概率论与数理统计：第八章 假设检验

1、第八章 假设检验1如何利用样本值对一个具体的假设进行检验?假设推断原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断: 是接受, 还是拒绝.处理假设检验要做两件事：1）确定一个检验统计量，它的值决定于样本值；2）确定一个否定域（拒绝域），它是检验统计量的值的集合.8.1 假设检验的基本原理2实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布. 当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.497 0.506

2、0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512问机器是否正常? 分析:由长期实践可知, 标准差较稳定, 由此，机器工作是正常的： 机器工作不正常：3问题:根据样本值判断提出两个对立假设利用已知样本作出判断：是接受假设 H0 (拒绝假设 H1) , 还是拒绝假设 H0 (接受假设 H1).如果作出的判断是接受 H0, 即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的.由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本均值来判断.问题分析: 那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？因此，可以根据 与 的差距来判断H0是否成立.4较小时，可以认为H0是成立的；当- |当

3、较大时，应认为H0不成立，即生产已不正常.- |问题转化为: 较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何处? 应由什么原则来确定？若H0成立，则偏离 不应该太远,取较大值是小概率事件.问题:若H0成立，则5小概率事件在一次试验中基本上不会发生 .于是可以选定一个适当的正数c, 使得：6在 中的点z为N(0, 1)分布的上分位点。PX z = ,xz1z0(1) 满足条件z= -z1即标准正态分布的分位点设X N(0, 1)，对给定的 (01）(2)满足条件的点 为N(0, 1)分布的双侧分位点。x01- 7由：于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.8以上所采取的检验法是符合实际推断原理的.

4、9(1) 原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为（以总体均值假设检验为例）:(2) 否定域(拒绝域) 当检验统计量取某个区域W 中的值时, 我们拒绝原假设H0, 则称区域 W 为否定域(拒绝域).假设检验的相关概念10(3). 两类错误 假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误有两类:a) 当原假设H0为真, 观察值却落入否定域, 而作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错误的概率是显著性水平b) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出

5、了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪错误, 这类错误是“以假为真”. 11正确正确假设检验的两类错误H0 为真H0 为假真实情况所作判断接受 H0拒绝 H0第一类错误(弃真)第二类错误(取伪)犯第二类错误的概率记为 当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大. 若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量.12(4). 显著性检验 只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.关于零假设与备择假设的选取在控制犯第一类错误的概率的原则下, 使得采取拒绝H0 的决策变得较慎重, 即H0得到特别的保护.

6、因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设, 或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误.注13(5) 双边假设检验(6) 右边检验与左边检验右边检验与左边检验统称为单边检验.14(7) 单边检验的拒绝域15假设检验的一般步骤3). 确定检验统计量以及否定域形式;16例 某厂生产的螺钉, 按标准强度为68N/mm2, 而实际生产的强度X服N(, 3.62 ). 若E(X)=68, 则认为这批螺钉符合要求, 否则认为不符合要求. 现从整批螺钉中取容量为36的样本,其均值为 , 问螺钉是否符合要求?（取 ）提出假设:解析：H1 : 68H0 : = 68若原假设正确, 则因而 偏离68不应该太远,

7、故取较大值是小概率事件.可以确定一个常数c 使得因此,17由 (实际上没理由拒绝)。现落入接受域,则接受原假设即区间( , 66.824 ) 与 ( 69.18, + )为检验的拒绝域称 的取值区间(66.824, 69.18)为检验的接受域H0: = 68取 , 则18P(拒绝H0|H0为真)犯第一类错误的概率H0不真, 即 68, 可能小于68, 也可能大于68, 的大小取决于 的真值的大小.犯第二类错误的概率 = P(接受H0|H0不真)19设 若20仍取=0.05,则由可以确定拒绝域为 ( , 67.118 ) 与 ( 68.882, + )因此，接受域为(67.118, 68.882

8、)现增大样本容量, 取n = 64, = 66, 则2122解例2324作业: 31. 均值的假设检验2. 方差的假设检验8.2 正态总体均值和方差的假设检验251. 方差2已知情况下1) 假设 H0： = 0; H1： 0 构造Z统计量 由 双边检验 如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设确定否定域 H0为真的前提下 Z 检验法总体N(, 2)均值的检验262) 假设 H0: 0; H1: 0 选择统计量并令H0若成立，即0 ，则因为对于给定的，可查表得临界值z使所以右边检验 即有这说明如果H0成立，事件 是小概率事件因此， H0的拒绝域为 。左边检验的拒绝域可类似获得2. 方差2

9、未知的情况下1) 假设 H0： = 0；H1： 0 双边检验 由于2未知，现在不能利用 来确定否定域了。 构造t统计量 由 确定否定域 如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设 28t检验法H0： =0；H1： 0,H0： 0 ；H1： 0, 由 Pt t(n 1) =, 得显著性水平为的拒绝域为t t(n1)2) 假设右边检验 或H0： =0 ；H1： 0H0： 0 ；H1： 1020 检验统计量：比较：计算的z = 2.4 z = 1.645判断：拒绝H0，接受H1，即这批产品的寿命确有提高。例 根据以往的资料，某厂生产的产品的使用寿命服从正态分布N(1020, 1002)，并设方

10、差稳定。现从最近生产的一批产品中随机抽取16件，测得样本平均寿命为1080小时。问这批产品的使用寿命是否有显著提高（显著性水平：0.05）？解:例 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根, 测得抗拉强度(kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670.认为抗拉强度服从正态分布, 取 = 0.05 ,问新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉强度要高?解: H0：=10620；H1：10620由Pt t0.05

11、(9) = 0.05, 得拒绝域为t t0.05(9) = 1.8331这里接受H0例 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620 (kg/mm2)的正态分布, 今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测得平均抗拉强度10600 (kg/mm2), 样本标准差为80. 问该厂的镍合金线的抗拉强度是否不合格? ( = 0.1) 解: H0：10620；H1：10620由Pt -t0.1(9) = 0.1, 得拒绝域为t -t0.1(9) = -1.383这里接受H0假设 1. 均值已知的情况下双边检验 总体N(, 2)方差2的检验构造2统计量 由 否定域 当H0 成立时确定临界值 如果统计量的

12、观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设 或 372检验法假设 2. 均值未知的情况下双边检验 我们取由于S2是2的无偏估计，当 H0 为真时 ，比值S2/2一般来说应在1附近摆动，而不应过分大于1或过分小于1。由于当 H0 为真时,作为检验统计量。38由 如果统计量的观测值 则拒绝原假设；否则接受原假设。 确定临界值 或 39例 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差 2 = 5000 (小时2) 的正态分布, 现有一批这种电池, 随机地取26只电池, 测出其寿命的样本方差s2 = 9200(小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?解否定域为:40认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化.41小结真实情况(未知)所 作 决 策接受H0拒绝H0H0为真正确犯第I类错误H0不真犯第II类错误正确假设检验的两类错误