2017年秋季班数学-直线与圆锥曲线综合问题

1、2017年秋季班数学直线与圆锥曲线综合1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的交点个数是()A至多为1B2 C1 D02直线yeq f(b,a)x3与双曲线eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的交点个数是()A1 B2 C1或2 D03已知椭圆C的方程为eq f(x2,16)eq f(y2,m2)1(m0)，如果直线yeq f(r(2),2)x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2eq r(2) C8 D2eq r(3)4(2017丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆eq

2、 f(x2,4)y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.eq f(4r(5),5) C.eq f(4r(10),5) D.eq f(8r(10),5)5过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x2的距离之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在6(2017大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆eq f(x2,5)eq f(y2,4)1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_7(2017安顺月考)在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点M，N的坐标分别为_8(2017江苏盐城模拟)设椭圆eq f(

3、x2,m2)eq f(y2,n2)1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为eq f(1,2)，则此椭圆的短轴长为_9设F1，F2分别是椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程10(2017山西山大附中模拟)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形(1)求椭圆方程；(

4、2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P，证明：eq o(OM,sup6()eq o(OP,sup6()为定值11(2017大连双基测试)过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线准线交于点A，且|AF|6，eq o(AF,sup6()2eq o(FB,sup6()，则|BC|等于()A.eq f(9,2) B6 C.eq f(13,2) D812(2017绵阳中学月考)已知抛物线E：y22px(p0)经过圆F：x2y22x4y40的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为_13(2017西安中学模拟)如图，过抛物线

5、yeq f(1,4)x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，C，D四点，则eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()_14设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为eq r(3)，那么|PF|_15(2017湖北八校4月联考)已知抛物线x22py上点P处的切线方程为xy10.(1)求抛物线的方程；(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1y2且y1y24，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求ABC面积的最大值1(2016四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p

6、0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.eq f(r(3),3)B.eq f(2,3) C.eq f(r(2),2) D12(2017台州模拟)已知P为双曲线C：eq f(x2,9)eq f(y2,16)1上的点，点M满足|eq o(OM,sup6()|1，且eq o(OM,sup6()eq o(PM,sup6()0，则当|eq o(PM,sup6()|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.eq f(9,5) B.eq f(12,5) C4 D53(2017江西南昌调研)已知圆O1：(x2)2y216和圆O2：x2y2r2(0r2

7、)，动圆M与圆O1，圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2(e1e2)，则e12e2的最小值是()A.eq f(32r(2),4) B.eq f(3,2) C.eq r(2) D.eq f(3,8)4(2017绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,8)1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最小值为_5(2017浙江温州一模)已知斜率为eq f(1,2)的直线l与抛物线y22px(p0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的

8、取值范围是_6(2016赣江模拟)如图所示，设F(c，0)是椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦点，直线l：xeq f(a2,c)与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B.证明：AFMBFN；求ABF面积的最大值7已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若eeq f(r(3),2)，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，若eq o(AF2,sup6()eq o(BF2,sup6

9、()0，且eq f(r(2),2)eeq f(r(3),2)，求k的取值范围8(2017威海模拟)已知圆x2y21过椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1相交于A，B两点记eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，且eq f(2,3)eq f(3,4).(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围9(2017湖北黄冈模拟)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)与双曲线eq f

10、(x2,3)y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围1(2017衡水模拟)已知F1，F2为椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，EFF1的周长为8，且椭圆C与圆x2y23相切(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k，求证：kk为定值2(2015四川

11、雅安重点中学1月月考)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过点Seq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3(2017河南郑州二模)已知曲线C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲线C过Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)，f(r(2),2)，Beq blc(rc)(a

12、vs4alco1(f(r(6),6)，f(r(3),3)两点，O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上的两点，且OMON，求证：直线MN恒与一个定圆相切4(2017河南洛阳模拟)设M是焦距为2的椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2eq f(1,2).(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上点N(x0，y0)处的切线方程为eq f(x0 x,a2)eq f(y0y,b2)1.若点P是

