(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

1、2002-2003第一学期一计算及推导(5*8)1.已知x*=341，xr，试确定x*近似x的有效数字位数。有效数x*715,x2-0.001,x；二0.100，试确定x*+x；+x3的相对误差限。已知f(x)二5x3+1x+2，试计算差商f。丄2,34.给出拟合三点A=(0，1)，B=(1，0)和C=(1，1)的直线方程。5推导中矩形求积公式!bf(x)dx=(b-a)f(a+b)+2-f”们)(b-a)3a224Jbf(x)dxq工Af(x)6试证明插值型求积公式a,=0的代数精确度至少是n次。7.已知非线性方程x=f(x)在区间9从内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。8用三角分解法求

2、解线性方程组_12x10_223x=32-1-30 x211311二给出下列函数值表xi0.40.50.60.70.8f(x)i0.389420.479430.564640.644220.71736要用二次插值多项式计算f(0.63891)的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。(保留5位有效数字)(12分)三.已知方程x+Inx=0在()内有一实根a给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似x0G(0,1)迭代法都收敛，并证明其收敛性。x0二0.5试用构造的迭代公式计算U的近似值xn，要求-xn-j-。四设有方程组a13x一b一111a2x=b2232axb113

3、3当参数a满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。(12分)用欧拉预估校正法求解初值问题y=y-Xy(0-x-0.2)、y(0)=1取h=0.1,小数点后保留5位。(8分)|y=f(x,y)证明求解初值问题1y(xo)=yo的如下单步法y=y+Kn+1n2K=hf(x,y)1nnK=hf(x+1h,y+1K)12n2n21是二阶方法。(10分)七试证明复化梯形求积公式Jbf(x)dx(f(x)+2艺f(x)+f(x)h二a20一1nn对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。(6分)2003-2004第一学期一填空(3*5)1.近似数

4、x*=0.231关于真值x二0.229有-位有效数字。TOC o 1-5 h z專的相对误差为x*的相对误差的倍。设f(x)可微，求x=f(x)根的牛顿迭代公式。Jbf(x)dxq工Af(x)4插值型求积公式a,=0的代数精确度至少是次。5.拟合三点A=(1，0)，B=(1，3)和C=(2,2)的常函数是。已知f(x)有如下的数据X123f(X)2412f(x)3试写出满足插值条件P（二）二f（二）以及P（2）=f（2）的插值多项式P（x），并写出误差的表达形式。11exdx三（1）用复化辛浦森公式计算0为了使所得的近似值有6位有效数字，问需要被积函数在多少个点上的函数值？（2）取7个等距节点

5、（包括端点）用复化辛浦森公式计算f炉仗XdX，小数点后至少保留4位。四.曲线y二x3与y=1-x在点（0.7,0.3）附近有一个交点（兄刃，试用牛顿迭代公式计算x的近似值X，要求lx-X_J-10-3五用雅可比方法解方程组是否对任意的初始向量x（O）都收敛，为什么？取x（0）=（，）T，求出解向量的近maxx（k+1）一x（k）10-6似向量，要求满足1i311。六用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题y=y2+1y(0)=0的解函数在x二.6处的近似值，要求写出计算格式。（步长h二3，小数点后保留5位有效数字）|y=f（x,y）七.设有求解初值问题1y（xo）=yo的如下格式y二ay+by

6、+chf(x,y)n+1n-1nnn如假设yn-1二y（Xn-1），叮y（J）问常数C为多少时使得该格式为二阶格式？2006第二学期一填空（3*5）设近似数x*二12250,x2二0.5168都是四舍五入得到的，则相对误差e（x*x*）r12。Jx=2.8矛盾方程组lxi=3.2的最小二乘解为。近似数x*二0.01999关于真值x*二0.02000有位有效数字.取朽”32，迭代过程爲=yn+0.1再是否稳定？5求积公式1:f（X）dX二2f（2）有几次的代数精确度？二.取初值x0二1.6，用牛顿迭代法求的近似值，要求先论证收敛性。当Xn+1-XJ10_5时停止迭代。y=a+bx2用最小二乘法确

