对数的换底公式及其推论(含答案)

1、10g 3 7 310g 3 2对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a 0 , a 1 , M 0 , N 0 有:lOga(MN) lOgaM lOgaN (1)lOgaM lOgaM lOgaN (2) NlOgaM n nlOgaM(n R) (3)二、新授内容：, 一 lOg m NlOga N ( a 0 ,a 1 , m 0 ,m 1,N0) *lOg max证明：设 lOga N = x , 则 a = N .两边取以m为底的对数：lOgmax lOgm NxlOgma 10gm N10g m NlOg m N从血仔：x . lOg a N lOg m alO

2、gm a2.两个常用的推论：lOgab lOgba 1, lOg ab 10gbe lOg c a 1 lOgambnnlOga b ( a, b 0且均不为 1) m证： log a b lOg b a gb g-a 1 lg a lg b 10g am bnlgbnlgamnlg bmlg an I -lOga bm三、讲解范例:例1已知10g 2 3 = a10g 3 7 = b,用a, b表不 10g 42 56解：因为10g 2 3 = a ,则10g3 210g 3 7 = b, , 10g 42 5610g 3 5610g 3 4210g 37 10g 3 2 1ab 3ab b

3、 1例 4 已知 10g a x= 10g a c+b,求 x*1 1og 0 2 3例2计算：51og4 3 1og9 2 10gl 4 322解：原式 = 10f 3 510g0.2 351 10g5.5 31原式=-1og2 31210g 3 25410g 2 2例 3 设 x, y,z (0,)且3x4y6z,1求证一 x12y证明1:设 3x4y取对数得:6z比较3x,4y,6z的大小.x, y,z(0,)1g 3 1g 42y 1g k 2lgk3x 4y3(1g 31g k1g 4z Jgk1g 62lg3lg421gk4)1g k 1g 4又：4y4y3x1- 3x 4y6z

4、(6z1g 4 1g64y 6z .21g 3 21g 221g k1g 64 1g 811g 31g 41g kXl ,1g 36 1g 64 一)1g k1g k1g21g61g61g k1g k1g k1g%8101g 31g 41g21g6分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外,由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c移到等式左端,或者将b变为对数形式. 解法一：由对数定义可知：logn C ba aaloga c解法二:由已知移项可得logax logac即logb.由对数定义知:解法三:b loga alOga XlOg a C

5、lOgloga四、课堂练习:已知log 18 9 = a ,b18 = 5 ,a, b 表示 log 36 45解：;logi8 9 = a.18 10g18 万1 logi8 2. 18b = 5. 10g18 5 = blog 36 4510g 18 45log 18 3610g18 9 10g 18 51 1og18 2若 log 8 3 = p ,log 3 5 = q ,求lg 5解：: log 83 = plog 23 3=Plog 2 33plog 3 2 一 3p又log 3 5 q lg510g 3 5log 3 1010g 3 51og3 2 log 3 53 Pq1 3p

6、q三、小结 本节课学习了以下内容: 四、课后作业：换底公式及其推论log a x1 .证明：a 1 loga blog ab x证法1： 设log a x plog abX q , log a b r则：x apX (ab)q aqbqb arap (ab)qaq(1r)从而 p q(1 r), 1 r 即：loga x 1 log a b (获证) qlog ab X证法2：由换底公式 左边=皿三10g xab log a ab 1 唠=右边log ab X log x a2.已知 loga1 b1log a2 b2log an bn求证：loga1a2 an(b1b2bn)证明：由换底公式

7、皿 蛆男旦由等比定理得：lg alg a2lg anlg b lg b2lgbn. lg(bbbn)lga lga2 lg anlg(aa2 an)log a1a2 an (b1b2bn)lg(bb2bn)lg(aa2 an)对数的概念教学目标：1、理解对数的概念、 理解对数的定义， 了解对数式中各字母的取值范围及名称；、 理解指数与对数之间的互逆关系， 能够进行对数式与指数式的互化；、能够利用对数式与指数式的互化关系完成简单的运算。2、通过对数概念的学习，使学生认识到指数与对数之间的互化关系， 蕴含着数学中相互转化的思想， 同时学生体会到类比学习方法在数学学习中的作用。3、通过对数的学习，能

8、利用相互联系的观点看问题，培养他们利用数学思想分析问题的意识。教学重点：1、对数概念的正确理解；2、对数式与指数式的相互转化。教学难点：1、对数式，指数式中各字母含义的区别理解；2、应用指数与对数的相互转化求值。教学过程：一、问题情境：若 3+2=5，则3=5-2；若 3X2=6，则 3=6 + 2;若 23=8,则 3=?。思考：能否用2和8的来表示3?二、学生活动：活动1：引导学生观察在上面的几个式子中，都是求 3,第一个 3根据的加法逆运算用减法求出，第二个3用乘法的逆运算除法求出， 那么第三个3能不能用指数式的逆运算求出来呢？指数式的逆运算 又是什么呢？显然我们以前没有学过，所以今天我

9、们学习一种新的数 学运算一一对数运算来解决这个问题。三、构建数学：1、对数的定义：一般地，如果a(a0,a#1)的b的次哥等于N, 即ab=N,那么就称b是以a为底的对数，记作log, n b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数。注意：(1) a0,a 丰 1,(2) ab=Nioga N b,(3)注意对数的书写格式。活动2：讨论并写出a,b,N在指数式和对数式中各自的名称？两种运算的关系就如同加减法和乘除运算一样，当数字的位置变发生了变化，其含义和名称也随之改变。式子名称abN指数式a N底数指数哥值对数式lOgaN b底数对数真数2、两种特殊的对数:(1)常用对数：以10为底的对数称为常

10、用对数，并把10g10 N 般简记为1g N。，正数N的自然对数10geN 一般简记为1nN.四、数学运用：(一)、例1：指数式与对数式的互化。(1) . 54 625(3).均0.011.1n101642.303课堂练习一:1.把下列指数写成对数形式。(1) . 23 825329 1 1. 22.272.把下列对数式转化为指数式。(1). 10g416 210g10 100 2.log 4 2.10gl0 0.012活动3:我们知道，有些运算是有限制的，比如，除法中除数不 能为0,平方根被开方数不能小于0,那么，想一想：对数运算中对实数有没有限制呢？经讨论得出：0和负数没有对数。(二)例2

11、：求10g9 27值。解：设 x= log 9 27X r 贝心27即 32x 333 x 一 2课堂练习二：.求下列各式的值log 5 125log i 27lg0.01.求下列各式的值(1)10g 3 1(2)10g 3 3(3) . logJ1(4) . l0gM3.变式：求下列各式的值(1) . l0ga1(2) . l0g a a(三)、对数的几点说明：1、在对数式中真数N 0,即0与负数没有对数；2、l0ga1。，即1的对数为0；3、l0gaa 1,即底的对数等于1.课堂练习五：(3) . l0g2-2(6) . lne抢答题：求下列各式的值。(1) . lg2(2) . 10g2 2，“1(4) . lg10(5) . lg而五、回顾小结：1、对数的定义，两种特殊的对数;2、互换(对数式与指数式的互换)(1).0和负数没有对数