高等数学-极限与连续课件

1、第二章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvanced mathematics极限与连续

2、高等数学e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第二节 函数的极限定义与计算第三节

3、 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第一节 数列的极限定义与计算课 前 导 读3极限的概念是在求某些实际问题的精确解答而产生的. 有许多某些实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出的，而需要通过考察一个无限变化过程的变化趋势而得到, 由此产生了极限的理论与方法. 我们这一节要介绍数列极限的定义，怎样用定义来证明极限，以及数列极限的计算方法. 在正式介绍极限之前，需要回忆有关数列的相关知识.一、数列的概念. 数列的定义数列 : 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列， 其中 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或称为数列的一般项(通项).，;，;，;，;

4、（2）（1）（4）（3）一、数列的概念，;，;，;，;（2）（1）（4）（3）它们的一般项依次为，.一、 数列的概念在几何上，数列 可看作数轴上的一个动点， 如图2-1所示 ， 它依次取数轴上的点 ， ， ， ， x3x2x1x4x5x6xnx图2-1按函数的定义， 数列 可看作自变量为正整数 的函数， 即 ，它的定义域是全体正整数，当自变量 依次取 时，对应的函数值就排列成数列 .练习一、 数列的概念一、数列的概念2. 等差与等比数列一、数列的概念2. 等差与等比数列一、数列的概念2. 等差与等比数列练习一 、 数列的概念一、数列的概念例解二、数列极限的概念一尺之棰， 日取其半， 万世不竭.

5、庄子 天下篇一尺长的木棍， 每天截掉一半， 每天截取的长度按照天数可排成一个数列:. 数列极限的引入数列的通项为 ， 当 无限增大(记作 ， 读作 趋于无穷大)时， 在数学上称这个确定的数 0 是数列 当 时的极限. 无限接近一个确定的数0. () 给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？ 随着 的无限增大， 能否无限接近某个常数?() 如果能无限接近某个确定的数， 则该常数是多少?现在我们所关心的问题是:二、数列极限的概念 数列()的一般项 将无限接近于常数1. 可以看出，在前面所列的4 个数列中， 当 时， 数列()的一般项 将无限接近于常数0. 而数列()的一般项 却在无限增大， 它不接近

6、于任何确定的数值. 数列()的一般项 始终交替地取值为1 和-1， 不接近于任何确定的数值. 据此， 我们可以认为， 数列()和()是“有极限”的，而数列()和()是“无极限”的.，;，;，;，;（2）（1）（4）（3）二、数列极限的概念 从上述各例观察可以看到， 数列的一般项变化趋势有两种情况: 无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数. 这样就可以得到数列的描述性定义.如果当数列 的项数 无限增大时， n 它的一般项 无限接近于一个确定的常数 ，记作 或 则称 为数列 的极限. 此时也称数列 收敛于 ，例如， .二、数列极限的概念 如果当数列 的项数 无限增大时， 它的一般项 不接

7、近于任何确定的常数， 则称数列 没有极限，或称数列 发散， 习惯上记作 不存在. 例如， 不存在. 例如 . 当数列 的项数 无限增大时， 如果 也无限增大， 则数列 没有极限. 此时，习惯上也称数列 的极限是无穷大，记作 . ，二、数列极限的概念练习二、数列极限的概念在上述极限的描述性定义中， 我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限概念的. 为了给极限一个精确的定义， 关键是要给予“无限增大”和“无限接近”以定量的刻画.一般来说， 两个数 a、b 的接近程度可用 b - a 来度量. 我们以数列 为例.二、数列极限的概念考虑 ，显然， 越大， 就越“接近” 1 . 只要 足够大，就可

8、以小于任何给定的正数. 这时 ， ， 均能使不等式 成立. 如果要求 ， 即 ，只要 ， 这时 ， ，均能使不等式 成立. 同样，如果要求 ，即 ，只要 ，二、数列极限的概念这个数1 就是 的极限.一般地， 不论给定的正数 多么小，总存在一个正整数 ， 使得对于 时的一切 ，不等式 均成立， 这就是数列 当 时无限“接近”于1 的精确刻画，若在数轴上标出 ， ， ， ，及 ，下面给出“数列 的极限为 ”的几何解释.再作 的 邻域 (见图) ，就会发现， 当 时，点 均落在 内， 至多有有限个( 个)落在 外.a-2a+图二、数列极限的概念例2已知 ，证明 .证明二、数列极限的概念例2已知 ，证

