电磁场与电磁波 第2章 电磁场的基本规律

1、第2章 电磁场的基本规律 为分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础上，介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。 在静止和稳定的情况下，确立分布电荷与分布电流的概念物理量；在电荷守恒的假设前提下，确立电流连续性方程。 对于静电场，在库仑实验定律和安培实验定律的基础上建立电场强度E 和磁感应强度B的概念。 在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁场的矢量积分公式。 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。库仑定律安培定律法拉第电磁感应定律实验定律麦克斯韦方程组有旋电场假设位移电流假设2.1 电荷守

2、恒定律2.2 真空中静电场的基本规律2.3 真空中恒定磁场的基本规律2.4 媒质的电磁特性2.5 电磁感应定律和位移电流2.6 麦克斯韦方程组2.7 电磁场的边界条件2.1 电荷与电荷分布1.电荷体密度2.电荷面密度3.电荷线密度2.1.1 电荷及电荷密度4.点电荷体电流密度 2.1.2 电流及电流密度电流：电荷在电场力作用下定向运动形成的。电流强度：单位时间内穿过面积S的电荷量。其单位为A（安培），1.体电流电荷在某一体积中定向运动所形成的电流称为体电流。设电流呈体分布流过任意曲面的电流式中 的法线方向与电流的方向一致。2.面电流设电流呈面分布面电流密度 式中 的方向与电流的方向垂直流过任意

3、 的电流而于是所以穿过任意曲线的电流3.线电流 长度元 dl 中流过电流I，将称为电流元 Idl。散度定理2.1.3 电荷守恒定律与电流连续性方程所以电流连续性方程微分形式 取一闭合曲面S,S 所包围的体积为 ， 从闭合面内流出的总的电流等于单位时间流出的电荷量。由电荷守恒定律，它应等于体积 内电荷的减少率，即对于恒定电流则有 在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中始终保持不变，这就是电荷守恒定律。2.2.1 库仑定律 电场强度库仑定律点电荷 对点电荷 的作用力。符合叠加原理定义点电荷 在周围空间P点产生的电场强度（矢量）N个点电荷产生的电场强度对于连续的电荷分布式

4、中体分布线分布面分布2.2 真空中静电场的基本规律现今演示库仑定律的实验相关图片1785年库伦所用的实验工具示意图表示闭合曲面S 对点电荷所在点张的立体角2.2.2 静电场的散度与旋度对任意闭合曲面S 积分1.静电场的散度和高斯定理设空间存在一点电荷 ，则 点的电位移若闭合面内有N 个点电荷若闭合面内的电荷分布为散度定理于是电场的散度方程（高斯定理的微分形式）所以在闭合面内在闭合面外真空中的高斯定律定义：一面积元对 对一点 所张的立体角闭合曲面对面内一点 所张的立体角因为闭合曲面的外法线为正。所以整个积分区域 即 得 闭合曲面对面外一点 所张的立体角此时在整个积分区域中有一半是 即而另一半是

5、即 因此2.静电场的旋度真空中电场的基本方程在点电荷 的电场中，任取一条曲线 ，积分当积分路径是闭合曲线，A、B 两点重合，得斯托克斯定理2.3.1 安培力定律 磁感应强度1. 安培力定律 两个线电流回路 和 ，其上的电流元分别为 。 回路对 回路的安培作用力为 其中 可以认为是一个孤立电流元 对另一个孤立电流元 的安培作用力。进一步改写为其中为电流元 在周围空间产生的磁感应强度，为矢量点函数。2.3 真空中恒定磁场的基本规律2. 磁感应强度将上式写为任何闭合线电流回路 在周围空间的磁场分布对于其它形式的电流分布电流元体电流分布电流元面电流分布2.3.2 恒定磁场的散度与旋度1.恒定磁场的散度

6、和磁通连续性定理设B 是由直流回路c 产生的磁感应强度，S 为一闭合曲面，则磁感应强度B 穿过S 的通量为BdSScRIdl因为 穿过任意闭合曲面的磁通量恒为零得已知矢量恒等式得由穿过任意闭合面的磁感应强度的通量为0 斯托克斯定理2.恒定磁场的旋度和安培环路定理安培环路定律的积分形式得安培环路定律的微分形式真空中磁场的基本方程（式中 是S 的周界）式中是回路 所包围电流的代数和Rc设H 是由直流回路 c 产生的磁场强度，为一闭合曲线,则磁场强度H沿 的环流为经分析计算该积分结果为电荷体密度标量电流标量电流密度矢量库伦力矢量电场强度矢量安培力矢量磁感应密度矢量电荷守恒定律恒定电流静电场方程恒定磁

