆的半径r之间关系点在圆外点在圆上点、在圆内Odrdrd=r0dr 如果点A、B、C是圆所在平面内的点，d 表示点到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有问题：（1）经过一个已知点可以画多少个圆？（2）经过两个已知点可以画多少个圆？这样的圆的圆心在怎样的一条直线上？（3）过同在一条直线上的三个点能画圆吗？定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。二、过三点的圆及外接圆1.过一点的圆有_个2.过两点的圆有_个，这些圆的圆心的都在_ 上.3.过三点的圆有_个4.如何作过不在同一直线上的三点

3、的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）5.锐角三角形的外心在三角形_，直角三角形的外心在直角三角形_，钝角三角形的外心在三角形_。无数无数0或1内外连结着两点的线段的垂直平分线斜边的中点经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？C90ABC是锐角三角形ABC是钝角三角形圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).O经过圆心

4、的弦叫做直径(如直径AC).AB弧分优弧、半圆和劣弧三种。AB小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 (用两个字母).ADB大于半圆的弧叫做优弧,如记作 (用三个字母).ABCD注 意1、弦的两个端点在圆上2、直径是弦，是过圆心的弦3、半径不是弦，因为圆心不在圆周上_B_O_A_C圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。AOB、AOC、BOC就是圆心角。 ODCBAFE圆的中心对称性和旋转不变性：圆心角定理：AOB= CODAB=CDAB=CDOE=OF（OE AB于EOF CD于F）圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角定理：

5、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。ABCO推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90圆周角所对的弦是直径。同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于该弧所对的圆心角的一半。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。在同圆或等圆中,如果两个圆心角, 两条弧,两条弦, 中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.复习回顾性质:圆心角的度数与它所对弧的度数相等. 度数相等的角是等角，但度数相等的弧不一定是等弧（除非在同圆或等圆中）。OABAB垂径定理三种语言定理 垂直于弦的直径平分弦,并

6、且平分弦所的两条弧.垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题 想一想OABCDMCDAB,如图 CD是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.例2、如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径。MA辅助线关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。PBOA四、圆心角、弦、弧、圆周角前三组量中有一组量相等，其余各组量也相等；注意：圆周角有两种情况圆周角的推论应用广泛2. 在O中，弦AB所对的圆心角AOB=100，则弦AB所对的圆周角为_

7、.（05年上海）1.如图，O为ABC的外接圆， AB为直径，AC=BC， 则A的 度数为（ ）（05泉州 ）A.30 B.40 C.45 D.60500或1300五、直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系直线名称直线与圆的交点个数相离相切相交ldrdr0d=r切线1dr割线2 如何判定一条直线是圆的切线？切线有哪些性质？复习过圆上一点能作几条切线？过圆外一点呢？直线与圆有唯一公共点；直线到圆心的距离等于该圆的半径；切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线和圆只有一个公共点。切线和圆心的距离等于半径。切线垂直于过切点的半径。1、定义法：

8、和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。2、数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。3、判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。证明直线与圆相切有如下三种途径:注：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径有切点，连半径，证垂直无切点，作垂直，证半径六、切线的判定与性质1.如图，ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D，求证：AC是圆的切线ABEOCD切线的判定一般有三种方法：1.定义法：和圆有唯一的一个公共点2.距离法

9、： d=r3.判定定理：过半径的外端且垂直于半径ABC和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形叫圆的外切三角形三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质名称确定方法图形性质外心内心三角形三边中垂线的交点三角形三条角平分线的交点（三角形外接圆的圆心）（三角形内切圆的圆心）1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的内部1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；3.内心在三角形内部PA、PB分别切O于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，

10、它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理APO。B几何语言:反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法。切 线 长 定 理。ABPOPA、PB分别切O于A、BPA = PBOPA=OPB切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。abcABCrr =a+b-c2例：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为_。2cmr =2sa+b+c=aba+b+c。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连

11、结圆心和切点 我的收获我们根据圆周角相对于圆心的位置把圆周角分成三类，先解决一类特殊问题，再把其他两类转化成特殊问题。圆周角定理的证明思路：1、点与圆及直线与圆的位置关系2、两圆五种位置关系中两圆半径与圆心距的数量关系图形性质及判定公共点个数外离dR+r外切d=R+r外离 R-r dR+r内切d=R-r内含0dR-r没有一个两个一个没有点在圆内、在圆上、在圆外相离、相切、相交3、如果两个圆相切，则切点一定在连心线上。 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。两圆位置关系的性质与判定:0RrR+r同心圆内含外离 外切相交内切d 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n