9、明 .证明二、数列极限的概念练习二、数列极限的概念三、数列极限的计算 极限的定义只能用来验证极限， 而不能计算数列的极限， 所以下面给出数列极限的运算法则.定理(数列极限的运算法则)若 ， ，则 ；(加减法则)（1） ；(乘法法则)（2） ；(交换法则)（3） ；(除法法则)（4）三、数列极限的计算例3求下列函数的极限：（1）（3）（5）（2）（4）（6）三、数列极限的计算解() 将分子、分母同时除以 ， 则有（1）题三、数列极限的计算（2）利用等差数列求和公式， 可得解（2）题三、数列极限的计算解（3）（3）题利用数列的交换法则， 可得（4）三、数列极限的计算题（4）解三、数列极限的计算解（

10、5）（5）题先将分子有理化，再利用数列极限的运算法则， 可得三、数列极限的计算题（6）（6）解利用等比数列求和公式， 可得练习三、数列极限的计算四、 数列极限的性质定理2(极限的唯一性)数列 不能收敛于两个不同的极限.定理 3 ( 收敛数列的有界性 )如果数列 收敛， 则该数列一定有界.如果数列无界， 则其一定发散；数列 有界 ，但发散.如果数列有界， 则其未必收敛. 数列 有界是指存在 ， 使一切 满足 .四、 数列极限的性质定理 4( 收敛数列的保号性 ) 如果 且 (或 )， 则存在 ，当 时， 均有 (或 ).推论如果 满足： ，当 时， (或 )， 且 ， 则 (或 ).练习四、 数

11、列极限的性质e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第

12、三节 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第二节 函数的极限定义与计算课 前 导 读38 这一节介绍函数极限的定义. 在前一节， 我们探讨了数列的极限. 数列的通项可以看成一类特殊的函数 ， 本节将介绍自变量趋于无穷大（ ）和自变量趋于固定值 （ ）时的两种函数的极限. 那么数列极限就变成了 ，这里 . 如果我们把函数的定义域扩充到 ， 那么就变成了函数的极限 .一、自变量趋于无穷大时的极限自变量趋于无穷大，包括三种情况: 且 无限增大， 则记作 ； 且 无限增大，则记作 ；如果 既可以取正值， 又可以取负值且 无限增大， 则记作 . 我们先观察函数 ，和 的图像.对

13、于函数 的图像(见图2-2)，y1O1x(1,1)y=1xyxO1 无限增大时， 曲线无限接近于 x 轴，即 . 对于 函数的图像(见图2-3)，当 且 无限增大时， 曲线无限接近于直线 ， 而当 且 无限增大时， 曲线无限接近于直线 .图2-2图2-3一、自变量趋于无穷大时的极限 一般地， 我们假设函数 在 ( 为某一正数)时有定义， ，或 . 定义 如果在 过程中，对应的函数值 无限接近确定的常数 ， 则称 为函数 当 时的极限，也称函数 收敛于A. 记作一、自变量趋于无穷大时的极限 定义2 练习一、自变量趋于无穷大时的极限一、自变量趋于无穷大时的极限 定义3一、自变量趋于无穷大时的极限下

14、面看一下极限 的几何解释.对任意给定的 ， 作直线 及 ，总存在 ，当 时， 的图形必位于这两直线之间.-XoXxyA一、自变量趋于无穷大时的极限显然可以得到下面的结论.定理 且 .注一般地， 如果 或 ，同理， 不存在， 因为 .很容易看出， .直线 称为函数 图形的水平渐近线.直线 和 称为函数 图形的水平渐近线. 那么称直线 为函数 图形的水平渐近线.练习二、自变量趋于有限值时的极限我们先看两个实例， 再给出当 ( 为有限值)时函数极限的定义.x11O-12x1O-112图2-4图2-5二、自变量趋于有限值时的极限综上所述， 得到 时函数极限的定义.二、自变量趋于有限值时的极限综上所述，

