复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数

1、复 变 函 数 与 积 分 变 换二、教学内容本课程由复变函数与积分变换两个部分组成。理论课，是工程数学的主要课程之一。复变函数与积分变换在科学研究、工程技术等各行各业中有着广泛的应用。复变函数的内容包括：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数及其应用。积分变换的内容包括：傅里叶变换和拉普拉斯变换。复变函数与积分变换课程是工科各专业必修的重要基础第一章 复数与复变函数复数领域的推广和发展 。复变函数理论中的许多概念、理论和方法是实变函数在世纪末期，经过了卡尔丹、笛卡尔、欧拉以及高斯等许多人的长期努力，复数的地位才被确立下来。复变函数理论产生于十八世纪，在十九世纪得到

2、了全面为这门学科的发展作了大量奠基工作的发展。为复变函数理论的创建做了早期工作的是欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等。则是柯西、黎曼和维尔斯特拉斯等。复数的产生最早可以追溯到十六世纪中期。但直到十八第一章 复数与复变函数1.2 复数的三角表示1.5 复变函数1.4 无穷大与复球面1.1 复数1.3 平面点集的一般概念1.1 复数一、复数及其运算二、共轭复数一、复数及其运算1. 复数的基本概念定义(1) 设 x 和 y 是任意两个实数，(或者 )的数称为复数。 (2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为： 当 y = 0 时，因此，实数可以看作是复数的特殊情形。(3) 当 x =

3、0 时，称为纯虚数；就是实数。将形如其中 i 称为虚数单位，即P1 设 与 是两个复数，如果则称 与 相等。它们之间只有相等与不相等的关系。一、复数及其运算1. 复数的基本概念相等当且仅当特别地，复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小，注一、复数及其运算2. 复数的四则运算设 与 是两个复数，(1) 复数的加减法加法减法(2) 复数的乘除法乘法如果存在复数 z，使得则除法P2 一、复数及其运算2. 复数的四则运算(3) 运算法则交换律结合律分配律二、共轭复数1. 共轭复数的定义设 是一个复数，定义称 为 z 的共轭复数，记作 。共轭复数有许多用途。注比如P2 二、共轭复数2. 共轭

4、复数的性质其中，“ ”可以是(2)(3)(1)性质P3 解(1)(2)证明P4 例1.1 例. . . . . .1.2 复数的几种表示一、复数的几何表示二、复数的三角表示和指数表示四、几个关系三、复数的乘幂与方根一、复数的几何表示1. 复平面此时，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴。在平面上建立一个直角坐标系，定义用坐标为 的点来表示复数从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来， 的平面称为复平面或者这样表示复数zz 平面。P4 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。 在复平面上，从原点到点所引的向量与该复数 z 也构成一一一、复数的几何表示1. 复平面y 实轴虚轴x

5、O对应关系(复数零对应零向量)。 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。 将复数和向量对应之后，除了利用实部与虚部来给定一个复数以外，一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角y xOxy定义设 z是一个不为 0 的复数，(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为还可以借助向量的长度与方向来给(2) 向量 z 的“方向角” 称为复数 z 的辐角，记为P5 定一个复数。一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角xy+- 两点说明(1) 辐角是多值的，(2) 辐角的符号约定为：逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差其中 k 为整数。例如对于复数则有复数 0 的模为 0，辐角无意义

6、。注 由此就有如下关系：一、复数的几何表示2. 复数的模与辐角主辐角对于给定的复数 设有 满足：且则称 为复数 z 的主辐角，记作解xy(1) 已知实部与虚部，求模与主辐角。一、复数的几何表示3. 相互转换关系y xOxyP7 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。一、复数的几何表示3. 相互转换关系(2) 已知模与辐角，求实部与虚部。 由此引出复数的三角表示式。y xOxy二、复数的三角表示和指数表示1. 复数的三角表示称 为复数 z 的三角表示式。y xOxy 如图，有定义设复数 r 是 z 的模，是 z 的任意一个辐角，由P9 二、复数的三角表示和指数表示2. 复数的指数表示 利用欧拉公式

