《材料力学》附录I截面的几何性质习题解

1、创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日附录I截面的几何性质习题解之马矢奏春创作创作时间：二零二一年六月三十日习题I-1试求图示各截面的阴影线面积对因轴的静积.习題I-J图a)解:S二A-y二(40 x20)x(20+10)二24000(mm3)xc(b)解:(c)S=A-y二(20 x65)x65二42250(mm3)xc2解：S二A-y二(100 x20)x(150-10)二280000(mm3)(d)解:S二A-y二(100 x40)x(150-20)二520000(mm3)xc习题I-2试积分方法求图示半圆形截面对囚轴的静矩，并确定其形心的坐标.解：用两条半径线和两

2、个同心圆截出一微分面积如图所示.dA二（xd）dx；微分面积的纵坐标：卜二xsin0；微分面积对囚轴的静矩为:创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日半圆对冈轴的静矩为:因为S=A-yxc,所以2r31=兀-r2-y32c4ryc-3“习题I-3试确定图示各图形的形心位置.a)解：习题I-3(a):求门形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc离顶边上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.646.4Ai=Li*BiYc=EAiYci/EAi(b)解习题I-3(b

3、):求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXci下1601016005800080128000左90109005549500545002500575002313250053Ai=Li*BiYc=EAiYci/EAiXc=EAiXci/EAi(c)解：习题I-3(c):求槽形与L形组合截面的形心位置型钢号Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽钢2010等边角钢80*107.6-0.6Yc=EAiYci/EAiXc=EAiXci/EAi习题i-4试求图示四分之一圆形截面对冈轴和冈轴的惯性矩口、0和惯性

4、积口.解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示.dA二()dX；微分面积的纵坐标：|y二xsin01；微分面积对X轴的惯性矩为：四分之一圆对X轴的惯性矩为：由圆的对称性可知，四分之一圆对冈轴的惯性矩为：微分面积对因轴、冈轴的惯性积为：习题I-5图示直径为d二200mm|的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为口mm的弓形，试用积分法求余下阴影部份对其对称轴囚的惯性矩.解：圆的方程为：如图，作两条平行X轴的、相距为国线段，截圆构成微分面积,微分面积为：切去匡之后，剩下部份对囚轴的惯性矩为：习题I-6试求图示正方形对其对角线的惯性矩.解：正方形四条边的直线方程如图所示(设水平坐标轴为印竖

5、坐标轴为冈).2(a4a4)+31616丿习题1-7试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴因的惯性矩.(a)11150sI二一兀D4(1-a2)二一X3.14X17541-(一)4二21177368(mm4)解：习题I-8试求图示三角形截面对通过极点A并平行于底边BC的囲轴的惯性矩.解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是豆，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴囤的惯性矩所以Tbhz-121836再次应用平行轴定理，得习题1-9试求图示的半圆形截面对轴岡的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1m.解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是用平行轴定理得截面对形心轴冋的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴

6、罔的惯性矩习题I-10试求图示组合截面对形心轴因的惯性矩.解：由于三圆直径相等，并两两相切.它们的圆心构成一个边长为I的等边三角形.该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴因的距离是上面一个圆的圆心到罔轴的距离是.利用平行轴定理，得组合截面对罔轴的惯性矩如下:习题I-11试求图示各组合截面对其对称轴西的惯性矩.解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是艮4如，孟.利用平行轴定理得组合截面对轴国的惯性矩（b）等边角钢|lOOFOOxlJ的截面积是|1痂她？|,其形心距外边缘的距离是28.4mm,求得组合截面对轴西的惯性矩如下：习题I-11(b)图图形bhIxcaAI

7、x中间矩形1060018000000006000180000000上矩形25010208333052500232583333下矩形25010208333052500232583333左上L形17951001926143869495右上L形17951001926143869495左下L形17951001926143869495右下L形17951001926143869495I=I+a2Axxc1220644645习题I-12试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴因的惯性矩.关于形心位置，可利用该题的结果.解：形心轴回立置及几何尺寸如图所示.惯性矩田计算如下:习题I-12试求图示各截面对其形心轴

8、因的惯性矩.（3）220X14180XH220X3&445X9习题I-13(a)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日创作时间：二零二一年六月三十日-W上矩形100010010000065065000000225833333335145833333下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000全图280000119000000425习题I-13(c)习题I-13(b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上图（3