13、直线x2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点的坐标5(2017湖北黄冈二模)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：eq f(x2,2)y21的两个焦点，椭圆C2：eq f(x2,2)y2经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k.(1)求证：kk为定值；(2)求|AB|CD|的最大值6(2016豫北名校4月联考)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的离心率为eq f(r(6),3)，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长

14、为半径的圆与直线2xeq r(2)y60相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问在x轴上是否存在定点E，使得eq o(EA,sup6()2eq o(EA,sup6()eq o(AB,sup6()为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由2017年秋季班数学直线与圆锥曲线综合1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的交点个数是()A至多为1B2 C1 D0【解析】 由题意知：eq f(4,r(m2n2)2，即eq r(m2n2)5.满足题意的直线

15、不存在【答案】 D6(2017大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆eq f(x2,5)eq f(y2,4)1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_【解析】 由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y2(x1)由方程组eq blc(avs4alco1(y2（x1），,f(x2,5)f(y2,4)1)消去y，整理得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2eq f(5,3)，x1x20.则|AB|eq r(（x1x2）2（y1y2）2)eq r(（1k2）（x1x2）24x1x2) eq r(（122）blcrc(av

16、s4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(5,3)sup12(2)40)eq f(5r(5),3).【答案】 eq f(5r(5),3)7(2017安顺月考)在抛物线yx2上关于直线yx3对称的两点M，N的坐标分别为_【解析】 设直线MN的方程为yxb，代入yx2中，整理得x2xb0，令14b0，beq f(1,4).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x21，eq f(y1y2,2)eq f(x1x2,2)beq f(1,2)b，由eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)b)在直线yx3上，即eq f(1,2)beq f(1,2)3，解得b2

17、，联立得eq blc(avs4alco1(yx2，,yx2，)解得eq blc(avs4alco1(x12，,y14，)eq blc(avs4alco1(x21，,y21.)【答案】 (2，4)，(1，1)8(2017江苏盐城模拟)设椭圆eq f(x2,m2)eq f(y2,n2)1(m0，n0)的右焦点与抛物线y28x的焦点相同，离心率为eq f(1,2)，则此椭圆的短轴长为_【解析】 由题意可得，抛物线y28x的焦点为(2，0)，c2.椭圆的离心率为eq f(1,2)，a4，beq r(a2c2)2eq r(3)，即n2eq r(3)，椭圆的短轴长为4eq r(3).【答案】 4eq r(

18、3)9设F1，F2分别是椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求E的离心率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程【解析】 (1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|eq f(4,3)a，l的方程为yxc，其中ceq r(a2b2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组eq blc(avs4alco1(yxc，,f(x2,a2)f(y2,b2)1，)消去y，化简得(a2b

19、2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2eq f(2a2c,a2b2)，x1x2eq f(a2（c2b2）,a2b2).因为直线AB的斜率为1，所以|AB|eq r(2)|x2x1|eq r(2（x1x2）24x1x2)，即eq f(4,3)aeq f(4ab2,a2b2)，故a22b2，所以E的离心率eeq f(c,a)eq f(r(a2b2),a)eq f(r(2),2).(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0eq f(x1x2,2)eq f(a2c,a2b2)eq f(2c,3)，y0 x0ceq f(c,3).由|PA|PB|，得kPN1，即eq f(y01,x0

20、)1，得c3，从而a3eq r(2)，b3.故椭圆E的方程为eq f(x2,18)eq f(y2,9)1.10(2017山西山大附中模拟)已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形(1)求椭圆方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P，证明：eq o(OM,sup6()eq o(OP,sup6()为定值【解析】 (1)由题意知a2，bc，a2b2c2，b22.椭圆方程为eq f(x2,4)eq f(y2,2)1.(2)证明 由题意知C(

21、2，0)，D(2，0)，设M(2，y0)，P(x1，y1)，则eq o(OP,sup6()(x1，y1)，eq o(OM,sup6()(2，y0)直线CM：eq f(x2,4)eq f(yy0,y0)，即yeq f(y0,4)xeq f(1,2)y0.代入椭圆x22y24，得eq blc(rc)(avs4alco1(1f(yeq oal(2,0),8)x2eq f(1,2)yeq oal(2,0)xeq f(1,2)yeq oal(2,0)40.x1(2)eq f(4（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2,0)8)，x1eq f(2（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2