7、定x中的常数a和b，使该曲线拟合于下面的四个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）（计算结果保留到小数点后4位）用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值九1的第k次近似值佯k）及相应的特征向量x1，要求取初值U二（1丄1T且九(k)一九(k-1)10-311这里A=五.5110-21-3考察用高斯赛德尔迭代法解方程组I收敛性，并取x（0）=（1，0，0）T，求近似解x（z，使得叮1）一曹10-3（i=l,2,3）六已知单调连续函数y=f（x）的如下数据x1.120.001.802.20if(x)1.100.500.901.70i用插值法求方程/（x）=0在区间（0.0

8、0,1.80）内根的近似值。（小数点后至少保留4位）七I=J1设有积分0dx4+x取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）用复化的simpson公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。八给定初值问题y（0）=01x1.42)J*1/（x）dx沁设有插值公式-13Akf(xk)，则1Ak=；（只算系数）3)4)设近似数x1*=0.0235求方程x=C0Sx的根的牛顿迭代格式为x*=2.5160都是有效数，则相对误差e(亠)，k=丄2,3对任意的初始向量x（0），X（k+1）是否收敛到Ax=b的解，为什么？2007第一学期.填空1)近似数

9、x*=1.253关于真值x=1.249有位有效数字；5)x+x=1121x-x=112矛盾方程组Ix1+2x2=-12x+2x=2121x-x=112与Ix1+2x2=-1得最小二乘解是否相同二.用迭代法（方法不限）求方程xex=1在区间（0，1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于10-2时迭代结束。三.用最小二乘法y二ax2+bex中的常数a和b，使该函数曲线拟合与下面四个点八、（1，-0.72）（1.5,0.02）,（2.0,0.61）,（2.5,0.32）（结果保留到小数点后第四位）五四用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组1020、(x11r5101011x32=1243x1730

10、103丿Ix丿7丿xix一h0 x0 x+h0f(x)f(x-h)f(x)f(x+h)i000设要给出f二cosx的如下函数表用二次插值多项式求f（x）得近似值，问步长不超过多少时，误差小于10-3。六.设有微分方程初值问题Jy二一2y-4x,0 x0.2!y（0）二21）写出欧拉预估校正法的计算格式；2）取步长h=0.1,用欧拉预估一校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留4位小数）。七.I=J设有积分1dx01+x取11个等距节点（包括端点0和1），列出被积函数在这些节点上的函数值（小数点侯保留4位）；用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留4位

11、）。八.对方程组(1121.（x11x2人丿2211121用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？2取初始向量x=（0,0,0）T，用雅可比迭代法求近似解x（k+i）,使x(k+1)-x(k)10-3(i=1,2,3)ii九.设f(x)在区间a,b上有二阶连续导数，且f(a)二f(b)=O，试证明max|f(x)|(ba)2max|f(x)|8axb参考答案1:(1)3axb(2)2(3)0.0023x4)k+1x一cosxxsinx+cosx1+sinxkkk,k=0,1,2,.1+sinxk(5)否2.方程的等价形式为x=e-x迭代格式为xk+1=e一xk10e-xeo=1收敛

12、性证明；当xe()时，e”(x)=e-xeo=1所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛取迭代初值为xo=0.5，迭代结果如下nxnxx1nn1100.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313.xn11.52.02.5x2n12.254.06.25e2.718284.481697.3890612.18249-12.71828_-0.722.254.48169a0.024.07.38906b0.61矛盾方程组为6.2512.182490.32对应的

13、正则方程组为_61.125118.4989a-3.765118.4989230.4859b_6.538196解得a=2.0019,b=1.0009所以拟和曲线方程为y=2-0019x2-10009ex4.由矩阵Doolittle分解的紧凑记录形式有102050101312431701037丿T10r1回代求解得41x=2x=(61-x)=242,32430 x1xx=34=12150 x=1方程组的解向量为x=(1,1,2,2)tmax5xxx令k-1k+1f)(xx)(xx)(xx)10-33!k1kk+1可求得h0.2498(或h0.2289)6.y1(0)=1.6,y=1.62,y(0)

14、=1.256,y=1.2724227.0.6932|R(f)|1.3333x10-58.1)Jacobi迭代法的迭代矩阵为r01-22022、1丿丿0丿谱半径P(Bj)=01此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛.r4r8r2r2x(1)=1,x(2)=6,x(3)=0,x(4)=03丿7丿1丿1丿9.以x0=a,x1=b为插值节点，做Lagrange插值f(x)=L(x)+2f(g)(xa)(xb)=2-f化)(xa)(xb)其中E(x)ea,b故maxf(x)max丄f(g)(x-a)(x-b)w丄maxf(x)|max|(x-a)(x-b)-(b-a)2max|f(x)|2!28ax

