控制系统根轨迹解析课件

1、控制系统仿真 -基于MATLAB语言主讲教师：张磊中国海洋大学 工程学院2022/7/262022/7/26控制系统仿真MATLAB基础基于MATLAB的控制系统仿真MATLAB的数学运算MATLAB的程序设计MATLAB的图形图像MATLAB的基本命令交互式仿真工具simulink系统的时域分析频域分析根轨迹分析使用MATLAB建模控制系统的校正与综合根轨迹分析系统的时域分析2022/7/265根轨迹分析例1：已知单位负反馈的开环传递函数如下，分析开环参数K的变化对系统的影响。（简单起见设a=4）系统没有开环零点，两个开环极点分别为s=0和s=-4，闭环传递函数、系统特征方程为系统特征方程的

2、根(系统闭环极点)为1.1. 根轨迹法基础-分析的基本原理2022/7/261.K=0时，两个特征根为s=0和s=-4，开环极点。2.0K4时，系统的两个根离开实轴，其实部保持常数-2，对应于系统欠阻尼状态。K值越高振荡频率越高，系统振荡加剧。5根轨迹分析K=00K4栅格：等阻尼系数和等自然振荡角频率2022/7/26如果系统具有可变的环路增益，则闭环极点的位置取决于所选择的环路增益，因此分析增益的变化和闭环极点在S平面的移动关系（根轨迹）不仅可以判断稳定性还可以协助分析时域响应特性，对系统的分析和设计有较大意义。优点：分析的结果直接、方便。缺点：分析过程计算量大，对高阶系统较难实现（需求解高

3、阶特征方程）。计算机仿真技术的发展MATLAB/图形界面工具的应用本次课程的主要内容1、根轨迹法基础2、用根轨迹法分析系统3、MATLAB在根轨迹分析中的综合应用(rltool)1）什么是根轨迹和根轨迹法2）MATLAB函数绘制根轨迹1）根轨迹绘图和基本分析方法2）系统暂态特性的分析5根轨迹分析1）图形分析工具rltool2）综合分析应用实例2022/7/265根轨迹分析1.1. 根轨迹法基础-分析的基本原理 根轨迹是指当开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上的轨迹。通常这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。如

4、何根据开环系统的传递函数求闭环系统根轨迹，并确定增益 根轨迹法由开环传递函数直接寻求闭环特征根轨迹的变化规律，而无需求取高阶系统特征根的方法。是一种由分析开环系统零、极点在复平面上的分布出发，用图解表示特征方程的根与开环系统某个参数（增益K ）之间全部关系的方法。利用此方法可以在参数确定的情况下，分析系统的性能；在系统及性能指标已知的情况下，确定系统的参数。2022/7/265根轨迹分析分析上例所示的典型二阶系统，1.K在0正无穷整个变化范围内取值，特征根均位于左半S平面，K取任何值系统均稳定。2.根轨迹的起点是开环极点，开环系统有一个位于坐标原点的极点，阶跃信号作用下系统输出的稳态误差为0。

5、3.K的增加使系统阻尼系数减小，阶跃响应由过阻尼到临界阻尼，再到欠阻尼状态。4.对于要求的系统性能，将其变换为期望的闭环极点位置，由根轨迹图可以确定出对应的参数取值。K=0K=42022/7/265根轨迹分析1、判断稳定性 如果当开环增益K从零变化到无穷大时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半S平面上，因此该环系统对所有的增益K都是稳定的。而根轨迹越过虚轴进入右半S平面，则其交点的K值为临界稳定开环增益。2、确定系统参数 对于要求的系统性能，将其变换为期望的闭环极点位置，由根轨迹图可以确定出对应的参数取值。2022/7/265根轨迹分析1、根轨迹图的规则 1)连续性 增益K连续变化时，特征方程的

6、根也连续变化，根轨迹是复平面上连续变化的直线或曲线； 2)对称性 特征方程的根为实数或共轭复数，根轨迹对称于实轴； 3)根轨迹支数 n阶系统有n个根，有n支根轨迹，都将随K的变化而变化，； 4)根轨迹的起点和终点 分别为系统的开环极点和系统开环零点。通常将系统的开环极点和系统开环零点分别在根轨迹图上标记为和； 5)根轨迹和虚轴的交点 系统处于临界稳定状态，使系统稳定的临界参数取值为临界增益K。1.1. 根轨迹法基础根轨迹是闭环特征方程的根，K=0时根为n个极点；K=无穷大时根为m个开环零点。n=m时，根轨迹开始于n个极点终止于m个零点；nm时，n支轨迹开始于n个极点并终止于m个零点，有n-m支