22、,0)8)，y1eq f(8y0,yeq oal(2,0)8).eq o(OP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2,0)8)，f(8y0,yeq oal(2,0)8).eq o(OP,sup6()eq o(OM,sup6()eq f(4（yeq oal(2,0)8）,yeq oal(2,0)8)eq f(8yeq oal(2,0),yeq oal(2,0)8)eq f(4yeq oal(2,0)32,yeq oal(2,0)8)4(定值)11(2017大连双基测试)过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B

23、，C两点，l与抛物线准线交于点A，且|AF|6，eq o(AF,sup6()2eq o(FB,sup6()，则|BC|等于()A.eq f(9,2) B6 C.eq f(13,2) D8【解析】 不妨设直线l的倾斜角为，其中0eq f(,2)，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，则点B在x轴的上方，过点B作该抛物线的准线的垂线，垂足为B1，于是有|BF|BB1|3，eq f(|AF|,|AB|)eq f(p,|BB1|)，由此得p2，抛物线方程是y24x，焦点F(1，0)，cos eq f(p,|AF|)eq f(p,6)eq f(2,6)eq f(1,3)，sin eq r(1cos2)e

24、q f(2r(2),3)，tan eq f(sin ,cos )2eq r(2)，直线l：y2eq r(2)(x1)由eq blc(avs4alco1(y2r(2)（x1），,y24x)消去y，得2x25x20，x1x2eq f(5,2)，|BC|x1x2peq f(5,2)2eq f(9,2)，选A.【答案】 A12(2017绵阳中学月考)已知抛物线E：y22px(p0)经过圆F：x2y22x4y40的圆心，则抛物线E的准线与圆F相交所得的弦长为_【解析】 圆的标准方程为(x1)2(y2)232，圆心为F(1，2)代入抛物线方程可得p2，所以其准线方程为x1.圆心到直线x1的距离d2，所以抛

25、物线E的准线与圆F相交所得的弦长为2eq r(3222)2eq r(5).【答案】 2eq r(5)13(2017西安中学模拟)如图，过抛物线yeq f(1,4)x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，C，D四点，则eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()_【解析】 不妨设直线AB的方程为y1，联立eq blc(avs4alco1(y1，,yf(1,4)x2，)解得x2，则A(2，1)，D(2，1)，因为B(1，1)，C(1，1)，所以eq o(AB,sup6()(1，0)，eq o(DC,sup6()(1，0)，所以eq o(AB,sup6()eq o(D

26、C,sup6()1.【答案】 114设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为eq r(3)，那么|PF|_【解析】 直线AF的方程为yeq r(3)(x2)，联立eq blc(avs4alco1(yr(3)x2r(3)，,x2，)得y4eq r(3)，所以P(6，4eq r(3)由抛物线的性质可知|PF|628.【答案】 815(2017湖北八校4月联考)已知抛物线x22py上点P处的切线方程为xy10.(1)求抛物线的方程；(2)设A(x1，y1)和B(x2，y2)为抛物线上的两个动点，其中y1y2且y1y24，线段AB的垂直平分线l与y轴

27、交于点C，求ABC面积的最大值【解析】 (1)设点Peq blc(rc)(avs4alco1(x0，f(xeq oal(2,0),2p)，由x22py得yeq f(x2,2p)，则yeq f(x,p)，因为点P处的切线的斜率为1，所以eq f(x0,p)1且x0eq f(xeq oal(2,0),2p)10，解得p2，所以抛物线的方程为x24y.(2)设线段AB的中点为M(x0，2)，则x0eq f(x1x2,2)，kABeq f(y2y1,x2x1)eq f(f(xeq oal(2,2),4)f(xeq oal(2,1),4),x2x1)eq f(1,4)(x1x2)eq f(x0,2)，直