15、 得到 时函数极限的定义.定义2或 .记作设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，则称 为函数在 时函数的极限，二、自变量趋于有限值时的极限的几何解释如下.任意给定一正数 ， 作平行于 轴的两直线: 及 . 存在 ，当 时，曲线 位于两条直线 及 之间.xOA函数极限的几何解释(趋于定点)例1解(1)当自变量趋于时,也趋于故(2)当自变量趋于时,取相同的值故二、自变量趋于有限值时的极限练习二、自变量趋于有限值时的极限二、自变量趋于有限值时的极限练习二、自变量趋于有限值时的极限二、自变量趋于有限值时的极限上述 中的“ ”是指 可以取 左侧的点( )而趋于 ， 也可以取 右侧的点( )而趋于 . 有

16、时我们只需考虑 从 的一侧(左侧或右侧)趋于 ， 这时就需要将上述情况分别讨论.如果 仅从 的左侧趋于 (记作 )时， 趋于 ， 则称 为 在 时的左极限，记作 .如果 仅从 的右侧趋于 (记作 )时， 趋于 ， 则称 为 在 时的右极限，记作 .显然有 .因此如果 、 中有一个不存在， 或两个虽存在但不相等， 则 不存在.二、自变量趋于有限值时的极限例如， 函数由于 ，yy=x-1y=x+1-1-111xO则 不存在（见图2-6所示）；图2-6，再比如， 不存在，因为.二、自变量趋于有限值时的极限例 2设求解因为即有所以不存在.二、自变量趋于有限值时的极限例3解设求是函数的分段点,故左右极限

17、存在且相等,故练习二、自变量趋于有限值时的极限三、函数极限的计算方法极限的定义只能用来验证函数的已知极限， 那么如何计算(求)函数的极限呢？要讨论极限的求法， 首先要建立相关的一些运算规则，比如极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等. 三、函数极限的计算方法定理 (函数极限的四则运算法则) 设 ， ，则（1） （2）（3）三、函数极限的计算方法推论若 ， 存在， 则上述极限中将“ ”改为“ ”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）（1）（2）（3）；若 ，则 .；三、函数极限的计算方法按照四则运算法则，计算下列极限.（1）（3）（2）例4解三、函数极限的计算方法注 （1）设 ，则三、函数极

18、限的计算方法（2）设 ，其中 、 为多项式，则练习三、函数极限的计算方法例 5求 .解 因为 ，即分母的极限为零， 所以不能直接应用极限运算法则. 我们先利用多项式的因式分解， 约去公因式后， 再利用函数极限的四则运算法则进行运算.三、函数极限的计算方法例6计算 解 因分母的极限为零， 要先对函数做必要的变形， 因分子中含有根式， 通常用根式有理化， 然后约去分子、分母中的公因子.练习三、函数极限的计算方法三、函数极限的计算方法定理(复合函数的极限运算法则) 设函数 是由函数 与 复合而成的， 在点 的去心邻域内有定义， 若 ， ，且存在 ，当 时，有 ， 则三、函数极限的计算方法例 7求极限

19、 .解记 ，由于 ，故.三、函数极限的计算方法例 8求极限 .由于 ，故 解记 ，三、函数极限的计算方法例 9求极限 .解一 解二故原式令则当 时，三、函数极限的计算方法例 10 () 求极限 ； （2）求极限 . 解 （1）当 时， 分母 的极限为零， 故不能直接应用商的极限运算法则.但若采取将分母有理化，即将分子与分母同时乘 ， 则得 （2）当 时， 分子与分母都没有极限，极限运算法则，故也不能直接应用商的极需先将分子、分母同时除以 .练习三、函数极限的计算方法例11 已知 , 求 之值.解 因故解得e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16b

20、fd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第二节 函数的极限定义与计算第四节 无穷小与无穷大第五节 函数的连续性及其性质第三节 两个重要极限课 前

21、 导 读78这一节介绍两个重要极限的计算方法. 在正式介绍极限之前，我们需要回忆一下三角函数的相关公式.半角公式：倍角公式：1一、第一重要极限观察正弦函数的图像， 可知当 时， ， 那么这两个函数的比值 的极限是否存在? 结果如何?-1一、第一重要极限一、第一重要极限（1） 我们由第一重要极限很容易得到下列结果(可以作为公式使用).；（2） （3） （4） （5） ；（当 时 ）；（当 时 ）；一、第一重要极限例1计算下列极限： （1） ； （2） ；解() 令 ，（3） ； 当 时， ，因此一、第一重要极限题 （2） ； ( 2 )解可得可以先变形为 ，再由 时 ，一、第一重要极限题 （3）