7、终止于无穷远处nm时，m支轨迹终止于m个零点，其中有n支开始于n个极点，有m-n支来自于无穷远处（除系统特征方程变形等特殊情况外较少存在）2022/7/265根轨迹分析1.2. MATLAB函数绘制根轨迹图1、零极点图的绘制 （1）pzmap(sys)直接在S平面上绘制零极点位置 （2）p,z=pzmap(sys)不绘图，通过函数的返回值得到相应的零、极点2、根轨迹图的绘制 （1）rlocus(sys)绘制SISO系统的根轨迹曲线 （2）rlocus(sys,k)绘制增益为k时的闭环极点 （3）rlocus(sys1,r,sys2,y:,)在同一复平面上绘制多个SISO系统的根轨迹，可以用颜色

8、及线段区分 （4）r,k= rlocus(sys)或r= rlocus(sys,k)不绘图，通过函数的返回值得到闭环系统特征方程的根矩阵r，开环增益k。2022/7/265根轨迹分析1.2. MATLAB函数绘制根轨迹图3、根轨迹对应增益 （1）k,ploes=rlocfind(sys)在对象根轨迹图中显示光标，记录由用户选择点所对应的增益和极点并记录于k,ploes 。 （2）k,ploes=rlocfind(sys,p)指定要得到增益的根向量p，得到该根对应的增益和其他根。4、根轨迹网格（等阻尼系数和等自然振荡角频率线）（1）sgrid()在连续系统的根轨迹图上绘出网格线，由等阻尼系数和等

9、自然振荡角频率线组成，阻尼线范围从0到1，间隔为0.1；自然振荡角频率线范围从0到10，间隔为1rad/s。注意在绘制前必须有根轨迹图。（2）sgrid(z,wn)可以指定阻尼系数和自然振荡角频率进行绘制。2022/7/265根轨迹分析例2：单位负反馈系统的开环传递函数如下，绘制根轨迹图，并求出与实轴分离点、虚轴的交点及对应的增益。num=1den=conv(1 0,conv(1 2.73, 1 2 2)rlocus(num,den) %绘制根轨迹图k,p=rlocfind(num,den) %给出指定点所对应的增益和极点MATLAB操作演示2022/7/265根轨迹分析例3、系统的开环传递函

10、数如下，绘制根轨迹图，寻找系统临界稳定时的增益K，并绘制系统的脉冲响应进行验证。 num=1den=conv(1 1,1 6 10)rlocus(num,den) %绘制根轨迹图gridk,p=rlocfind(num,den) %给出指定点所对应的增益和极点%绘制不同k值下的脉冲响应曲线k=50 100 101 102 103 200n = length(k)den=conv(1 1,1 6 10)i=1for T=k num=T num1,den1=feedback(num,den,1,1) subplot(1,n,i); impulse(num1,den1); title(strcat(

11、k=,num2str(T); i=i+1end脉冲响应验证演示2022/7/265根轨迹分析例4：已知带有延迟环节的系统开环传递函数如下，绘制根轨迹图，并选择系统稳定时给出的根轨迹增益，最后求系统k=0.5时的阶跃响应曲线。num=1den=conv(1 0,conv(1 1,0.5 1)sys1=tf(num,den)num1,den1=pade(1,3)%延时环节sys=sys1*tf(num1,den1)rlocus(sys) %绘制根轨迹图gridk,p=rlocfind(sys) %给出指定点所对应的增益和极点k=0.5 70 200n = length(k)denk=conv(1

12、0,conv(1 1,0.5 1)i=1for T=k numk=T num1,den1=pade(1,3)%延时环节 num,den=series(numk,denk,num1,den1) nums,dens=feedback(num,den,1,1) subplot(1,n,i); impulse(nums,dens); i=i+1end2022/7/265根轨迹分析2.1. 增加开环零极点对根轨迹的影响1、附加开环零点对根轨迹的影响 例5：设二阶系统的开环传递函数如下，增加开环零点s=-z、分析增加该零点后对系统的影响。i=1;den=conv(1 0,1 2 2);for z=real

13、max 3 2 0%取一组零点值(最大可用正实数1.7977e+308) num=1 z; subplot(2,2,i);%使用子图功能 rlocus(num,den);%绘制根轨迹图 title(strcat(Root Locus z=,num2str(z); i=i+1 %设定被描画的子图位置end2022/7/265根轨迹分析Z=正无穷Z=3Z=2Z=0增加零点使根轨迹左移，渐近线夹角增大，系统的稳定性提高，性能变好。常使用增加零点的方式改善系统的暂态性能。所附加的零点越靠近坐标原点，其作用也越强。2022/7/265根轨迹分析i=1;den=conv(1 0,1 2 2);for z=

14、8 3 2 0 %增加不同零点用较大正实数代替 num=1 z; %分子系数的设定 num1,den1=cloop(num,den);%求单位负反馈 subplot(2,2,i);%使用子图功能 impulse(num1,den1);%绘制脉冲响应 title(strcat(Root Locus z=,num2str(z); %axis(0 20 -0.5 1)%设置绘图区坐标比例 i=i+1 end绘制脉冲响应曲线，分析增加零点后对系统的影响。2022/7/265根轨迹分析2、附加开环极点对根轨迹的影响 例6：设系统的开环传递函数如下，增加开环极点s=-p、分析增加该极点后对系统的影响。i=