9、）2515037502751031250148703125089601489中图（2）20015030000125375000025625000056328044下图（1）10050500025125000102104166752667577全图387504906250127198597110图形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形2140115024610005751415075000271222708333159333213698275半圆790-980333335-32869266742750202791399全图1480667108638233373

10、4半圆:y二4r/3兀cI二兀r4/88r4/9兀:1xc1习题I-13(d)图bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)形从下往上22016352082816037475093492438613180142520235796035941160324821280166741078436739577280408242699408242699220143080711218988032950307333432587445940052893613341270344643677352390991273413822023302914开了一个2aa的矩形孔,习题it4在直径叵三回圆截面中，如

11、图所示.试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩叮和耳.解：先求形心主轴爲的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）即是零：（y轴向下为正）（_兀，4欢加尸丿釧山二育7飞+也如七|（组合图形对过圆心轴xl的惯性矩）兀/亞斗兀(也广a:64364心=g_4/=190.4/（1酝/也2（o1的驰）2=廊曲（组合图形对形心轴X的惯性矩）习题I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)42-8.001-82.6671.189314.0圆450.2700201.062-0.1893202.942.27-8-0.1893188.9习题I-15正方形截面中

12、开了一个直径为Id二loomm的半圆形孔,如图所示.试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩.解：习题I-15图形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形2002004000010040000001333333332133546801半圆50-392779-309365685977242860346全图360733690635102130686455y=100c4rTK-r48r4II+a2Axxc3兀Ixc89k形心位置：X（0,102）.对水平形心轴的惯性矩:Ix=l30686455.对竖直形心轴的惯性矩：习题I-15图形arIy(mm4)正方形200半

13、圆502454367全4n-r4y128习题I-16图示由两个亟号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩口和ty相等，则两槽钢的间距回应为几多？解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴同、网的惯性矩是口=1.7SxlO7mm4=l-2SxlO6mm4；横截面积为凶二2磁槽钢背到其形心轴兀的距离是鬲二爼根据惯性矩界说冈和平行轴定理，组合截面对冋門轴的惯性矩分别是鼻二2加+2竝（|+才26=事冋+2竝|+鬲尸等式两边同除以2,然后代入数据，得于是(17.3-1.28)102883所以，两槽钢相距习题I-17试求图示截面的惯性积口解：设矩形的宽为b高为h,形心主惯性轴

14、为兀0y,则由平行移轴公式得：故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为:习题I-17图形bhIxy左矩形10100250000下矩形：10010250000重复加的矩形10102500全图上图+下图-重复图=497500习题1-18图示截面由两习题1-18图xy4个|125mmx125mmx10mm|的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成.试求该截面的最年夜惯性矩和最小惯性矩口.解：从图中可知，该截面的形心C位于两缀板共同的形心上.过C点作水平线，向右为訂轴正向；过C点，垂直于日轴的直线为口轴向上为正.把叵匸坐标绕C点逆时针转莎1后所获得的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心

15、主惯性轴Xo,yO.主惯性矩查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下:A=24.373cm2I=149.46cm4I=573.89cm4z=3.45cm0角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离:（注：缀板用虚线画出，暗示其面积可忽略不计）习题1-19试求图示正方形截面的惯性积口和惯性矩口，口并作出比力.Jy二0（叵5为形心主惯性轴）结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积坚持不变.习题I-20确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩.(a)解：截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形

16、心主惯性轴重合.IxIyIxy-259200000Ix0=704109187-259200000Iy0=541841461II+11，-X0二q(II)2+412I22xyxy10(b)解：以20号槽钢(图I)的下边缘为x轴，左边缘为y轴,建立坐标系.8号槽钢编号为图II.则组合截面的形心计算如下：习题I-20(b)长度单元:cm图形AiXciAiXciAiYciXcYcI1064II16-15全图习题1-20(b)图形AiaiIxciIyciIxciIyciIxciyciIxciycitan2a0a0Ix0Iy0I19811650II0全图22962490习题21试用近似法求习题I-4所示截面的并与该题得出的精确值相比力.已矩该截面的半径r二ioomm解：圆的方程为：把y轴的半径10等分，即卜二10mm|.过等分点,作X轴的平行线.从下往上，每个分块的中点的y坐标与X坐标如下表所示.习题I-21a25xii551024969151510222454252510605154353510114751845451018083835555102526373656510