22、利用二倍角公式 可得 ( 3 )解练习二、第二重要极限二、第二重要极限二、第二重要极限当 时，由 及 ，令 ，则当 时， ，因此 则得二、第二重要极限我们还可以得到第二重要极限的另一种形式.利用代换 ，则当 时， ，于是有习惯上写作 性质 如果 ，那么 .二、第二重要极限例 2求下列函数的极限: （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） .二、第二重要极限解() 利用重要极限 求极限， 要注意函数指数中变量 与底数中变量 是相同的， 正负号也相同， 且自变量 （II）适当变形： 本题 ，底数中变量为 ，指数中变量是 ， 两者相差一个负号， 求解时， 可按下述两种方法之

23、一计算.（I）做变换：令 ，当 时， ，于是题() ；.二、第二重要极限（2）题 （2） ；题 （6） .题 （3） ；题 （4） ；题 （5） ； 解（3）解（4）解（5） 解（6）解练习二、第二重要极限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D

24、2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第二节 函数的极限定义与计算第三节 两个重要极限第五节 函数的连续性及其性质第四节 无穷小与无穷大 即任何一个极限存在的函数都可以转化为极限为零的函数. 课 前 导 读95如果 ，那么 ， 这一类极限为零的函数具有非常重要的性质， 所以我们需要把它们单独拿出来进行讨论.一、无穷小在讨论数列和函数的极限时， 经常遇到以零为极限的变量. 我们以 为例， 来定义函数 无穷小的概念. 例如， 变量 ，当 时，其极

25、限为 0；函数 ， 当 时， 其极限为 0， 函数 ， 当 时，其极限为0 这些在自变量某一变化过程中以零为极限的变量统称为无穷小量(简称为无穷小).一、无穷小定义 设 在 内有定义， 若 ，则称函数 为 时的无穷小.由 ，知 为 时的无穷小.例如，由 ，知 为 时的无穷小；由 ，知 为 时的无穷小；练习一、无穷小一、无穷小注 () 零是无穷小中唯一的常数. () 无穷小与一个很小的确定的常数(如 )不能混为一谈. 这是因为无穷小是个变量(函数). 自变量在某一变化过程中， 其绝对值能小于任意给定的正数 . 但是 做不到这一点. () 讨论无穷小的时候， 要注意自变量的变化过程. 例如 ， 当

26、 时是无穷小， 而当 时极限却是一个常数.由数列和函数四则运算性质可知， 在自变量的同一变化过程中， 有限个无穷小的和， 差，积都是无穷小， 下面我们给出无穷小的另一个重要性质:故 是当 时一、无穷小定理( 无穷小运算性质) 在自变量的同一变化过程中， 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.解由于 时 的极限为零，O-11yy=sinxxx图2-9例求极限 . 即的无穷小. 而 是有界函数，因此由无穷小运算性质可知，是当 时的无穷小(见图2-9)， .练习一、无穷小二、无穷大我们仅就 的情形来定义无穷大.设 在 内有定义，如果当 时， 对应的函数的绝对值 无限增大，则称函数 为 时的无穷大量， 简称

27、无穷大， 记作 .定义 ， 称 为当 时的正无穷大，二、无穷大若将上述“ 无限增大 ”改成 且无限增大或 且无限增大，则有因为无穷大 不是数，注这里 只是借用了极限的符号，并不意味着函数 存在极限， ， 称 为当 时的负无穷大.无穷大是绝对值无限不可与绝对值很大的常数混淆，增大的变量.二、无穷大例2 证明 .y1Oxy=1x图2-10直线 是函数 图形的铅直渐近线（见图2-10）. 证明 三、无穷小与无穷大的关系无穷小和无穷大之间存在密切的关系.定理在自变量的同一变化过程中，三、无穷小与无穷大的关系例3求 .解由无穷小与无穷大的关系，有.例4求曲线 的渐近线方程.二、无穷大注若 或 ，则直线