7、 得称 为复数 z 的指数表示式。定义设复数 r 是 z 的模，是 z 的任意一个辐角，但习惯上一般取为主辐角。在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，注解xy复数 的三角表示式为复数 的指数表示式为二、复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算设乘法即 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；二、复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算设除法(在集合意义下) 两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；即例计算解由有附一些“简单”复数的指数形式解由有P11 例1.5 修改 复数 z 的乘幂，设 z 是给定的复数

8、， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为定义三、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂设则法则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。即记为P12 三、复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂由以及复数的三角表示式可得在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式： 棣莫弗(De Moivre)公式 进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。例此外，显然有 由此引出方根的概念。复数 w ，三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根称为把复数 开 n 次方，或者称为求复数 的 复数求方根是复数乘幂的逆运算。设 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 的定义n 次方根，记作 或 复数 的 n

9、次方根一般是多值的。P13 三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。设推导即得 正实数的算术根。由有法则三、复数的乘幂与方根2. 复数的方根描述在复平面上， 这 n 个根均匀地为半径的圆周上。根的辐角是分布在一个以原点为中心、以其中一个方法 直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根。例求解具体为：例求解方程解具体为：四、几个关系(1)(2)(3)P6 P8 P6 证 利用复数与向量的关系，可以证明一些几何问题。ABC比如，上例证明的结论可描述为：三角形的两边之和大于等于第三边。P8 1.3 平面点集的一般概念一、平面点集二、区域三、平面曲

10、线一、平面点集1. 邻域设 为复平面上的一点，定义dz0dz0(1) 称点集 为 点的 邻域；(2) 称点集 为 点的 去心邻域。内点一、平面点集2. 内点、外点与边界点(1)内点外点边界点考虑某平面点集 G 以及某一点 ，(2)有外点(1)(2)有边界点(1)不一定属于 G ；在 中，(2)既有又有边界G 的边界点的全体称为 G 的边界。3. 开集与闭集开集如果 G 的每个点都是它的内点，则称 G 为开集。一、平面点集闭集如果 G 的边界点全部都属于 G ，则称 G 为闭集。4. 有界集与无界集定义若存在 ，使得点集 G 包含在原点的 邻域内，则 G 称为有界集，否则称为非有界集或无界集。二

11、、区域1. 区域与闭区域区域平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件:(1) D 是一个开集；(2) D是连通的，闭区域区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。不连通的一条折线连接起来。即 D 中任何两点都可以用完全属于 D连通二、区域2. 有界区域与无界区域(顾名思义)3. 内区域与外区域定义一条“简单闭曲线(?)”把整个复平面分成两个区域，其中有界的一个称为该简单闭曲线的内部(内区域)，称为该简单闭曲线的外部(外区域)。4. 单连通域与多连通域定义设 D 为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内部仍属于 D，则 D 称为单连通域， 多连通域又可具体分为二连域、三

12、连域、 。另一个否则称为多连通域。A(二连域)(三连域)二、区域4. 单连通域与多连通域A (单连域)B (单连域)B (非区域)举例区域1- 2 + i闭区域(角形)区域三、平面曲线1. 方程式 在直角平面上 在复平面上 如何相互转换？(比较熟悉)(比较陌生)(1)(2)(建立方程)(理解方程)i- i(1)i- i(2)2i- 2(3)1- 12- 2(4)1- 1(5)三、平面曲线2. 参数式 在直角平面上 在复平面上例如考察以原点为圆心、以 R 为半径的圆周的方程。(2) 在复平面上(1) 在直角平面上例1：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Z平面上以 Z0为中心、R为半径的圆

13、周方程为连接z1 和z2两点的线段的参数方程为过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为二、平面曲线3. 曲线的分类考虑曲线简单曲线当 时，简单闭曲线简单曲线且光滑曲线在区间 上，和 连续且连续的简单闭曲线称为Jordan曲线.连续曲线连续。约当定理 任何Jordan曲线C将平面分为两个区域, 即内部区域(有界)与外部区域(无界), C是它们的公共边界. 内部外部边界二、平面曲线3. 曲线的分类简单、不闭简单、闭不简单、闭不简单、不闭三、平面曲线4. 有向曲线定义设 C 为平面上一条给定的光滑(或分段光滑)曲线，指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向，则 C 为带有方向的曲线，称为有向曲线，仍