15、1;num=1;for p=4 0%设置所增加的极点 den=conv(1 0,conv(1 2,1 p)%定义传递函数分子系数 subplot(1,2,i);%使用子图功能 rlocus(num,den); %绘制根轨迹 title(strcat(Root Locus p=,num2str(p); i=i+1;%指定子图位置end2022/7/265根轨迹分析p=4p=0增加极点后系统阶次变高，使根轨迹支数增加，渐近线夹角减小，系统的稳定性变差，性能变坏。所附加的极点越靠近坐标原点，其作用也越强。2022/7/265根轨迹分析i=1;num=1;%定义参数Tp=8 4 0;%设定增加的极点n

16、=length(Tp)%求增加的极点个数for p=Tp%极点个数循环 den=conv(1 0,conv(1 2,1 p)%定义分母系数 num1,den1=cloop(num,den);%求闭环系统系数 subplot(1,n,i);%使用子图功能 impulse(num1,den1);%绘制脉冲响应曲线 title(strcat(Root Locus p=,num2str(p); axis(0 25 -0.5 1)%设置坐标 i=i+1;end绘制脉冲响应曲线，分析增加不同极点后对系统的影响。2022/7/265根轨迹分析3、同时附加开环极点和零点对根轨迹的影响 例7：设系统的开环传递函

17、数如下，同时增加开环极点和零点s=-p、s=-z。分析比较不同p、z值下，增加零极点后对系统的影响。 1) zp; 3)z,p值比较相近; 4) p值远大于z值（5倍以上）%暂定零点z=1,%分别取p=z,pz,pz,pz,pz,pz绘制根轨迹图i=1;num=1;z=1;for p=1 5 2 0 num=1 z; den=conv(1 0,conv(1 2,conv(1 4,1 p) num1,den1=cloop(num,den); subplot(2,2,i); impulse(num1,den1); title(strcat(Root Locus z=,num2str(z), p=,

18、num2str(p); axis(0 30 -0.3 0.15); i=i+1end2）绘制脉冲响应曲线，分析增加不同零极点后对系统的影响。2022/7/265根轨迹分析z=p=1z=1,p=5z=1,p=0z=1,p=22022/7/265根轨迹分析2.2.利用根轨迹法分析系统的暂态特性1、若已知闭环零极点分布，则其系统特性就可以唯一确定，对于给定的输入，可以求出其输出响应和性能指标；2、若极点均分布于S平面虚轴左侧，则系统是稳定的；3、稳定系统的特性主要取决于主导极点的位置，该极点与虚轴的距离是其他零点与虚轴距离的5倍以上；4、在主导极点的基础上，增加极点，系统响应速度降低、超调量减少5、

19、在主导极点的基础上，增加零点，系统响应速度增高、超调量增大增加零极点的作用随该点与虚轴的距离减小而增强6、一对靠近的零极点（零极点与虚轴的距离是该对零极点之间距离的10倍以上）的作用可以忽略2022/7/265根轨迹分析闭环系统的稳定性决定于闭环极点Pi，极点相对于虚轴的位置决定了系统的暂态性能1、左右分布决定终值：Pi在虚轴左侧暂态分量最终衰减到0；Pi在右侧则暂态分量一定发散；Pi在虚轴上则暂态分量等幅振荡；2、虚实分布决定振型：Pi在实轴暂态分量非周期，Pi在虚轴暂态分量周期；3、远近分布决定快慢：Pi距虚轴越远衰减越快闭环极点的共轭2022/7/265根轨迹分析3.1.图形界面工具rl

20、toolMATLAB提供的系统根轨迹分析与设计的图形界面工具，可以利用它很方便的绘制系统的根轨迹，并可以对系统进行校正。步骤：1.建立系统的数学模型sys2.在命令窗口中输入：rltool(sys) 3.在菜单中选中：import 在工作空间或Mat-file中选择系统导入系统模型4.点击选择分析选项，操作功能丰富的菜单5.配置零极点，实现对系统的校正设计根轨迹编辑器根轨迹设计界面C：补偿器描述F：前置滤波器H：反馈环节G：被控对象rltool操作演示2022/7/265根轨迹分析3.1.图形界面工具rltoolnum=1;den=conv(1 0, 1 2 2);sys=tf(num,den)例8、设系统的开环传递函数如下，使用rltool生成根轨迹分析图形界面，试增加零点或极点并判断增加零点或极点后对系统的影响。rltool示例演示2022/7/265根轨迹分析3.2.综合应用实例例9：单位负反馈系统的开环