案例分析：现实数学观与生活数学观

1、案例分析：现实数学观与生活数学观课题：平均数课时：一课时材料准备：教师的讲台上有一个“工具箱”，里面预先准备了一些粉笔头、一些碎纸、一些纱线，一些正方体的小积木，而学生则准备有铅笔盒、记录本等。临床描述在本节课的一开始，教师就先向学生呈现了一段录像，在录像中描述了这样一段情节（简述）：在一个幼儿园的某一个教室里，十几个幼儿正围坐在一起，玩着“搭纸”游戏。这时，一位女教师手捧一个纸盒走进来，从镜头中可以看到，里面有许多有着漂亮包装的糖果。教师将这个纸盒放在学生前面的一个小桌上（类似于教师的讲台），又匆匆出去了。 小朋友们开始好像并没有太多的注意，老师拿了什么进来，又为什么要出去。但是，因为这位老

2、师好久没有进来，小朋友们就开始有些奇怪了。先是窃窃私语，然后是出声的争论。这时可以听到他们议论最多的是，盒子里面究竟是什么。再后，有一个小朋友大着胆子走上前，看到了纸盒里是好多的糖果，大为兴奋，挥着小手大声地告诉大家。于是，小朋友纷纷上前探个究竟。开始是二、三个，然后就有许多小朋友上来看。 瞧这些小朋友，有些兴奋和骚动。还有几个小朋友的小手开始不停地动着，而且头不断地向前张望着。 终于，一个小朋友忍不住悄悄上来，在纸盒前驻足片刻，拿了一颗糖果。于是，又有几个小朋友开始学样，上来向纸盒伸手，但并未看清他们都拿了多少糖果。再后，就是所有小朋友都一拥而上，纷纷伸手去抓糖果。 这下可好，那些小朋友坐的

3、、站的都有；有的在将糖果往自己的小口袋放，有的在向别人要糖果，有的则在哭, 。 此时，教师进来了，看到小朋友们乱作一团的场景，再看纸盒，里面早已空了，就知道是怎么回事了。 教师免不了要向幼儿做一番教育。然后问了他们几个问题：你们想过没有，为什么有的小朋友很高兴，有的小朋友很不高兴？应该怎样做，才能使大家都高兴？接下来你们应该怎么做？想一想，然后老师可能会怎么做？（录像结束） 接着，教师边播放第二遍录像，边让全班学生思考幼儿园老师的问题。提出，可以每四个同学组成一组进行讨论，并利用自己的学习用品来模拟刚才幼儿园小朋友的行为过程，提出自己想要弄懂的问题。于是，学生有的用画线段图的方式，有的用用摆小

4、物品（如一些长短不一的细绳）的方式，也有的利用教师预先给出的正方体小积木，纷纷根据教师提出的问题，去尝试解决的方法。可以看到，有一个小组先是将一堆小积木分成多少不一的几堆，然后是试着将多的积木往少的地方放。可能是由于积木的块数不巧，加上多少相差太大，所以，四个人边动手，边争论，最终也没有获得成功。突然，其中一个学生提出，为什么不将这些积木先全部集中起来，然后来重新分呢？这次，小组获得了成功，他们先将不同块数的几堆积木堆在了一起，然后像“发牌”一样，每次一块，一次发给每一堆。这时，教师正好在巡视中走了过来，她向小组的同学提了一个问题：想想看，还有什么办法能更快的解决问题呢？于是，小组又展开了讨论

5、。新的方法出现了，就是先数出积木的总数目，然后数一数要放几堆，用除法一算，就知道每一堆应该有几块，这样，只要直接将积木一次发给每一堆就可以了。还可以看到，有一个小组的同学从教师讲台上的工具箱内取了若干（好像是5根）长短不一的细纱线，开始时，他们曾尝试这些纱线的一头对齐并捏紧，然后准备将长的部分都剪下来，但是，很快他们就放弃了这个尝试，因为他们发现，如果不断地将多的部分剪下来再拼到少的地方去的话，活动是很难完成的。于是，在小组的一个同学的启发下，他们又尝试先量出每一根纱线的长度，可能想通过计算来解决问题。当然，他们最终也放弃了这个办法，因为这些纱线的长度都不是一个整数值（这可能时因为教师本来在选