28、线l的方程为y2eq f(2,x0)(xx0)，即2xx0(4y)0，l过定点(0，4)，即C(0，4)直线AB的方程为y2eq f(x0,2)(xx0)由eq blc(avs4alco1(y2f(x0,2)（xx0），,x24y)x22x0 x2xeq oal(2,0)80，则4xeq oal(2,0)4(2xeq oal(2,0)8)02eq r(2)x02eq r(2)，x1x22x0，x1x22xeq oal(2,0)8，则|AB| eq r(1f(xeq oal(2,0),4)|x1x2| eq r(blc(rc)(avs4alco1(1f(xeq oal(2,0),4)（324xe

29、q oal(2,0)）)eq r(（4xeq oal(2,0)）（8xeq oal(2,0)）)，C(0，4)到AB的距离d|CM|eq r(xeq oal(2,0)4)，SABCeq f(1,2)|AB|deq f(1,2) eq r(（4xeq oal(2,0)）2（8xeq oal(2,0)）)eq f(1,2) eq r(f(1,2)（xeq oal(2,0)4）（xeq oal(2,0)4）（162xeq oal(2,0)）)eq f(1,2) eq r(f(1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(24,3)sup12(3)8，当且仅当xeq oal(2,0)4162xeq

30、oal(2,0)，即x02时取等号，SABC的最大值为8.1(2016四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.eq f(r(3),3)B.eq f(2,3) C.eq f(r(2),2) D1【解析】 M在线段PF上，且|PM|2|MF|，eq o(PM,sup6()2eq o(MF,sup6().设P(x0，y0)，得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(x0p,3)，f(y0,3).P(x0，y0)在抛物线y22px上，x0eq f(yeq oal(2,0),2p)，由题

31、可得y00时，OM的斜率不是最大值，故y00，故kOMeq f(y0,x0p)eq f(y0,f(yeq oal(2,0),2p)p)eq f(1,f(y0,2p)f(p,y0)eq f(r(2),2)，当且仅当eq f(p,y0)eq f(y0,2p)即y0eq r(2)p时“”成立故选C.【答案】 C2(2017台州模拟)已知P为双曲线C：eq f(x2,9)eq f(y2,16)1上的点，点M满足|eq o(OM,sup6()|1，且eq o(OM,sup6()eq o(PM,sup6()0，则当|eq o(PM,sup6()|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.eq f(

32、9,5) B.eq f(12,5) C4 D5【解析】 由eq o(OM,sup6()eq o(PM,sup6()0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(3，0)，而双曲线的渐近线为4x3y0，所求的距离deq f(12,5)，故选B.【答案】 B3(2017江西南昌调研)已知圆O1：(x2)2y216和圆O2：x2y2r2(0r2)，动圆M与圆O1，圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2(e1e2)，则e12e2的最小值是()A.eq f(32r(2),4) B.eq

33、 f(3,2) C.eq r(2) D.eq f(3,8)【解析】 当动圆M与圆O1，O2都相内切时，|MO2|MO1|4r2a，故e1eq f(2,4r).当动圆M与圆O1相内切而与圆O2相外切时，|MO1|MO2|4r2a，故e2eq f(2,4r).因此e12e2eq f(2,4r)eq f(4,4r)eq f(242r,16r2)，令12rt(10t12)，e12e22eq f(1,24tf(128,t)2eq f(1,2416r(2)eq f(1,128r(2)eq f(32r(2),4)，故选A.【答案】 A4(2017绵阳模拟)若点O和点F分别为椭圆eq f(x2,9)eq f(

34、y2,8)1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最小值为_【解析】 点P为椭圆eq f(x2,9)eq f(y2,8)1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2eq r(2)y2eq r(2)，依题意得左焦点F(1，0)，eq o(OP,sup6()(x，y)，eq o(FP,sup6()(x1，y)，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()x(x1)y2x2xeq f(728x2,9)eq f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(23,4).3x3，eq

