「第12章薄板的小挠度弯曲问题」

1、第十二章薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件,它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题,由于数学求解的复杂性,因此,需要首先建立应力和变形分布的基本假设。根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度,可以忽略一些次要因素,引入一些基本变形假设,

2、抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。根据基尔霍夫假设,采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡,建立挠度函数表达到平衡方程。对于薄板问题,边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同,典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移;3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。12.1薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几

3、何尺寸，定义薄板为0.5或bn1/80,并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的,因此又称为基尔霍夫假设。根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。学习思路：1、薄板基本概念；2、基尔霍夫假设1、薄板基本概念薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个

4、平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用表示。平分板厚的平面称为板的中面。设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果5/b1/5,称为厚板;如果b=&如果在角点有支座,而且挠度被阻止发生，有此时，支座反力可以根据公式如二（耳卽计算。12.4矩形薄板的经典解法学习要点：本节以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法。问题求解的方法比较多,本节介绍

5、分离变量法。这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下，级数的收敛很快。求解的方法是根据薄板变形，首先将挠度函数写作坐标x和y的函数乘积形式。然后将挠度函数分解为基本方程的特解和齐次方程解两部份，分别应用边界JW=1总条件确定。学习思路：1、边界条件与挠度函数形式;2、挠度函数的分解；3、基本方程的齐次解和特解；4、薄板的挠度和最大挠度。1、边界条件与挠度函数形式下面以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法。设矩形薄板边长分别为a和b，受均匀分布横向载荷q(x,y)作用，如图所示薄板的边界条件为因此，问题的求解归结为在满足上述边界条件求解基本方程师寸w二q匕y)薄板弯曲问题求解的方法

6、比较多，以下介绍应用最广泛的分离变量法。这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下，级数的收敛很快。对于直角坐标，最为方便的是莱维(L6vyM丿解。设其中Ym（y）是坐标y的函数。由于x=0和x=a为简支边界，因此上述挠度函数是满足简支边界条件的。问题是如何使得挠度函数的每一项都满足二田2的边界条件。2、挠度函数的分解由于问题的基本方程是非齐次的偏微分方程，为简化分析，设W=W+W2其中wi和W2分别为基本方程的齐次解和特解。因此叭二0二g（s）f(e-2m=l由于W1为基本方程的齐次解，与载荷无关，而w1+w2必须满足全部边界条件，因此将W取为级数形式。并且考虑其对称性，应该取奇数，即壮十打

7、）沖=oaaa由于上式对于所有的x均成立，所以方程的通解形式为4打=竺（&迹h也+氏竺讪宦+q诙叫氏竺込h竺）Daaaaaa由于薄板弯曲关于x坐标轴是对称的，所以Ym（y）只能是y的偶函数。所以Cm=Dm=因此4&二竺（A叭h皿+乞竺述竺与Daaa由于对称性条件的应用，在卩二士可2的两个边界上，原为4个边界条件，现在只需满足2个。3、基本方程的齐次解和特解对于特解w2,只要任意选择一个满足方程的解就可以。如果横向载荷q为常数,可以取根据上述分析，薄板的挠度函数为4：町+巴二纟甘-2扮+島)+汇工遇h憎+mwsinhw)sijiW24Daaa因此，现在地问题是求出两组待定系数Am,Bm。为了计算

8、待定系数，将上式等号后第一项展开成三角级数。有丄护-2用十代)二豎24D二1,熾TDCrSHI朮Dn懑J因此，挠度函数可以表示为伸二(喘珂sinh)1aa.mux111a将上述挠度函数代入边界条件1=0可以得到4-r-+4Bcosha；fflhm卄2及)海h%+也+民sinha=0ZiiSill：sinha=0mil其中。求解上述方程，可以得到2(a粗tanha+2)coshofm4、薄板的挠度和最大挠度所以，薄板的挠度为4孵41.tanhlKh,+22坷j眄2y.仁2陽j.比皿闿二丄uYQ-cosh一+訥ih)smTOC o 1-5 h z册2coshamb2coshtfmbba在薄板的中心,x=a/2,y=0处，薄板有最大挠度_4q泸寻w=帕m乙U此択=1,聋啊一1斗-m2coshtrmtanh。相+2j4co4齐v51曲=_：,，”M_1(T)丁_5qa34