第二课时 利用导数研究函数的极值与最值

1、第二课时利用导数研究函数的极值与最值易混易错辨析考点专项突破考点一 利用导数研究函数极值问题考点专项突破 在讲练中理解知识 考查角度1:根据函数图象判断函数极值【例1】 (2016内蒙古赤峰市二模)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()(A)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)(B)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)(C)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)(D)函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)解析:由题图可知,当x0;当-2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)2时,

2、f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D.考查角度2:求函数的极值解:(1)因为f(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a).令f(x)=0得x1=a,x2=3a.又0a1,则x1x2.当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:x(-,a)a(a,3a)3a(3a,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值所以当x=a时,f(x)取得极小值f(a)=b- a3;当x=3a时,f(x)取得极大值f(3a)=b.反思归纳 利用导数研究函数极值的一般步骤:(1)确定函数定义域;(2)求导数f(x)及f(x)=0的根;(3)根据方程f(

3、x)=0的根将函数定义域分成若干个区间,列出表格,检查导函数f(x)零点左右f(x)的值的符号,如果左正右负,那么y=f(x)在这个根处取极大值,如果左负右正,那么y=f(x)在这个根处取极小值.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.【例3】 导学号 18702110 设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).(1)求f(x)的单调区间;(2)当0a2时,求函数g(x)=f(x)-x2-ax-1在区间(0,3)上的极值.反思归纳 函数解析式中含参数的函数极值,需分类讨论,分类讨论标准主要有以下方面:(1)f(x)=0的根是否存在;(2)f(x)=0根的大小;(3)f(x)=0

4、的根与定义域的关系等.考查角度3:已知极值求参数反思归纳 (1)已知函数极值点x0,求解析式中的参数,常利用f(x0)=0列方程求参数,求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征.(2)函数y=f(x)在区间(a,b)上存在极值点,则转化为函数y=f(x)在区间(a,b)内存在变号零点.利用导数研究函数最值考点二【例5】 已知函数f(x)=x3-3ax+2(aR),求函数f(x)在区间0,1上的最大值与最小值.反思归纳 求可导函数f(x)的最值的步骤设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:(1)求f(x)在(a,b)内的极值

5、,若函数f(x)中含有参数,则需要讨论参数的范围,从而决定极值存在的位置;(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,得出函数f(x)在a,b上的最值.【即时训练】 设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)求f(x)在区间 的最大值和最小值.利用导数研究生活中的优化问题考点三【例6】导学号 18702111 如图,OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线C,为方便游客观光,拟定曲线C上某点P分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,建立如图所示的平面直

6、角坐标系xOy,则曲线C符合函数y=x+ (1x9)模型,设PM=x,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元,题中所涉及长度单位均为百米.(1)求f(x)的解析式;(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.反思归纳 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.【即时训练】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为

7、V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.备选例题(1)求曲线C的方程;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间-5,+)上的最大值.【例2】 (2015全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.易混易错辨析 用心练就一双慧眼 忽视f(x0)=0是

8、x=x0为极值点的必要不充分条件而致误解析:函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a的导数为f(x)=3x2+2ax+b,由在x=1处取得极大值10,可得f(1)=10,且f(1)=0,即为1+a+b-a2-7a=10,3+2a+b=0,将b=-3-2a代入第一式可得a2+8a+12=0,解得a=-2,b=1或a=-6,b=9.当a=-2,b=1时,f(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),可得f(x)在x=1处取得极小值10与题意不符;当a=-6,b=9时,f(x)=3x2-12x+9=(x-1)(3x-9),可得f(x)在x=1处取得极大值10.综上可得,a=-6,b=9满足题意.则a+b=3.答案:3【典例】 (2016河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=x3+