12、边形的中心。 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。九、弧长的扇形的面积弧长的计算公式为： =2r=扇形的面积公式为： S=因此扇形面积的计算公式为S= 或 S= r圆锥的侧面积 和全面积OPABrhl 复习巩固圆锥的侧面积和全面积如图:设圆锥的母线长为l , 底面半径为r.则圆锥的侧面积公式为： 全面积公式为：=rl r2n=.O1O2ABCDEF 如图：O1与O2相交于A、B两点，过点A的直线分别交O1、O2于点E、F， O1的弦BC交O2点D。问EC与DF的位置关系如何？请说明理由。赵州石拱桥1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(

13、弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 随堂练习你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？赵州石拱桥随堂练习解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题意得在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.2 如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域. 课后拓展55mo4m5mo4m正确答案思考

14、题：如图，在O中，DE=2BC， EOD=84，求 A的度数。ABCDEO你好聪明！9.已知O内切于四边形ABCD，AB=AD，连结AC、BD，由这些条件你能推出哪些结论？（不添加辅助线）ABODC(1) ABD=ADB(2)AC平分BAD(3)AC过圆心(4)AC垂直平分BD(5)AB+CD=AD+BC(6) CA平分BCD(7)BC=CD(8)S四边形ABCD=ACBD/2(9)ABCADC(10)AB2+CD2=BC2+DA2船能过拱桥吗2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺

15、利通过这座拱桥吗？相信自己能独立完成解答. 做一做在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。想一想? 当r满足_ 时,C与线段AB只有一个公共点. r=2.4cmBCAD453d=2.4cm 或3cmr4cm 船能过拱桥吗解:如图,用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题意得 做一做在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R=3.9（m）.在RtONH中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形

16、油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 做一做ED 600垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. 想一想BAO600 650DC三、垂径定理（涉及半径、弦、弦心距、平行弦等）1如图，已知、是的两条平行弦，的半径是，。求、的距离(05年四川)BAODCFEODCBAFE2如图4，M与x 轴相交于点A（2，0），B（8，0）， 与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是 （05沈阳 ）例.CD为O的直径,弦ABCD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.ABCDEO.练习矩形ABC

17、D与圆O交于A,B,E,FDE=1cm,EF=3cm,则AB=_ABFECD2.在Rt ABC中，C=90,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作B，问：（1）A、C、D、E与B的位置关系如何？ （2）AB、AC与B的位置关系如何？EDCAB6.已知ABC，AC=12，BC=5，AB=13。则ABC的外接圆半径为 。(04年广东)7. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆的半径分别是_ , _（05大连）8如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点 A，B，C，其中B点 坐标为（4，4），则 该圆弧所在圆的圆心 坐标为 。OACB3、如图，A、B、C三

18、点在圆上，若ABC=400， 则AOC= 。（05年大连）4.如图，AB是O的直径,BD是 O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交O与点F.（1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么?（2）按角的大小分类, 请你判断 ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.(05宜昌)（第201题）：（1）（方法1）连接DO.1分OD是ABC的中位线， DOCA.ODBC，ODBO2分OBDODB，OBDACB，3分 ABAC4分（方法2）连接AD，1分 AB是O的直径，ADBC，3分 BDCD，ABAC.4分（方法3）连接DO.1分OD是ABC的中位线,OD=AC 2分 OB=OD=AB 3分AB

19、=AC 4分（2） 连接AD，AB是O的直径，ADB90 BADB90.CADB90.B、C为锐角. .6分AC和O交于点F，连接BF， ABFC90.ABC为锐角三角形7分练习1.如图,则1+2=_12.3.圆周上A,B,C三点将圆周分成1:2:3的三段弧AB,BC,CA,则ABC的三个内角A,B,C的度数依次为_4.如图,求点D的坐标A(6,0)B(0,-3)C(-2,0)D0 xy例 已知圆心O到直线a的距离为5,圆的半径为r,当r=_时,圆O与a相切.当r_时圆O上有两点到直线a的距离等于3.考点四:考查切线的问题例1如图圆O切PB于点B,PB=4,PA=2,则圆O的半径是_.例2 如

