环的同态惠州学院课件

1、近 世 代 数(Abstract Algebra)授课教师 ： 陈 益 智工作单位 ：惠州学院数学系 研究方法：近世代数代数系统 （带有运算的集合）群 环域 1、 研究其子系统、商系统 （从内部入手）（从外部入手）2、 研究其同态和同构子系统：子群、子环、子域商系统：商群、商环、商域3.5：子环、环的同态教学目的：3.5：子环、环的同态（1）掌握子环（子除环，子整环，子域） 的定义及其等价条件；（2）掌握环的同态及其若干性质；（3）理解并能使用“挖补定理”;（4）掌握类比的数学思想.一、子环定义及等价条件（与群相类比给出）： 下面我们把环与群类比，把环看作是具有一个乘法运算的加群， 即设想加群

2、是基础，而乘法是环的“灵魂”。 甚至在数学里，发现真理的工具是归纳和类比。 法国数学家拉普拉斯 类比是通过两类不同对象 A, B间的某些属性的相似，从而A具有某种其他属性便猜想B也有这种属性。在群论中在环论中定义1：设 ，称G为群，若G对其上的一种代数运算满足：（I）闭合律；（II）结合律；（III）存在单位元；（IV） G中任一元素存在逆元。定义3：设 为群，称G的子集H为G的子群，若对于G的乘法来说H也作成一个群。 记作： 。定义2：设 ，且R带有加法和乘法两种运算，称R为环，若R满足 (i) 为加群；(ii) 为半群；(iii) 分配律成立。定义4：设 ， R为环（除环，整环，域）, 称

3、R的子集S为的R子环（子除环，子整环，子域），若S对于R的代数运算来说也作成一个环（除环，整环，域） 。记作： （S是R的子环时）。例1：一个环 R 至少包含两个子环R和 。 例2：设R=Z,则 是R的子环。二、子环的存在性及其例子：（平凡子环）例3：设R = M n (F) (域F上的全矩阵环），则 是R的子环。（ 因为 ， 的元素可交换） （子除环、子域）例4：设 ， ， 。 可以验证，例5：设 。 则容易验证： 例6：设 。现定义 的运算： （1）容易验证， 关于所定义的运算 构成一个环。（2）容易验证令 。定义：设 和 是两个环，则称 和 同态 （同构），若满足三、环的同态及其若干性质

4、（2） 保持运算（保持加法和乘法运算）此时记 和 的同态（同构）为： 。（1） 存在满射（双射） ；例7：设 ， ,作 。 容易验证 是同态。例8：设 ， 。现定义 的运算： （1）可以验证， 关于所定义的运算 构成一个环。（2）容易验证 是同态。 具有同样多代数运算的代数系统间的同态可以保持相应的结合律、交换律和分配律。定理2（ 1.8,P22）：假定， 都是集合A的代数运算， 都是集合 的代数运算， 和 同态，那么，（i）若 适合第一分配律， 也适合第一分配律；（ii）若 适合第二分配律， 也适合第二分配律。 定理1（ 1.8,P22）：假定，对于代数运算 和 来说， 和 同态，那么，（i

5、）若 适合结合律， 也适合结合律；（ii）若 适合交换律， 也适合交换律。定理b(P43)：设 ， 为两个群，若 ，则有：（1） 的单位元的同态象是 的单位元；（2） 的元 的逆元的同态象是 的同态象的逆元。定理a(P40)：设G， ，都带有一种代数运算，且 , 若G为群则 也是一个群.在群论中在环论中定理1：设 与 都带有加法和乘法两种运算,且 ，若 是环，则 也是环。定理2：设 和 是两个环，若 ，则 有：（1） ；（2） ；（3） 可交换，则 也可交换；（4） 有单位元1，则 也有单位元 ，且 。 由上面的讨论我们可以看出，经过了一个同态满射之后，环的单位元和交换律是可以保持的。 我们知

6、道，若干普通计算方法在一个一般的环里不成立，它们要在有附加条件的环里才能成立。由3.2知，环里的三种非常重要附加条件是：交换律、单位元和零因子。 那么现在的问题是：一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射之后可不可以保持呢？ 例7：设 ， ,作 。 （1）容易验证 是同态。（2）可以看出 无零因子，而 却有零因子，因为 。注：此例表明： ， 无零因子，但 却有零因子。反过来，结论又会如何呢？ 即若 ， 无零因子， 是否有零因子呢？例8：设 ， 。现定义 的运算： （1）容易验证， 关于所定义的运算 构成一个环。作 。（2）容易验证 是同态。（3）可以看出 无零因子，而 却有零因子，因为对于

7、 ，我们有 。注：此例表明： ， 有零因子，但 却没有零因子。 但若把同态换为同构的话，则这个环的代数性质当然没有什么区别了，所以有： 上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经过了一个同态满射后不一定能保持的。（除环、域）（除环、域）定理3：设 和 是两个环 ，并且 ， 那么若 是整环 ，则 也是整环 。RRS RS图1图2本节最后，我们介绍在环论中常用到的一个定理：挖补定理。R 定理4：(挖补定理）设 是环 的一个子环，且 与环 同构，即 。又若 ，即 同 在 里的余集 无公共元素，则存在环 ，使得 ， 。RRS思路分析： (1) 构造 ； (2) 作 到 的对应关系 并证明 是双射；(4)

8、 证明 。 （只需证明 原有的运算和 新定义的运算是一致的） (3) 在 中定义两个代数运算，并证明 ; （P99的引理）证明：令 ， 。且在该同构之下， 。 的元素我们用 来表示。这样，（1）现在我们作一个新的集合： 并规定一个法则： 。 （2）容易验证 是个双射。（3）利用这个双射在 中定义运算： 容易证明，这些运算是 的两个代数运算。 事实上，给定了 ， 因而可在 中找到唯一的 ，从而也可以找到唯一的 。综上，我们可以得到 。 .(我们只须证明 原有的运算和新定义的运算是一致的即可） 假设上 原有的运算为 和 ， ，下证： 事实上，（ 上所定义的加法运算）（因为 为同构，从而保持加法运算） （因为 为同构 ） （由 的定义） （因为 为同构，从而保持乘法运算） （由 的定义） （ 上所定义的乘法运算）（因为 为同构 ） 综上， 。 证毕RRS例9：设 ， 。现定义 的运算： （1）容易验证， 关于所定义的运算 构成一个环。（2）容易验证 是同态。令 。作 。 又 ， 因此由挖补定理知， 且 。注：在上例中，实际上就是把元素 与整数 完全等同起来，从而我们有 定理4：(挖补定理）设 是环 的一个子环，且 与环 同构，即 。又若 ，即 同 在 里的余集 无公共元素，则存在环 ，使得 ， 。最后我们再次回顾下“挖补定理”。RRS回顾总结