28、称为函数 图形的铅直渐近线.解 因为 ，所以 是曲线的水平渐近线.所以 是曲线的铅直渐近线；因为 ，四、无穷小的比较 由无穷小的运算可知， 两个无穷小的和、差是无穷小， 两个无穷小的乘积是无穷小. 那么两个无穷小的商又会出现什么情形呢? 由此可见， 在自变量的同一变化过程中， 两个无穷小的商的极限可能为零， 可能是非零常数， 也可能不存在.而 不存在. 比如，当 时， ， ， ， 均为无穷小， 但 ，及 ， 因此， 这类极限通常称为 型未定式极限. 未定式极限各不相同， 反映了作为分子、分母的两个无穷小趋于零的“快慢”程度不同. 四、无穷小的比较 一般情况下，两个无穷小的商的极限由于不遵循极限

29、的运算法则， 且不能立刻判断其极限是否存在， 当 时， 趋于零的速度比 “快 ”， 趋于零的速度比 “慢”， 而 与 趋于零的速度“差不多”.四、无穷小的比较如果用精确的数学语言来描述这“快”与“慢”的程度， 则有定义设 、 为自变量的同一变化过程中的无穷小， 且 .若 ，则称 是比 高阶的无穷小， 记作 ；若 ，则称 是比 低阶的无穷小；若 ， 则称 是 的同阶无穷小；特别当 时， 则称 和 是等价无穷小， 记作 ；四、无穷小的比较由此定义可以得到一些常见的无穷小比较的例子.由 知， 当 时， 是关于 的二阶无穷小， 也称 和 是同阶无穷小.例如， 由 知，当 时， 是比 高阶的无穷小， 记

30、作 ；由 知， 当 时， 与 是等价无穷小， 记作 ；由 知， 当 时， 是 的同阶无穷小；由 知， 当 时， 是比 低阶的无穷小；四、无穷小的比较例5 证明：当 时， .我们还可以得到一个更一般的结论：证明 时， .五、等价无穷小的应用我们先看关于等价无穷小的两个定理.定理设 ， 为自变量的同一变化过程中的无穷小， 则 与 是等价无穷小的充分必要条件为 .因此, .证明必要性: 设 ， 则因此， ， 即 .充分性： 设 ，则，五、等价无穷小的应用定理设 ， ， ， 为自变量的同一变化过程中的无穷小，又 ， ，且 存在，则 .当 时， ； ， 证明 . 除了以上的等价无穷小外，我们还可以得到：

31、当 时， ， .通过以上的学习，我们已掌握了以下等价无穷小：这几个无穷小的等价证明会用到函数的连续性，我们留待下节再证.练习五、等价无穷小的应用例利用等价无穷小替换求下列极限:（1） ； （2） ；（3） ； （4） 求 . ；五、等价无穷小的应用；题 （2） 解 （2）当 时， ， 所以五、等价无穷小的应用当 时， ， ，所以题 （3） 解 （3） 五、等价无穷小的应用当 时， ， ，所以题 （4） 题 （4） 五、等价无穷小的应用例7 求 . 解其中 .五、等价无穷小的应用例8 当 时， 与 为等价无穷小，求常数 的值.解得 .由，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac

32、25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C内容导航第二章第一节 数列的极限定义与计算第二节 函数的极限定义与计算第三节 两个重要极限第四节 无穷小与无穷大第

33、五节 函数的连续性及其性质课 前 导 读123对于函数 ，图2-11图2-12这时函数的曲线所以在 处曲线是“断”，当 时极限是存在的，数 在 处是没有定义的，但是函的(见图2-11). 就是“不断”的(见图2-12)，这样的函数称为“连续”函数.一、连续的概念“连续性”这个概念在日常生活中处处存在， 如气温的变化、地球的转动、动植物的生长等均是连续变化的. 这种现象在函数关系上的反映， 就是“函数的连续性”. 例如， 就植物的生长来看， 当时间变化很微小时， 植物也相应发生微小的变化， 这种特点就是所谓的连续性. 函数在一点处的连续性定义设函数 在点 的某个邻域内有定义， 如果 ，则称 在点

