东北大学07年(研)数值分析

1、2007.12数值分析试题一、简答下列各题：(每题4分，共20分)1为了提高计算精度，求方程x272x+1=0的根，应采用何种公式，为什么？(21、2.设A=，求p(A)和Cond(A)。U2丿2(123、3.设A=221，求A的LU分解式。131J4问|x|=Jx2+(2x+x)2是不是R3上的向量范数，为什么？s1235.求数值积分公式Jbf(x)dx沁f(a)(b-a)的截断误差R/。a二、解答下列各题：(每题8分，共56分)4x+x一x=11231.已知线性方程组qx+3x-x二2，问能用哪些方法求解？为什么？123x+3x一5x=31232解线性方程组Ax=b的Gauss-Seide

2、l迭代法是否收敛？为什么？其中：(2-11、A=11111一2I丄丄厶丿3设y=f(x)gC40,2，且f(0)=1,f(1)=2,f(2)=0,f(0)=0，试求f(x)的三次插值多项式H(x)，并写出余项R(x)=f(x)-H(x)。333给定离散数据Xi-1012yi1-102试求形如y=a+bx3的拟合曲线。求区间0,1上权函数为p(x)=x的正交多项式p(x)，p(x)和p(x)。012确定求积系数A,A,A，使求积公式：123J3f(x)dx沁Af(2-店)+A2f+A3f(2+占)具有尽可能高的代数精度，并问代数精度是多少？利用n=2的复化Simpson公式计算计算定积分f1si

3、nxdx，并估计误差Rf。三、(12分)已知方程2x-cosx=0,01证明此方程有唯一正根；2建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值xg0,1都收敛，说明收敛理由和收0敛阶。3若取初值x=0，用此迭代法求精度为=10-5的近似根，需要迭代多少步？0四、(12分)已知求解常微分方程初值问题：Jyy=f(x,y),xga,by(a)=a的差分公式：hTOC o 1-5 h zy=y+.(k+3k)n+1n412k=f(x,y)1nn22k=f(x+h,y+hk)2八n3丿n3/y=a01证明：此差分公式是二阶方法；2.用此差分公式求解初值问题yy=-10y,y(0)=1时，取步长h=0.25,所得

4、数值解是否稳定,为什么？数值分析试题参考答案）/123r123、r1r123、3.由A=221225，故A:2125131丿11/29/2/11/21丿9/2丿应采用公式:x二36+P362-1,x二x-1二(36+.362-1)-1，避免相近数相减。121A的特征值为九=1,九=3，所以p(A)=3；Cond(A)=3x1=1。1224不是，不满足非负性（如x二（0,1,-2）t丰0，但|x|二0）。5.R(f)二Jbf(x)dxf(a)(ba)=ibf(g)(xa)dx=f(g)xaa(ba)22二、1.由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用顺序Gauss消元法由于系数矩阵行列式不为

5、零，也可以用列主元（全主元）Gauss消元法；由于系数矩阵各阶顺序主子式都不为零，所以可用直接三角分解法（LU）.由于系数矩阵是严格对角占优矩阵，可用J-法，G-S法和SOR（01）法。2九112.令九九1二0得：九（2九+1）2二0，所以G-S迭代矩阵G的特征值为:九九2九九=0,九=九=112，于是p(G)=1/21，所以G-S迭代法收敛。1233.设H(x)=申(x)y+申(x)y+申(x)y+屮(x)y=Q(x)+2q(x)30011220001其中，申(x)=(ax+b)(x1)(x2)=1/4(3x+2)(x1)(x2)0申(x)=Cx2(x2)=x2(x2)1所以，H(x)=1/

6、4(3x+2)(x1)(x2)2x2(x2)=1/4(5x2+x+2)(x2)3或令H(x)=(ax2+bx+c)(x2)，用待定系数法求出。3余项为：R(x)=f(x)H(x)=f(4)(gx)x2(x1)(x2),ge(0,2)334!x4取9(x)=1,9(x)=x3，则有9=(1,1,1,1)T,9(x)=(1,0,1,8)T,f=(1,1,0,2)T,0101正则方程组为鳥6：:25，拟合曲线:+11x3:0.060.22x3。50505区间0,1上p(x)=x的正交多项式：p(x)=1,0J1x2dxp1(x)(p,p)001xdxp2x2J1x3dxJ1xdxJ1x3(x一2/3

7、)dxJ1x(x-2/3)2dxx263x+-510006令公式对f(x)=1,x,X2精确成立，得A+A+A二2,123解得：(2-j3T5)A+2A+(2+,：3T5)A二4,TOC o 1-5 h z123(2-“邸)A+4A+(2+375)2A二26/3123所以，公式为：J3f(x)dx沁-5f(2.375)+8f+5f(2+v375)19f(x)=X3时，左=20，右=180/9=20，公式精确成立,f(x)=X4时，左=242/5，右=2178/5/9=242/5，公式精确成立，f(x)=X5时，左=364/3，右=1092/9=364/3，公式精确成立，7.J1sinxdxSf

8、(x)=X6时，公式不精确成立，所以，公式的代数精度为5。=sin0+2sin-+4sin-+4sin3+sin1=0.45970774412244IR(f)10，所以f(x)是严格单调增函数，又由于f(0)=10，所以方程f(x)=0有唯一正根a，且在区间(0，1)内。2将方程改写为：x=cosx/2可建立迭代格式：x=1/2cosx,k=0,1,2,.，k+1k且迭代函数为：申(x)=1/2cosx。由于01/2cos1p(x)1/21,xe0,1，且b(x)|=sinx皿ln/lnL=ln/ln(1/2sin1)沁13.128，k=14。|x-x|1/210若取L=l/2,可得k$16.6096,则取k=17。四、1.由于k2=f(xn+3h,yn+3hk1)=fn+斗(鲁严+h(江4h2+2泣竺+工叱)+O(h3)2Bx29BxBy9By29所以有：二y+hf+竺(監+dfnf)+竺(泣+2江f+江f2)+O(h4)n2dxdyn6dx2dxdynBy2nyn+1n又由于：y(x)=y(x+h)=y(x)+y(x)h+y(x)h2+y(x)h3+O(h4)n2n3!nn+1+Bfnf)+h3y(x)+O(h4)Byn6!n所以有：y(x)-y二O(h3)，此差分公式