数学归纳法(北师大版选修)课件

1、第一章 推理与证明 4 数学归纳法举例说明：一个数列的通项公式是：an= (n25n+5)2请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4=猜测an?由于a525 1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠 1111猜测是否正确呢？课题引入不完全归纳法 如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么？多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成

2、。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。先从多米诺骨牌游戏说起 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下： （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据） 条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。思考：你认为证明数列的通项公式 是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？（1）第一块骨牌倒下；（基础）多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法（1）第一块骨牌倒下。（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。根据（1）和 （2），可知不

3、论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立。（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。已知数列数学归纳法的概念： 定义：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ；2.然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。这种证明方法就叫做_。数学归纳法验证n=n0时命题成立若n=k(kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.归纳奠基归纳递推命题对从n0开始所有的正整数n都成

4、立例1、用数学归纳法证明： 1+3+5+(2n-1)n2(2)假设nk时，等式成立，即(1) n1时，左边=1，右边=1，等式成立；1+3+5+(2k-1)k2那么当nk+1时， 由、 可知对任何nN*时，等式都成立需要证明的式子是?1+3+5+(2k-1)+（2k+1）k2+（2k+1）（k+1）2这就是说，当n=k+1时，等式也成立同样的方法，我们可以用数学归纳法证明首项为a1，公差为d的等差数列的前n项和公式.具体详解请同学们看本节教材例1.数学建构 类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想 的步骤为：(1)证明当n=1时猜想成立(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立. 完

5、成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。相当于第一张牌能倒下相当于使所有骨牌倒下的第2个条件证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。例2 证明：递推基础递推依据假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据和，可知对任何nN*等式都成立。证明：（1）当n=1时，等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何 都成立如果 是等差数列，已知首项为 公差为 ，那么对一切 都成立练习1试用数学归纳法证明点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意

6、三句话：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。练习2.（1） 用数学归纳法证明：假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据和，可知对任何nN*等式都成立。证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。练习2.（2） 用数学归纳法证明：假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有这就是说，当n=k+1时,等式也成立。根据和，可知对任何nN*等式都成立。2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时命题成立 递推基础 （2）假设 时命题成立 证明 时命题也成立 递推依据 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立1. 数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题3. 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点， 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法， 使我们认识到事情由简到繁、