6、择纱线长度时就是随意的，也可能是教师刻意设计的），所以计算非常的不方便。似乎活动陷入了僵局。突然，一个其他小组的学生走了过来（可能这个教师在学生的小组活动时，是允许甚至鼓励学生走出自己小组范围的），猛地冒出了一句话：哎呀，把他们接起来吗！真是柳暗花明又一村，一句话点醒了梦中人！小组里其中两个学生的反应最快，他们马上动手，将这5根纱线打结连了起来，接下来就更明白了，再通过“折”的方式，将这根长的纱线折成5断，并不断的修正它们的长度，直到这5根纱线的长度相同为止。观察中发现，在这个阶段，各小组的学生基本上就是在动手做各种尝试性的操作活动，并没有做任何的记录活动。当这个阶段的活动基本结束以后，教师向

7、每一个活动小组发了一张纸（可以看到，上面写着“工作记录表”）。她要求学生通过讨论来回忆刚才自己的活动过程，思考并填写这张“工作记录表”。这张“工作记录表”大致是这样的：你的工作表格一 、学习任务小朋友争吵的原因是什么？你认为应该怎样解决整个问题？现在你是否知道自己最想探究下列哪些小问题？解决这一类问题需要哪些步骤？解决这一类问题的最关键步骤可能是什么？解决这一类问题的过程有哪些最基本特点？是否专门有一个方法来解决这类问题？有多少方法可能来解决这一类的问题？二、 预测你能不能猜猜这位幼儿园的老师要解决这个问题，她第一步将会怎么做？请说说你的理由。 三 、学习计划你第一步主要想探究的问题 最终你想

8、弄清楚的问题 四、 你的每一步操作所做的和观察到的结论：五 、评价现在你可以自己来判断一下，原来的猜测对吗？ 如果有错，主要是什么地方错了？为什么会错？ 最后，通过各小组的学生陈述自己的发现和想法，设法来证明自己的结论，从而得出这一类问题的基本性质以及问题解决的基本特征和基本方法。 接下来，教师还有意识地设计了一系列的跟进活动，来发展学生的知识以及将知识运用于实际情景的能力： 活动一 为迎接“城市运动会”，学校接到一项任务，为大会编织一批彩花。大队部将这个任务交给了五（1）中队。中队第一天派了6位少先队员，结果共做了92朵彩花，第二天派了8位少先队员，结果共做了106朵彩花。到了运动会召开的前

9、一天，大会突然要求学校再补充250朵彩花，并在一天内完成。你认为派多少个少先队员来完成此任务较为合适？为什么？ 活动二 下面是两个小组的英语朗诵成绩，你能用多少种方法来判断这两个小组的成绩好坏？并试着做一些比较。序号12345678一组8876849389906481二组7799786797837490 活动三 现在你将第一小组的第6号的同学去掉，这时你再用原来的方法进行成绩好坏的判断，并进行一些比较。你的结论和发现还是原来的一样吗？ 活动四 下面是一份某公司的月工资报表。如果公司让你到劳务市场去招聘一名职员，请你依据这个报表，设计一句既不带有欺骗性却有能吸引大家愿意来工作的话来。工种 工资（

10、元）经理副经理工程师科长职员勤工35002800250018001400800附：课后的调查观察者拿了本案例的“跟进活动”中的第一个问题，进入了采用“常规方法”来组织学习“平均数”知识的不同的五个班级，在每次课后都随机地选取五个学生进行测试，时间限制在2分钟，结果是,在这25个样本中，问题解决的准确率不足30，而错误率则要高达72，其中问题表征的错误人数达16人，占64，计算错误2人，占8。通过访谈进一步发现，不能将问题与已经习得的知识建立联系的人数有11人，其余的学生是不能理解问题“你认为派多少个少先队员来完成此任务较为合适？为什么？”的意义。其中曾有这样一段对话：观察者：你想想，刚才在课内