15、baxbaxbaxbaxb计算方法2006-2007第二学期1填空.近似数x*=.142关于真值x二O.139有为有效数字。f1f(x)dxq工Af(x)适当选择求积节点和系数，则求积公式-1“1kk的代数精确度最高可以达到次.设近似数x；二235，x2二2.5160都是四舍五入得到的，则相对误差k(x;x2)的相对误差限近似值y*二后的相对误差为er(x*)的_倍。拟合三点A(0,l),B(l,3),C(2,2)的平行于y轴的直线方程为.2.用迭代法求方程x2+2xex+心=0在(-1,0)内的重根的近似值+1。要求1)说明所用的方法为什么收敛；2)误差小于10-4时迭代结束。xi1.01.

16、11.2f(x)i0.010.110.244设函数有二阶连续导数，在一些点上的值如下3.用最小二乘法确定y二ax2+blnx中的a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点(1.0,1.01),(1.5,2.45),(2.0,4.35),(2.5,6.71)(计算结果保留到小数点后4位)写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算f(1.1)。5已知五阶连续可导函数y=f(x)的如下数据x01f(x)01f(x)01f(x)0试求满足插值条件的四次多项式p（x）.6设有如下的常微分方程初值问题dyx4二二一,1x1.4dxyy二1写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。取步长0.2用

17、上述格式求解。I=J0.6ex2dx7设有积分01）取7个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位）2）用复化simpson公式求该积分的近似值。8用LU分解法求解线性代数方程组仃120211-12、225试取出试点x0二0.3,参考答案；1:（1）2,9当常数c取合适的值时，两条抛物线y二x2+x+c与y二小就在某点相切,用牛顿迭代法求切点横坐标。误差小于10-4时迭代结束。(2)2n-1(3)2.1457*10E-3(4)1/5(5)x=12解：将方程变形为(x+ex)2=0即求x+ex=0在（-1，0）内的根的近似值xn+1牛顿迭代格式为x=x-n+1n1+e

18、xn收敛性证明；局部收敛定理结果x4=-0.56714。3用最小二乘法正则方程组为I61.125a+9.41165b二65.86&解得a=1.0072;b=0.45639.41165a+1.48446二10.15864解推导中心差分格式f”(x)=(f(x+f(x)-2f(x)1h2021得到f”(l.l)二3解p(x).=-2x4+3x3截断误差R(x)=f)x3(x-1)2y(1.2)=1.2;y(1.4)=1.40.6805(0101)9解两条曲线求导y=2x+1和y=x-2切点横坐标一定满足2x+1=x-2将等式变形为f(x)=4x3+4x2+x-1牛顿迭代法结果为0.34781200

19、8第一学期1填空(15分)1)设近似数x1*=9.2270，x2*=0.8009都是四舍五入得到的，则相对误差e(x*x*)p（Xi）二广（Xi）的三次插值多项式p（x）,并写出截断误差R（x）=f（x）P（x）的导数型表达式（不必证明）I=J2x3exdx（15分）设有积分11）取7个等距节点（包括端点1和2），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）；2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。（10分）给定初值问题y-=0,y(l)=1,1x1.4x写出欧拉(Euler)预估-校正的计算格式;取步长h=0.2，求y(1.4)的近似值。9(

20、10分)用迭代法的思想证明：等号左边有k个2)。lim2+2+J2=2kfg参考答案：1:(1)6.78X105,x=2(3)2(4)n-2(5)32.切线斜率相等：3x2=4.8x+0.51，3x2-4.8x0.51=03x2-4.8x0.51x=x-nn牛顿迭代格式：n+1n6xn-4.8取X0=1.6，得X1=1.70625,x2=1.70002,X=1.70000,X=1.70000a=2.013.矛盾方程组(354正则方程组：4a+bIn2=7.3V9a+bIn3=16.916a+bln4=30.834.84081Ya(672.91134.840813.60921人b丿166.04713丿a沁1.99