35、f(3,2)xeq f(9,2)eq f(15,2)，eq f(9,4)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(225,4)，eq f(1,4)eq f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(225,36)，6eq f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)eq sup12(2)eq f(23,4)12，即6eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()12.故最小值为6.【答案】 65(2017浙江温州一模)已知斜率为eq f(1,2)的直线l与抛物线

36、y22px(p0)交于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1k2的取值范围是_【解析】 设直线l的方程为yeq f(1,2)xb(b0)，即x2y2b，代入抛物线方程y22px，可得y24py4pb0，16p216pb0，pb.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24p，y1y24pb，k1k2eq f(y1,x1)eq f(y2,x2)eq f(2p,y1)eq f(2p,y2)eq f(2p（y1y2）,y1y2)eq f(2p,b)2.【答案】 (2，)6(2016赣江模拟)如图所示，设F(c，0)是椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b

37、2)1(ab0)的左焦点，直线l：xeq f(a2,c)与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B.证明：AFMBFN；求ABF面积的最大值【解析】 (1)|MN|8，a4，又|PM|2|MF|，eeq f(1,2).c2，b2a2c212.椭圆的标准方程为eq f(x2,16)eq f(y2,12)1.(2)证明 当AB的斜率为0时，显然AFMBFN0，满足题意；当AB的斜率不为0时，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的方程为xmy8，代入椭圆方程整理得(3m24)y248my144

38、0.576(m24)0，得m24，yAyBeq f(48m,3m24)，yAyBeq f(144,3m24).则kAFkBFeq f(yA,xA2)eq f(yB,xB2)eq f(yA,myA6)eq f(yB,myB6)eq f(yA（myB6）yB（myA6）,（myA6）（myB6）)eq f(2myAyB6（yAyB）,（myA6）（myB6）)，而2myAyB6(yAyB)2meq f(144,3m24)6eq f(48m,3m24)0，kAFkBF0，AFMBFN.综上可知，AFMBFN.SABFSBFPSAFPeq f(1,2)|PF|yByA|eq f(72r(m24),3m

39、24)，即SABFeq f(72r(m24),3（m24）16)eq f(72,3r(m24)f(16,r(m24)eq f(72,2r(316)3eq r(3)，当且仅当3eq r(m24)eq f(16,r(m24)，即meq f(2r(21),3)时(此时适合于0的条件)取到等号ABF面积的最大值是3eq r(3).7已知椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.(1)若eeq f(r(3),2)，求椭圆的方程；(2)设直线ykx与椭圆相交于A，B两点，若eq o(AF2,sup6()eq o(BF2,sup6()0，且eq f(r

40、(2),2)eeq f(r(3),2)，求k的取值范围【解析】 (1)由焦点F2(3，0)，知c3，又eeq f(r(3),2)eq f(c,a)，所以a2eq r(3).又由a2b2c2，解得b23.所以椭圆的方程为eq f(x2,12)eq f(y2,3)1.(2)由eq blc(avs4alco1(ykx，,f(x2,a2)f(y2,b2)1，)得(b2a2k2)x2a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知，x1x20，x1x2eq f(a2b2,b2a2k2).又eq o(AF2,sup6()(3x1，y1)，eq o(BF2,sup6()(3x2，y2)

41、，所以eq o(AF2,sup6()eq o(BF2,sup6()(3x1)(3x2)y1y2(1k2)x1x290，即eq f(a2（a29）（1k2）,a2k2（a29）)90，整理得k2eq f(a418a281,a418a2)1eq f(81,a418a2).由eq f(r(2),2)eeq f(r(3),2)及c3，知2eq r(3)a3eq r(2)，12a218.所以a418a2(a29)28172，0)，所以k2eq f(1,8)，则keq f(r(2),4)或keq f(r(2),4)，因此实数k的取值范围为eq blc(rc(avs4alco1(，f(r(2),4)eq b

42、lcrc)(avs4alco1(f(r(2),4)，).8(2017威海模拟)已知圆x2y21过椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：ykxm与圆x2y21相切，与椭圆eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1相交于A，B两点记eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，且eq f(2,3)eq f(3,4).(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求OAB的面积S的取值范围【解析】 (1)由题意知2c2，所以c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b1，故aeq r(2)，所以所求椭圆方程为eq f

