固体物理第23次课(共12页)

1、第 23 次 课教学(jio xu)目的：掌握(zhngw)费密分布(fnb)函数的表达式； 理解费密能量的确定；了解电子热容量的推导；掌握电子热容量及意义；教学内容： 6.1费密统计和电子热容量重点难点：费密分布函数的表达式；费密能量；电子热容量及意义；费密能量的推导；电子热容量的推导 第六章 金属电子论 经典力学对金属中电子的处理 特鲁特洛伦兹金属电子论：金属体中的电子和分子气体一样，在一定温度下达到热平衡，电子气体可以用确定的平均速度和平均自由程来描述 不考虑电子与电子之间、电子与离子之间的相互作用 自由电子模型 应用经典力学和电子气体服从经典麦克斯韦一玻尔兹曼统计分布规律，对金属中的电

2、子进行计算，得到了关于金属的直流电导、金属电子的弛豫时间、平均自由程和金属电子的热容的结果。 1、 经典电子论的成就：解释金属的特征：电导、热导、温差电、电流磁输运等。 2、经典电子论的困难：关于固体热容量，按照经典统计法的能量均分定理，N个价电子组成的电子气体，有3N个自由度，对热容量的贡献为： 对大多数金属，实验上测得的热容量值只有理论值的1 3、量子力学对金属中电子的处理 索末菲在自由电子模型的基础上，考虑到电子在离子产生的平均势场下，电子在金属中的运动，应用量子理论和电子气体服从量子统计法的费密一狄拉克分布，计算了电子气体的热容量，解决了经典理论的困难。 6.1费密统计和电子热容量能带

3、理论 单电子近似，每一个电子的运动可以近似看作是独立的，具有一系列确定的本征态 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都在一个能带内 1 费密分布函数 电子气体(qt)服从泡利不相容原理和费米 狄拉克统计(tngj) 热平衡状态(zhungti)下，一个能量为E的本征态被电子占据的几率： 费米分布函数 就是能量为E的本征态上电子的数目，也就是平均占有数 是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能 电子的总数： 对所有的本征态求和 1) 温度大于绝对零度 温度T0的情况时： 说明在费米能级被电子填充和不被电子填充的几率相等当时：没有电子占据 2) 温度等于绝对零度

4、T=0， 电子填满小于费米能量的状态， 费米能量以上的状态全部空着 在较低温度时，费米分布函数在处发生很大变化 能量变化范围：，温度上升，能量变化范围变宽 但在任何情况下，该能量范围约为：，如图XCH006_001所示的为不同温度下电子费密分布函数示意图。 在空间(kngjin)，的等能面称为(chn wi)费米面，如图XCH006_002所示 2 费密能量(nngling)的确定电子按能量的统计分布 在之间状态数（量子态数）：状态密度在之间的电子数：金属中总的电子数：具体概述了电子按能量的统计分布规律 取决于费密统计分布函数和能态密度函数，如图XCH006_003所示。 （1）绝对温度T=0

5、时费米能级绝对零度：T =0 ：电子的能态密度 自由电子(z yu din z)的费密能量 金属中自由电子(z yu din z)的能态密度：，令和电子密度 T=0时费米(fi m)能量： 电子的平均能量（平均动能）： 绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 因为电子满足泡利不相容原理，每个状态上只能容许填充两个自旋相反的电子，这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。2）绝对温度T0时金属中电子费密能量 金属中总的电子数：引入函数： 能量E以下量子态的总数 分部积分 ， 费密分布(fnb)函数： 是的偶函数，且只在附近(fjn)有显著的值，具有函数(hnsh)的特点 如图XCH006_004

6、所示 可以将写成 因为只在附近有显著的值，因此也只考虑在费密能量附近的值 将在附近按泰勒级数展开 只保留到二次项 第一项1第二项是的偶函数 将代入，并引入积分(jfn)变数： 定积分(jfn)金属中电子(dinz)总数：令 T0 K 因此有： 对于一般温度：T=300K 一般温度下的和T=0K时的相差很小 将和在附近按泰勒级数展开只保留一级项 只保留零级项 得到(d do)： ， 绝对温度(juduwnd)T0时金属(jnsh)中电子费密能量：近自由电子 温度升高，费密能级下降 随温度升高而降低的定性解释费密分布函数： 如果，不随温度变化：温度TTK，电子填充状态的几率增大，电子填充状态的几率

7、减小，意味着费密分布函数在左右的增加和减小是对称的。 对于近自由电子近似，电子的能态密度，的电子数比以下稍多，意味着电子总数将有所增加 因此的降低就是在保持电子总数不变的前提下，维持费密分布函数在左右的对称分布，如图XCH006_005所示。 3 电子(dinz)热容量 金属中电子(dinz)总能量：引入函数(hnsh) 能量E以下的量子态被电子填满时的总能量 ， 与前面的讨论结果比较 在中，以 将代入 ，代入上式 T=0K下电子(dinz)总的能量 电子(dinz)的热激发能 热激发电子(dinz)的数目 每个电子获得的能量 总的激发能 电子热容量： 与经典计算结果比较，是很小的 对于近自由

8、电子 能态密度函数： 从和得到： 将代入得到： 与经典计算值相比： 一般温度， T=300K， 远远小于费密能量(nngling) 因此在一般(ybn)温度下： 量子理论计算得到的电子对热容(r rn)的贡献远远小于经典值，解释了测得的实验结果 量子理论计算表明，大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受到泡利原理的限制不能参与热激发，只有在附近约范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献。 在一般温度下，晶格振动的热容量要比电子的热容量大得多 在温度较高下，热容量基本是一个常数 在低温范围下 晶格振动的热容量按温度的3次方趋于零，而电子的热容量与温度1次方成正比，随温度下降变化比较缓慢，此时电

9、子的热容量可以和晶格振动的热容量相比较，不能忽略。如图XCH006_006所示。 研究金属热容量的意义 许多金属的基本(jbn)性质取决于能量在附近(fjn)的电子电子(dinz)的热容量与成正比 由电子的热容量可以获得费米面附近能态密度的信息 如一些过渡元素：Mn, Fe, Co和Ni具有较高的电子热容量，反映了它们在费米面附近具有较大的能态密度。 过渡元素的特征是d壳层电子填充不满，从能带理论来分析，有未被电子填充满的d能带。由于原子的d态是比较靠内的轨道，在形成晶体时相互重叠较小，因而产生较窄的能带，加上的轨道是5重简并的，所以形成的5个能带发生一定的重叠，使得d能带具有特别大的能态密度。过渡金属只是部分填充d能带。 费密能级位于d能带内，如图XCH006_007所示 重费密子系统 1975年发现金属化合物CeAl3在低温下电子比热系数 因为按照近自由电子近似(jn s)模型： 将代入得到(d do)能态密度： 电子比热系数(xsh)越大，相应的电子的有效质量越大 将的材料称为重费密子系统 已发现的八种重费密子