20、图PA,PB,CD都是圆O的切线,PA的长为4cm,则PCD的周长为_cmOABPABCDOP.例3 PA,PC分别切圆O于点A,C两点,B为圆O上与A,C不重合的点,若P=50,则ABC=_2、如图，PA、PA是圆的切线，A、B为切点，AC为 直径，BAC=200，则P= 。（05广东）ACBP3、已知：如图，ABC中，ACBC，以BC为直径 的O交AB于点D，过点D作DEAC于点E，交 BC的延长线于点F（江苏省宿迁市2005 ） 求证：（1）ADBD；（2）DF是O的切线4.某市有一块油三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的

21、中心位置。5.有甲、乙、丙三个村庄，现准备建一发电站，使发电站到三个村庄的距离相等，试确定发电站的位置丙乙甲1已知O1和O2的半径分别为5和2，O1O23， 则O1和O2的位置关系是（ ）（05大连）A、外离 B、外切 C、相交 D、内切2已知两圆的半径分别是2和3，两圆的圆心距 是4，则这两个圆的位置关系是 （ ）（05沈阳 ） A外离 B外切 C相交 D内切3.两圆相切,圆心距为10cm,其中一个圆的半径为6cm,则另一个圆的半径为_.4. 已知圆O1与圆O 2的半径分别为12和2,圆心O1的坐标为(0,8),圆心O2 的坐标为(-6,0),则两圆的位置关系是_.考点六:考查弧长和扇形面积

22、的计算例1 扇形AOB的半径为12cm,AOB=120,求AB的长和扇形的面积及周长.例2 如图,当半径为30cm的转动轮转过120时,传送带上的物体A平移的距离为_.A考点七:考查与圆锥有关的计算例小红准备自己动手用纸板制作圆锥形的生日礼帽,如图,圆锥帽底面积半径为9cm,母线长为36cm,请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为_.|-36cm-|9cm.练习如图有一圆锥形粮堆,其正视图为边长是6m的正三角形ABC,粮堆的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P,处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是_.(保留 )ABCP.专项练习1.三角

23、形的内心是_, 三角形的外心是_.2.一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_.3.圆柱的高为20cm,底面积半径为高的 ,那么这个圆柱的侧面积是_.144.圆的半径为R,则弦长L的取值范围是_.5.在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围成一个圆锥模型,设圆的半径为r,扇形半径为R,则r,R间的关系是_.|-R-|r6.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_.7.如图,圆的半径为2,则阴影部分的面积为_#12.如图PAQ是直角,半径为5的圆O与AP相切于点T,与AQ相交于点B,C两点.(1)BT是否平分OBA?证明

24、你的结论.(2)若已知AT=4,试求AB的长.PTAOBCQ3.如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线ABCD以4cm/秒的 速度 移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）（1）t为何值时，四边形APQD为矩形/（2）如图（2），如果P和Q的半径都是2cm，那么t为何值时， P和Q外切？图1C153ABCOD3.6做圆的直径与找90度的圆周角也是圆里常用的辅助线例4、半径为的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB =,CD=，求AB和CD间的距离.EF.E

25、FDABCO(2)ABDC(1)O做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况。.EABDCOF例4、半径为的圆中，有两条平行弦AB 和CD，并且AB 等于,CD等于，求AB和CD间的距离. (1)(2)OABDC.EF证: 过点O 作OF CD交CD 于 F点,并延长（或反向延长）FO 交AB于 E(如图1、2)，在连接OC、OA，EF=1或7。有垂径定理得，AE=EB= AB=3CF=FD= CD=4 OF CD，OC=5，CF=4OF=3，CD/AB,OF CDOE AB，同理：OE=4， EF=OF+OE=4+3=7图（1）EF=OE-OF=4-3=1图（2）练习题1、已知 O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为P，AB=6，CP=1，则 O的半径为 - 。2、已知 O的直径为10cm,A是 O内一点，且OA=3cm,则 O中过点A的最短弦长=- cm 。3、两圆相交于C、B，AC=100 ，延长AB，AC分别交 O于D、E，则 E= - ABCDOPOAABCDE5850思考题已知AB是 O的直