《导数的几何意义》(新人教A版选修)课件

1、3.1导数的几何意义7/27/2022先来复习导数的概念 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:7/27/2022 瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数. 是函数f(x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度 如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x

2、)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.7/27/2022 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.7/27/2022下面来看导数的几何意义: y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM/x轴,QM/y轴,为PQ的倾斜角.斜率!7/27/2022PQox

3、yy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.7/27/2022 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即: 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.7/27/2022例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的

4、基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.7/27/20227/27/20227/27/2022练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. yx-2-112-2-11234OP即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.7/27/2022在不致发生混淆时，导函数也简称导数什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:7/27/2022如何求函数y=f

5、(x)的导数?7/27/2022看一个例子:7/27/2022下面把前面知识小结:a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增 量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。7/27/2022（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。7/27/2022（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即d