7、场方程 例2.2.3 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。 解：（1）球外某点的场强（2）求球体内一点的场强ar0rrEa( r a )（r a） 当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。 解：分析场的分布，取安培环路如图 根据对称性，有 ，故 当磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。 例2.3.2 求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁感应强度。 解 选用圆柱坐标系，则应用安培环路定理，得 例2.3.3 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。取安培环路 ，交链的电流为应用安培环路定律，得 今天的主要内

8、容：时变电场与时变磁场之间的关系电磁感应定律2.4 媒质的电磁特性任何物质都是由粒子组成电磁场对物质的作用：传导，极化和磁化传导：导体在电磁场中，电子发生定向运动磁化：磁介质在电磁场中，分子磁矩在外加磁场的作用下改变方向，并产生附加磁场 极化：电介质在电磁场中，束缚电荷在外电场的作用下发生位移引进电位移和磁场强度两个概念 极化面电荷 （ 为介质表面外法线方向的单位矢量） 当电场中放入电介质时，电介质在电场的作用下发生极化现象，介质中因极化出现许多电偶极矩，电偶极矩又要产生附加电场，叠加于原来电场之上，使电场发生变化。 极化强度：用p 表示极化的程度，即式中：N 为单位体积内被极化的分子数 极化

9、体电荷 由于电场的作用使电偶极子的定向排列，介质内部出现极化体电荷，介质表面出现极化面电荷。2.4.1 电介质的极化 电位移矢量定义任意电荷分布产生的电位移矢量 引入极化电荷后，介质的极化效应由极化电荷表征，即空间的电场由自由电荷和极化电荷产生。而极化电荷和自由电荷的实质相同，则由实验证明，P 和 E 之间有一定的线性关系，即得（为电介质中的本构关系）介质的介电常数介质的相对介电常数极化率于是介质中的高斯定理微分形式式中 均为自由电荷式中：N 为单位体积内被极化的分子数而得令（介质中的电位移矢量）为极化电荷 媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同。 无外磁场作用时，媒质对外不

10、显磁性， 用磁化强度M 表示磁化的程度，即式中：N 为单位体积内被磁化的分子数。A/m分子电流，电流方向与 方向成右手螺旋关系。 分子磁偶极矩 在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转， 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。I 磁化体电流 由于磁偶极子的定向排列，媒质内部出现磁化体电流，媒质表面出现磁化面电流。（ 为媒质表面外法线方向） 磁化面电流 2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度斯托克斯定理 引入磁化电流后，媒质的磁化效应由磁化电流表征，即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生。而磁化电流和传导电流的实质相同，则将令（为磁介质中的磁场强度矢量）于是磁介质中的基本方程微分

11、形式 由实验证明，除铁磁性物质外，M 和H之间有一定的线性关系，即得（为磁介质中的本构关系）媒质的磁导率（除铁磁性物质外 ）媒质的相对磁导率磁化率式中 均为传导电流得 恒定电流空间存在的电场，称为恒定电场。 恒定电场中的二个基本变量为电流密度 和电场强度 。 描述恒定电场基本特性的第一个方程是电流连续性方程，即 电流恒定时，电荷分布不随时间变化，恒定电场同静电场具有相同的性质。因此描述恒定电场基本特性的第二个方程为 实验证明，导电媒质中电流密度与电场强度成正比，即 称为导电媒质的电导率。2.4.3 媒质的传导特性恒定电流2.5 电磁感应定律和位移电流 当穿过导体的磁通量发生变化时，回路中会产生