43、(x2,2)y21.(2)因为直线l：ykxm与圆x2y21相切，所以原点O到直线l的距离为eq f(|m|,r(12k2)1，即m2k21.由eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,2)y21)得(12k2)x24kmx2m220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2eq f(4km,12k2)，x1x2eq f(2m22,12k2).eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2eq f(k21,12k2)，由eq f(2,3)eq f(3,4)，得eq f(1,2)k21，即k的取值范围是eq b

44、lcrc(avs4alco1(1，f(r(2),2)eq blcrc(avs4alco1(f(r(2),2)，1).(3)|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(1k2)(x1x2)24x1x22eq f(2,（2k21）2)，由eq f(1,2)k21，得eq f(r(6),2)|AB|eq f(4,3).设OAB的AB边上的高为d，则Seq f(1,2)|AB|deq f(1,2)|AB|，所以eq f(r(6),4)Seq f(2,3).即OAB的面积S的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(f(r(6),4)，f(2,3).9(2017湖北黄冈模拟)已知椭圆C：eq f(x2

45、,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)与双曲线eq f(x2,3)y21的离心率互为倒数，且直线xy20经过椭圆的右顶点(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求OMN面积的取值范围【解析】 (1)双曲线的离心率为eq f(2r(3),3)，椭圆的离心率eeq f(c,a)eq f(r(3),2).又直线xy20经过椭圆的右顶点，右顶点为(2，0)，即a2，ceq r(3)，b1，椭圆C的标准方程为eq f(x2,4)y21.(2)由题意可设直线的方程为ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

46、联立eq blc(avs4alco1(ykxm，,f(x2,4)y21，)消去y并整理，得(14k2)x28kmx4(m21)0，则x1x2eq f(8km,14k2)，x1x2eq f(4（m21）,14k2)，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故eq f(y1,x1)eq f(y2,x2)eq f(k2x1x2km（x1x2）m2,x1x2)k2eq f(8k2m2,14k2)m20，由m0，得k2eq f(1,4)keq f(1,2).又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m2

47、2，显然m21(否则x1x20，则x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)设原点O到直线MN的距离为d，则SOMNeq f(1,2)|MN|deq f(|m|,2r(1k2) eq r(1k2)|x1x2|eq f(1,2)|m| eq r(（x1x2）24x1x2) eq r(（m21）21).由0m22，且m21，得OMN面积的取值范围为(0，1)1(2017衡水模拟)已知F1，F2为椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦点，过椭圆右焦点F2且斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于E，F两点，EFF1的周长为8，且椭

48、圆C与圆x2y23相切(1)求椭圆C的方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线x4于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k，求证：kk为定值【解析】 (1)因为EFF1的周长为8，所以4a8，所以a24，又椭圆C与圆x2y23相切，故b23，所以椭圆C的方程为eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)证明 由题意知过点F2(1，0)的直线l的方程为yk(x1)，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，将直线l的方程yk(x1)代入椭圆C的方程eq f(x2,4)eq f(y2,3)1，整理得(4k23)x28k2x4k2120，64k44(4k23)(4k2

49、12)0恒成立，且x1x2eq f(8k2,4k23)，x1x2eq f(4k212,4k23).直线AE的方程为yeq f(y1,x12)(x2)，令x4，得点Meq blc(rc)(avs4alco1(4，f(2y1,x12)，直线AF的方程为yeq f(y2,x22)(x2)令x4，得点Neq blc(rc)(avs4alco1(4，f(2y2,x22)，所以点P的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(4，f(y1,x12)f(y2,x22).所以直线PF2的斜率为keq f(f(y1,x12)f(y2,x22)0,41)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco

50、1(f(y1,x12)f(y2,x22)eq f(1,3)eq f(y2x1x2y12（y1y2）,x1x22（x1x2）4)eq f(1,3)eq f(2kx1x23k（x1x2）4k,x1x22（x1x2）4)，将x1x2eq f(8k2,4k23)，x1x2eq f(4k212,4k23)代入上式得：keq f(1,3)eq f(2kf(4k212,4k23)3kf(8k2,4k23)4k,f(4k212,4k23)2f(8k2,4k23)4)eq f(1,k)，所以kk为定值1.2(2015四川雅安重点中学1月月考)已知椭圆C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的

