1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题：线面角（中档） 同步练习（Word版含解析）

1、空间向量专题9-1 线面角（中档）（4套，4页，含答案） 如图(1)，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点将ADE沿DE折起，如图(2)，F是折叠后AC的中点()求证：BF平面ADE；()若平面ADE平面BCDE，求BF与平面ABD所成角的正弦值 答案：证明略，eq f(r(35),14)；【解析】()取AD中点G，连结EG，FG，F为AC中点， FG綊eq f(1,2)CD，BE綊eq f(1,2)CDFG綊BE，从而四边形EBFG是平行四边形(3分)BFEG，又BF平面ADE，EG平面ADE，BF 平面ADE.(5分)() 如图所示以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，在图(1)中

2、作AHDE于H，易求得EHeq f(1,r(5)，AHeq f(2,r(5)，作HNAE于N，HMBC于M，则HNeq f(2,5)，HMeq f(6,5)，所以Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)，f(6,5)，f(2,r(5).(7分)而B(0，0，0)，D(2，2，0)，则eq o(BA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)，f(6,5)，f(2,r(5)，eq o(BD,sup6()(2，2，0)设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则eq blc(avs4alco1(no(BA,sup6()0，,no(BD,sup6()0)eq b

3、lc(avs4alco1(f(2,5)xf(6,5)yf(2,r(5)z0，,2x2y0，)解得一个法向量为n(eq r(5)，eq r(5)，2)(9分)又C(2，0，0)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)，f(3,5)，f(1,r(5)，eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,5)，f(3,5)，f(1,r(5)，cosn，eq o(BF,sup6()eq f(no(BF,sup6(),blc|rc|(avs4alco1(n)blc|rc|(avs4alco1(o(BF,sup6()eq f(r(35),14).BF与平面ABD

4、所成角的正弦值为eq f(r(35),14).(12分)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为棱A1B1与BB1的中点，M，N为线段C1D上的动点，其中，M更靠近D，且MNC1N.（1）证明：A1E平面AC1D；（2）若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求异面直线BM与NE所成角的余弦值. 答案：证明略，；（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，在正三棱柱中，底面，则.又，平面，.易证，又，平面.（2）解：取的中点，的中点，则，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，易知是平面的一个法向量，解得.，异面直线与所成角的余弦值为.空间向量专题9-

5、2 线面角（中档）如图（1）五边形ABCDE中，EDEA，AB/CD，CD2AB，EDC150，将EAD沿AD折到PAD的位置，得到四棱锥PABCD，如图（2），点M为线段PC的中点，且BM平面PCD.（1）求证：BM/平面PAD.（2）若直线PC，AB与所成角的正切值为，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值. 答案：证明略，；（1）证明：取的中点，连接，则，又，所以，2分则四边形为平行四边形，所以，3分又因为面所以平面5分（2）又平面，平面，.由即及为的中点，可得为等边三角形，又，平面平面，平面平面.6分，为直线与所成的角，由（1）可得，设，则，取的中点，连接，过作的平行线，可建立如图所示的

6、空间直角坐标系，则，9分所以，设为平面的法向量，则，即，取，则为平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为.12分如图四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是梯形，ABCD，BCCD，ABPD4，CD2，M为CD的中点，N为PB上一点，且。（1）若MN平面PAD；（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。空间向量专题9-3 线面角（中档）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE，BCF均为等边三角形，EFAB，EFADAB（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在

7、（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值 答案：N是CF的中点，；解：（1）当N为CF的中点时，AF平面BDN证明：连结AC交BD于M，连结MN四边形ABCD是矩形，M是AC的中点，N是CF的中点，MNAF，又AF平面BDN，MN平面BDN，AF平面BDN（2）过F作FO平面ABCD，垂足为O，过O作x轴AB，作y轴BC于P，则P为BC的中点以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD1，则BF1，FP，EF1，OP（ABEF），OFA（，0），B（，0），C（，0），F（0，0，），N（，）（0，2，0），（，），（，）设平面ABF的法向量为（x，y，z），则，令z得（2，0

8、，），1，|，|cos，直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos，|如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB/CD，AB2，CD5，过A、B分别作AECD，BFCD，垂足分别为E、F已知DE1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，得空间几何体ADEBCF，如图2（1）若AFBD，证明：DEBE；（2）若DE/CF，在线段AB上是否存在点P使得CP与平面ACD所成角的正弦值为？并说明理由 答案：证明略，P为AB的中点；证明：()由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，在图2中，AFBE，由已知得AFBD，BEBD=B，AF平面BDE，又DE平面BDE，AFDE，又AEDE，AEAF=A，D

9、E平面ABEF，又BE平面ABEF，DEBE，解：()当P为AB的中点时满足条件.在图2中，AEDE，AEEF，DEEF=E，即AE面DEFC，过E作EGEF交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以EA，EF，EG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(6分)则A(2，0，0)，B(2，2，0)C(0，1，3)，D(0，12，32)，AC=(2，1，3)，AD=(2，12，32)设平面ACD的一个法向量为n=(x，y，z)，则nAC=2x+y+3z=0nAD=2x12y+32z=0，得n=(1，1，3)，(8分)设AP=PB，则P(2，21+，0)，(0，+)，

10、可得CP=(2，11+，3)设CP与平面ACD所成的角为，则sin=|cosCPn|=|111+|7+(11+)25=3535(10分)=1或=52(舍)，所以P为AB的中点时满足条件.(12分)()由已知得四边形ABEF是正方形，且边长为2，取BE与AF的交点为O，推导出AFBE，AFBD，从而AF平面BDE，进而AFDE，再由AEDE，得DE平面ABEF，从而DEBE，()以E为坐标原点，以EA，EF，EG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系求得平面ACD的一个法向量为n=(x，y，z)，设AP=PB，则P(2，21+，0)，(0，+)，可得CP=(2，11+，3)设CP与平面

11、ACD所成的角为，则sin=|cosCPn|=|111+|7+(11+)25=3535=1或=52(舍)，即可本题考查了空间线线垂直，空间线面角，属于中档题空间向量专题9-4 线面角（中档）在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且，A1ABA1AD60.（1）求证：BDCC1；（2）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为 答案：证明略，当为的中点时；解：（1）连接，因为，所以和均为正三角形，于是设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面，又平面，所以，又，所以（2）由，及，知，于是，从而，结合，得底面，所以、两

12、两垂直如图，以点为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，由，易求得设（），则，即设平面的一个法向量为，由得令，得，设直线与平面所成角为，则，解得或（舍去）.所以当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为.直角三角形ABC中，C90，AC4，BC2，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将CEB翻折至DEB，使得平面DEB平面ABE（1）当时，证明：BD平面DEF；（2）是否存在，使得DF与平面ADE所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 答案：证明略，；证明：（1）在中，即，则，取的中点，连接交于，当时，是的中点，而是的中点，所以是的中位线，所以，在中，是的中点