材料非线性有限元分析讲义

1、第三章 材料非线性有限元分析1 非线性弹性问题的有限单元法2 弹塑性问题的有限单元法2000.41哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作1 非线性弹性问题的有限单元法 前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此 象线性问题一样，设位移和应变分别为则全量形式的应力为增量形式的应力为2000.42哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为进行先处理（定位向量）集成，可得与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因此要用第一章介绍的方法来求解。1）切线刚度法牛顿法集成 非线性方程 用牛顿法求解时，切线刚度矩阵为(这里认为 )2000.43哈尔滨建筑

2、大学 王焕定教授制作 经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为式中Rn是应力n引起的结点力，因此其中n为第n步位移对应的非线性单元应力。 讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤，这里不再赘述。(P.22) 因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足够小。表示集成2000.44哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 5) 由式 （36）进行迭代，直到满足精度要求。 从此可得切线刚度法的计算步骤为： 1）设 = ，求线弹性解 ； 2）由 求各单元的应变、应力； 3）从 计算单元切线刚度矩阵 并集装 ；4）计算 并集装 ；2000.45

3、哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作2）应力转移、初应力法修正牛顿法 为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则 这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。 因为初始切线刚度矩阵 ，故表示集成2000.46哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作式中是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从修正牛顿法迭代公式可得 因为非线性应力所以若将 视作“初应力”，并记则表示集成它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力和真实应力之差）

4、。因此也称初应力法。2000.47哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作4） 由(38)求 ，反复迭代，直到 足够小。 从讲义式 （38）可得初应力法的计算步骤为： 1） 由 集装初始切线刚度矩阵 ；2） 由 求线弹性的解；3）由 计算各单元的 ，并集装 ；2000.48哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作又设第n步单元非线性应力对应的弹性应变为则非线性的应变可表为残余(初)应变式中 也可视作“初应变”，由上式可得因此单元刚度方程为 有些问题的本构关系是用应力表示应变,即3）初应变法修正牛顿法2000.49哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作也即初应变可作为等效结点荷载考虑由此，象初应力法一样，可得迭代公式为因为

5、它是不断修改初应变，使趋于一常量（总应变和弹性应变之差）。因此也称初应变法。其求解步骤如下页所示。表示集成 为了更好地掌握上述知识，讲义上举了一个简单例子，用以说明切线刚度法和初应力法。2000.410哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作初应变法的计算步骤为：1）由 集装初始切线矩阵 ；2）由 求线弹性的解；3）计算单元线弹性应变 和单元初应变 ；4）由 集装 ;5）由（38）求 ;迭代直到 很小。2000.411哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 为了更好地理解，这一例子各种方法的示意图如下所示。2000.412哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作2000.413哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作2000.41

6、4哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作2000.415哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作2000.416哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作2 弹塑性问题的有限单元法 材料应力应变非线性、岩土工程的开挖和施工过程等对结果有重大影响的问题，都必须用增量法来求解。在增量荷载Rm作用下，位移、应力、应变和内变量等的增量分别为下一步迭代时的荷载水平为 设m迭代步的结果已知，位移、应力、应变和内变量等分别记作2000.417哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 由于所讨论的是小变形问题，因此或 对弹塑性问题，本构关系为也即单元增量应变为 。象弹性问题一样，第m+1步单元刚度方程为弹性矩阵塑性矩阵弹塑性矩阵精确解时2000.4

7、18哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作因此应力增量为由于在Rm作用前后，单元高斯积分点的应力状态可能是弹性，也可能是塑性。因此首先得解决状态判别问题。 基于此，由单元集成可得整体非线性方程为 在第二章已讨论了应变空间的加、卸载的规则，它们是2000.419哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 为进一步讨论状态判别，设在荷载Rm作用下应力和内变量对应一弹性状态，也即其几何解释为：弹性应力增量指向屈服面内侧或相切时，反应是弹性的。否则是塑性加载，反应是弹塑性的。增加荷载Rm后，转入塑性状态，即弹性应力弹性应力2000.420哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作也可由下式线性内插确定因此可用下式确定中性变载点处弹、

8、塑性部分的比例因子r 基于此，加荷载Rm后，应力增量为弹性应力转图2000.421哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作当Rm足够小时(m足够小)，上式可写为跳转式中Dp是按 计算的塑性矩阵。 当r=1时，反应是纯弹性的，可以是弹性到弹性、塑性卸载到弹性或中性变载。 当r=0时，应力应变是塑性的，是弹性到塑性的加载。0r1时，应力应变是弹塑性的。转图 讲义上给出了由应变求应力的计算步骤，可供编程时参考。(P.31)弹性应力2000.422哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作弹性弹性塑性fmfm+1弹性转18有状态改变无状态改变弹性塑性由中性状态改变到塑性2000.423哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 解决了由应变求应力的计算，下面再解决弹塑性问题非线性方程组求解问题。将其代入单元刚度方程，可得 首先，以 下的弹塑性矩阵 代替增量应力应变关系中的 ，也即有“线性关系”进行整体集成，可