11、学习了什么知识？学 生：平均数的知识。观察者：那你认为能不能用刚才学到的知识来解决这个问题呢？学 生：（犹豫）好象不能？观察者：为什么不能？学 生：因为这道题目里面没有“平均”这个字（即平均这个词语观察者注）【主题】在小学数学学习的组织过程中，究竟应当如何体现出现实数学观与生活数学观这样的学科性质特征？【提示】长期的研究已经表明，儿童常常是通过探索他们自己的生活世界和精神世界来了解并获得学习的，常常是通过自己的大量的实践活动来获得数学知识的，常常是在许许多多的问题解决过程来发展自己的数学认知能力的。儿童认识数学的起点并不是符号所组成的逻辑公理，而是它们自己的生活实践所形成的经验。【要求】 评析

12、应当紧紧扣住小学数学的学科性质的本质来展开； 在评析过程中做到有理有据；在评析过程中要注意结合教材中1答：而作为生活的数学，则往往是一种经验符号的数学，更多运用的是语言和直觉。因为作为生活的数学，就是指存在于生活实践活动中的那些非形式的数学，是人们在社会生活的实践活动中获得交流和理解的数学。而建构主义也认为现实的数学，在我们的现实世界中，无处不存在着数学的现象，虽然这些现象常常是局部的。这节课教师所采取的教学方法是让学分积木、等分线、做红花、和计算平均工资、平均成绩等问题解决策略来体现儿童常常是通过探索他们自己的生活世界和精神世界来了解并获得学习的，常常是通过自己的大量的实践活动来获得数学知识

13、的，常常是在许许多多的问题解决过程来发展自己的数学认知能力的。儿童认识数学的起点并不是符号所组成的逻辑公理，而是它们自己的生活实践所形成的经验的生活数学和现实数学观。但这位老师在教学中忽视了小学生的思维尚处在具体运算阶段（以直观思维为主）向形式运算阶段（以呈现思维为主）逐步发展的过程中，因此，形成数学概念往往有一个从直观到抽象的一个过渡，这个过渡就是“表象阶段”。例如本案例中学生对平均数的概念没有真正掌握，就是因为没有在学生获得感知的基础上，及时引导他们及时的归纳。还有，作为工资计算这样的一个问题，相对于幼儿园的学生来说，显得比较陌生。不管怎样，可以肯定，有这样一些启示，对我们来说可能是比较重

14、要的。启示一：当我们将数学的学习尽可能地变为学生主动操作、探究和问题解决的时候，支持学生理解数学的价值是比较大的。而且，这种探究性的操作是以儿童自己的反思为基础的。它表现在活动过程往往就是一个儿童自主的假设验证反思修正的过程。启示二：当我们引导学生在现实的情境中去发现和探究知识，并引导他们不断地将知识运用到现实情境中的时候，支持学生发展数学素养的作用是比较大的。因为这种探究性的操作是儿童自己的活动。它表现在儿童是以自己的认知与经验来构建活动过程的，是他们面对问题情境，自己作出假设，并自己设计活动来检验这些假设，然后通过自己的反思来修正自己的活动，最终获得结论。这就是我通过学习所得到的一点体会。

15、1，临床观察 通过运用以下两个临床观察量表中的任何一个，进入课堂进行临床观察，并对临床观察的数据进行统计与分析，写出一份临床观察报告。量表一：选择性行为观察技术之二提问技巧分析法即通过观察将一节课中教师的所有的提问与学生的全部回答分类整理出来，进行质的分析，可以提高教师的提问技巧和教学水平。行 为 类 别 题号 编号 A B C D E A.提出问题的类型 1.学术的：客观实事。寻求具体的、准确的回答。 2.学术的：观点性。就某一没有明确定论的复杂问题征求意见。 3.非学术的：一些有关个人、过程和纪律方面事情，不是课程内容。 B.需要作出回答的类型 1.思考性问题：必须经过仔细推理得出，或详细