14、记为 C。代表与 C 的方向相反(即 C 的负方向)的曲线。如果相应地， 则逆时针方向。区域区域三、平面曲线4. 有向曲线 简单闭曲线的正向一般约定为：当曲线上的点 P 顺此方向沿曲线前进时, 区域边界曲线的正向一般约定为：当边界上的点 P 顺此方向沿边界前进时,曲线所围成的有界区域始终位于 P 点的左边。所考察的区域始终位于 P 点的左边。注意区域可以是多连域。曲线1.4 无穷大与无穷远点、复球面一、无穷大二、无穷远点、复球面(2)(3) 法则(1)无意义。无意义。 实部虚部是多少?问题 模与辐角是多少? 在复平面上对应到哪一点？一、无穷大二、无穷远点1. 无穷远点的概念定义在“复平面”上一

15、个与复数 对应的“理想”点，称为无穷远点。 事实上，在通常的复平面上并不存在这样的点，因此只能说它是一个“理想”点。 那么，这个“理想”点到底在哪里呢？下面就来看看黎曼(Riemnann)给出的解释。二、无穷远点2. 复球面 如图，其中，N 为北极，S 为南极。这样的球面称作复球面。 对复平面上的任一点 用 球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点一一对应，直线将 点与 N 点相连，与球面相交于 点。p 球面上的 N 点本身则对应到了“复平面”上的无穷远点。注显然，复数 不能写成 或者 。某球面与复平面相切， 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们

16、用球面上的点来表示复数. 球面上的北极N不能对应复平面上的定点,当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的复数的模越大.二、无穷远点3. 扩充复平面(2) 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面，或者简称为复平面。(1) 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面；定义M二、无穷远点4. 无穷远点的邻域设实数 M 0，定义(1) 包括无穷远点在内且满足 的所有点的集合，称为无穷远点的邻域。(2) 不包括无穷远点在内且满足 的所有点的集合，称为无穷远点的去心邻域，也可记为1.5 复变函数一、基本概念二、图形表示三、极限四、连续一、基本概念 在以后的讨论中，D 常常是一个平面区域，称之为定义域。按照一

17、定法则，有确定的复数 w 与它对应，一般情形下，所讨论的“函数”都是指单值函数。上定义一个复变函数，记作定义设 D 是复平面上的一个点集，对于 D 中任意的一点 ，z对每个 有唯一的 w 与它对应； 单值函数比如 多值函数对每个 有多个 w 与它对应；比如则称在 D一、基本概念 一个复变函数对应于两个二元实变函数。分析则 可以写成设 其中， 与 为实值二元函数。分开上式的实部与虚部得到分开实部与虚部即得代入 得解记 P21 例1.13 GG二、图形表示C映射复变函数 在几何上被看作是把 z 平面上的一个平面z平面w点集 变到 w 平面上的一个点集 的映射(或者变换)。其中，点集 称为像，点集

18、称为原像。 函数、映射以及变换可视为同一个概念。(分析)(几何)(代数)DzxywuvGG*二、图形表示C平面z平面wGzxywuv在几何上， w=f(z)可以看作： 定义域函数值集合二、图形表示反函数与逆映射双方单值与一一映射为 w 平面上的点集 G，设函数 的定义域为 z 平面上的点集 D，值域的一个(或几个)点 z，一个函数它称为函数 的反函数，也称为映射 的逆映射。若映射 与它的逆映射 都是单值的，则称映射 是双方单值的或者一一映射。则 G 中的每个点 w 必将对应着 D 中按照函数的定义，在 G 上就确定了三、极限定义设函数 在 的去心邻域 内有定义 ,若存在复数使得当 时，有记作或注(1) 函数 在 点可以无定义；(2) 趋向于 的方式是任意的。则称 A 为函数 当 z 趋向于 z0 时的极限， P23定义 1.1 xyz0d几何意义三、极限它的像点 就落在 A 的预先给定的 e 邻域内。uvAe 当变点 一旦进入 的充分小的 d 邻域时,z0zf (z)z即形式和一元相同，本质和二元相同。注2： A是复数.极限计算的定理定理2.1注3： 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.注1: 定义中zz0的方式是任意的.极限计算的定理定理2.1说明三、极限性质如果则三、极限例 试求方法一由定理2.