51、两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形(1)求椭圆的方程；(2)过点Seq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,3)的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1)椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，bc，又斜边长为2，即2c2，故cb1，aeq r(2)，椭圆方程为eq f(x2,2)y21.(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(1,3)eq su

52、p12(2)eq f(16,9)；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y21.由eq blc(avs4alco1(x2blc(rc)(avs4alco1(yf(1,3)sup12(2)f(16,9)，,x2y21，)得eq blc(avs4alco1(x0，,y1，)故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1)下面证明Q(0，1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明若直线l的斜率存在，设直线l：ykxeq f(1,3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq blc(avs4alco1(ykxf(1,3)，,x22y220，)得(918k2)x212kx160，144

53、k264(918k2)0，x1x2eq f(12k,18k29)，x1x2eq f(16,18k29)，eq o(QA,sup6()(x1，y11)，eq o(QB,sup6()(x2，y21)，eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2eq f(4k,3)(x1x2)eq f(16,9)(1k2)eq f(16,918k2)eq f(4k,3)eq f(12k,918k2)eq f(16,9)0，eq o(QA,sup6()eq o(QB,sup6()，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1)3(2017河南郑州二模)已知曲线C的方

54、程是mx2ny21(m0，n0)，且曲线C过Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),4)，f(r(2),2)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),6)，f(r(3),3)两点，O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上的两点，且OMON，求证：直线MN恒与一个定圆相切【解析】 (1)由题意可得eq blc(avs4alco1(f(1,8)mf(1,2)n1，,f(1,6)mf(1,3)n1，)解得m4，n1.所以曲线C的方程为y24x21.(2)证明 由题意得yeq oal(2,1)4xeq oal(2,1)1

55、，yeq oal(2,2)4xeq oal(2,2)1，x1x2y1y20，原点O到直线MN的距离deq f(|OM|ON|,|MN|)eq f(r(（xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)）（xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)）),r(（x1x2）2（y1y2）2) eq r(f(（xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)）（xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)）,xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2) eq r(f(（13xeq oal(2,1)）（13xeq oal(2,2)）,23（x

56、eq oal(2,1)xeq oal(2,2)）) eq r(f(13（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）9xeq oal(2,1)xeq oal(2,2),23（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）).由x1x2y1y20得xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)yeq oal(2,1)yeq oal(2,2)(14xeq oal(2,1)(14xeq oal(2,2)14(xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)16xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)，所以xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)eq f(4,15)(xeq

57、 oal(2,1)xeq oal(2,2)eq f(1,15)，所以d eq r(f(3（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）f(12,5)（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）f(2,5),23（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）) eq r(f(f(2,5)f(3,5)（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）,23（xeq oal(2,1)xeq oal(2,2)）)eq f(r(5),5).所以直线MN恒与定圆x2y2eq f(1,5)相切4(2017河南洛阳模拟)设M是焦距为2的椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)

58、1(ab0)上一点，A，B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2eq f(1,2).(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上点N(x0，y0)处的切线方程为eq f(x0 x,a2)eq f(y0y,b2)1.若点P是直线x2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点的坐标【解析】 (1)设A(a，0)，B(a，0)，M(m，n)，则eq f(m2,a2)eq f(n2,b2)1，即n2b2eq f(a2m2,a2).由k1k2eq f(1,2)，即eq f(n,ma)eq f(n,ma)eq f(1,2)，故eq f(n2,m2a2)eq f(1,2)，则a22b2，又c2a2b21，解得a22，b21.所以椭圆E的方程为eq f(x2,2)y21.(2)证明 设点P(2，t)，切点C(x1，y1)，D(x2，y2)，则两切线PC，PD的方程分别为eq f(x1x,2)y1y1，eq f(x2x,2)y2y1.由于点P在切线PC，PD