16、阐述事情经过。 2.事实性问题：需要通过回忆得到答案。 3.选择性问题：要作出是非答案或要么这样（那样）的回答。 C.挑选回答的人 1.提问前点名。 2.提问后请自愿回答的人。 3.提问后请不自愿回答的人。 D.在提问之后的停顿 1.叫一位学生前，先停顿几秒。 2. 叫一位学生前，几乎没有停顿。 3.不适宜的：在提问前先叫起学生。 E.陈述问题时的语调和举止 1.问题表现出挑战和刺激性。 2.实事求是地提出问题。 3.问题表现出威胁和考问。 记录任何与下列相关的信息： 多项问题：记录教师做如下事情的次数 1.在叫起某人前重复或重新解释问题 。 2.一次提出两个或更多的问题 。 排列：问题编排是

17、否条例整齐，或看上去杂乱或毫不相干，或采用教参提供的顺序。 1. 学生自己提出问题吗？ 。多少次？ 。 2.是否有学生间的互动？ 。多少次？ 。 3.在适当的时候，教师是否为某些学生重新组织问题，或让学生对自己或其他人的回答作出反应？ 。 多少次？ 。 量表二：贝拉克（Bellack）的课堂中语言反应与反馈周期说明：一个语言反应与反馈周期可以表现为：组织行为：例：教师：大家关注一下这些问题 诱导行为：例：教师：在这些数中哪些时质数？ 应答行为：例：学生：好像3、5、7等这些数都是质数。 反应行为：例：教师：对！像3、5、7等这样的数都是质数。其中， “反应”是指教师对学生回答的一种“回应行为”

18、。其类别有： 反 应 频 数举 例评定答案 “很好” 重复答案，表示赞同或不赞同 “看到了猫”或“是看到了实物” 改正答案 “兔子并不怕猫” 发展答案 “你是如何知道看到了猫的？” 重复诱导 “看到猫说明了什么？” 不管学生怎么回应，继续组织教学和提问 “我们再接着看，”2答：根据本作业的需要，本人到县实验小学进入课堂，听了江红老师开设的新授课两位数减两位数退位减法，即通过观察将一节课中教师的所有的提问与学生的全部回答分类整理报告如下：可以认为，本节课的提问是江老师精心设计的，具有以下特点：（1）提问具有包容性和启发性。一问一答的教学形式在传统课堂教学中比较常见，这种简单机械的问答会使学生产生

19、厌倦情绪。恰当的提问有利于老师了解学生掌握知识情况，有利于开拓学生的思维，激发学生的兴趣，调动学生的学习积极性，有利于培养学生独立思考和语言表达能力。在这节课中，教师所提推理性问题共25个，占问题总数的84.4%，相应地学生的回答也不只是停留在机械判断是非上。反映出教师在设计问题时不只是把教材问题化，即设计一连串的问题，一问一答，在形式上很热烈，实际上却没能触动学生的思维，而是居高临下的设疑、激疑，根据学生的心理特点，引领学生进入学习对象的一系列“矛盾”之中，造成学生心理的“不平衡”，从而激起求知欲。（2）创造性问题设计已被教师重视，从表中可以看出这堂课中，创造性问题所占问题总数的比例分别是19.2%，说明江老师已经在重视创造性问题的设计。创造性问题的设计对于培养学生的创新精神是非常重要的，教师通过创造性问题的提出，为学生创设展示思维过程的空间，让学生积极主动地去探索，思维会非常活跃，会产生不同的想法，会闪现出创造性思维的火花，使学生的创造性思维得到培养。（3）提问的语气和语速上江老师都能根据需要而有所不同，为营造良好的课堂氛围起到了好的作用，并且提问的问题能由易到难，要学生回答的方式也不尽相同，但也有在课堂纪律方面的问题过于严历，让人有压抑之感。 从我的观测统计可以得出一个不成熟的结论：江老师在课堂教学中注重了提