12、感应电流，这表明回路中感应了电动势。这就是法拉第电磁感应定律。 负号表示感应电流产生的磁场总是阻碍原磁场的变化。 电动势是非保守电场沿闭合路径的积分，回路中出现感应电动势，表明导体内出现感应电场上式对磁场中的任意回路都成立。2.5.1 法拉第电磁感应定律设空间还存在静止电荷产生的静电场Ec（库伦电场）,则总电场沿任意闭合路径的积分（静电场Ec沿任意闭合路径的积分为零）而磁通量为:则磁通的变化：或由磁场随时间的变化引起 或由回路运动引起(法拉第电磁感应定律的积分形式)将上式写为微分形式（设回路静止，磁通的变化由磁场随时间变化引起）由斯托克斯定理故上式对任意回路所围面积都成立，故被积函数为零法拉第

13、电磁感应定律的微分形式(时变磁场)而磁通的变化由回路运动引起的时候，速度为v则单位电荷所受的磁场力可以等效为感应电场产生的电场力，上式改写为： 得感应电动势：当磁通变化由在时变磁场中的运动引起，两者叠加故则磁场力为：法拉第电磁感应定律的一般形式 作闭合曲线 c 与导线交链，根据安培环路定律2.5.2 位移电流 恒定磁场中的安培环路定律应用于时变场时的矛盾。 麦克斯韦提出位移电流假说：在电容器两极板之间存在另一种电流，其值与传导电流i相等。S1和S2构成的闭合曲面，应用电流连续原理，有经过S1 面经过S2面i式中位移电流密度设想S2上有位移电流流过，并考虑S2 的面元方向，得（对上述两个不同的面

14、S1和S2，得到相同的积分结果）安培环路定律的积分形式q为极板上的电荷量。由高斯定律则一般情况下，空间可能同时存在真实电流 和位移电流 ，则安培环路定律为由斯托克斯定理关于电流 传导电流：带电粒子在电场的作用下的定向运动。 位移电流：具有磁效应，可以产生磁场。但与带电粒子的定向运动无关。 例 2.5.3 海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为1MHz时，位移电流与传导电流的比值。解：设电场随时间作正弦变化，表示为则位移电流密度为其幅值为传导电流的幅值为故安培环路定律的微分形式第一方程第二方程第三方程 麦克斯韦第一方程 推广的全电流定律，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。麦克斯

15、韦第二方程 推广的电磁感应定律, 表明变化的磁场能产生电场。麦克斯韦第三方程 磁通连续性原理，表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线。 麦克斯韦第四方程 高斯定律，表明电荷以发散的方式产生电场。 静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。第四方程2.6 麦克斯韦方程微分形式 积分形式 电流连续性方程可由麦氏方程导出。 静态场和恒定场微分形式 积分形式 电流连续性方程由两边取散度即 （电流连续性方程） 麦氏方程的限定形式和非限定形式用E、D、B、H 四个场量写出的方程称为麦氏方程的非限定形式。对于线性各向同性媒质，有本构关系用E、H 二个场量写出的方程称为麦氏方程的限定形式。微分形式 积分形式 麦克斯

16、韦方程组是描述宏观电磁现象的基本规律。1、磁场强度H的边界条件 在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 ，取H 沿此回路的环积分为 设分界面上的自由电流面密度为 则回路所围面积上通过的电流为（其中 的方向为回路所围面积的法线方向） 矢量 可写为 因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有磁场强度H 的边界条件：若分界面上没有自由的表面电流2.7 电磁场的边界条件2.7.1 边界条件的一般形式 方程 变为另外，由由2、电场强度E 的边界条件（其中 为回路所围面积的法线方向） 在分界面上作一小的矩形回路，其两边 分居于分界面两侧，而高 。将方程 用于此回路 因为回路是任意的，其所围面的法向也是任意的，因而有电场强度E的边界条件：或表示为介质分界面两侧电场强度的切向分量连续对于电位 由由 小圆柱侧面积， h为无穷小量，该面积趋于零3、磁感应强度B的边界条件 设两种不同的磁介质 ，其分界面的法线方向为n。在分界面上作一小圆柱形表面，两底面分别位于介质两侧，底面积为 ，h为无穷小量。nh 将磁场基本方程 用于所作的圆柱形表面。方程左边磁感应强度B 的边界条件用矢量表示分界面上B 的法向分量连续 小圆柱侧面积， h为无穷小量，该面积趋于零4、电位移矢量D 的边界条件nh 设两种不同的电介质 ，其分界面的法线方向为n，在分界面上作一