34、 处连续. 函数在一点处的连续性图a图b设 在 的某个邻域内有定义，当自变量 从 变化到 时，相应的函数 也发生变化： ，此时函数 的对应增量（见图2-13）为 .yy=f (x)xxyy=f (x)图2-13连续定义的几何解释练习显然有 ，即函数 在 处连续的充分必要条件是 在 处左连续且右连续. 函数在一点处的连续性定义设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果 ，则称 在点 处连续.和极限概念中有左、右极限一样， 函数也有左、右连续的概念. 若 ， 则称 在 处右连续； 若 ， 则称 在 处左连续.从上述性质可以看出， 函数 在 处连续， 等价于其在 处的左极限、右极限存在且相等并等于该点的

35、函数值. 其中只要有一条不成立， 则函数 在 处不连续. 函数在一点处的连续性例用连续性定义证明 在 处连续.由于 ，证明当自变量 的增量为 时， 函数 对应的增量为 ，我们也很容易知道， 在 处右连续(请读者自行证明).因此 在 处连续.练习若函数 在开区间 内连续， 且在 处右连续， 在 处左连续， 则称函数 在闭区间 上连续. 区间上的连续函数若函数 在开区间 (或 )内处处连续(每一点处均连续)， 则称函数 在开区间 (或 )内连续.连续函数 的图形是一条连续不断的曲线.例如， 设 ，由 及 ，可知其在 内连续.设 ，其中 、 为多项式， 若 ， 则有 ，即其在定义域内的每一点处都连续

36、. 区间上的连续函数由于基本初等函数在其各自定义域内每点处的极限都存在， 且等于该点处的函数值，由连续函数的定义可知， 基本初等函数都是各自定义域内的连续函数.设函数 为 阶多项式 （ ） ， 由极限运算法则可知， 在 内连续， 即对， ， ，. 区间上的连续函数为了进一步说明连续性的概念， 再举一例.例证明 在 内连续.证明 ，当 有增量 时， 对应的函数增量是由于 ，因此 ，当 时，知 ，从而 ，故 在 内连续.同理可证 在 内连续.练习() 虽在 处有定义， 存在， 但 ，则称函数 在 处间断(不连续). 称为 的间断点， 或不连续点.() 虽然在 处有定义，但 不存在 ， 之一不存在，

37、 或两者存在但不相等)； 设 在点 的某空心邻域内有定义， 且函数 有下列三种情形之一 :() 在 处没有定义；二、函数的间断点 按函数在一点处连续的定义， 函数 在点 处连续， 是指 ，即需要 f (x0) 有定义； 而要考虑极限 ， 则需 在 的某去心邻域内有定义作为前提条件.二、函数的间断点例如 ， 函数 在 处没有定义， 即知 是它的间断点(见图2-14).函数 在 处 ，即知 是它的间断点(见图2-15).y11xOy1Oxy=1,x0 x=0 x,图2-14图2-15如果 ( 存在)， 则称 为函数 的可去间断点. 这时可能出现的情况为， 函数 在 处无定义， 或有定义但 ， 故可

38、通过补充或修改该点的函数值，使函数在该点处连续.假设 为函数 的间断点，按其单侧极限是否存在，分为第一间断点与第二间断点， 具体分法如下.() 若 、 存在， 则称 为函数 的第一类间断点.二、函数的间断点练习但 ， 因此 为 的第一类间断点(见图2-16)， 为可去间断点.若补充 ， 则在 处连续.二、函数的间断点例 在 处无定义，y1O11x图2-16如果 ，则称 为函数 的跳跃间断点.二、函数的间断点例4 函数 6yx123图2-17在 处有定义， ，知 为函数 的第一类间断点（见图2-17），为跳跃间断点.，() 若 、 中至少有一个不存在， 则称 为函数 的第二类间断点. 不是第一类

39、间断点的， 均是第二类间断点.二、函数的间断点如果 或 ，则称 为函数 的无穷间断点.二、函数的间断点例xy图 在 处无定义，为无穷间断点.又 ，则 为函数的第二类间断点(见图)，三、初等函数的连续性 由函数在一点处的连续性定义和极限的四则运算法则， 可以得到根据定理1 可知，由于 ， 在 内连续， 则 ， ， 和 在其定义域内是连续的，即三角函数在其定义域内是连续的.定理1 (连续函数的四则运算)设函数 和 在点 处连续，则 () 和 ； () 差 ； () 积 ； () 商都在点 处连续.三、初等函数的连续性 如果函数 在区间 上单调增加(或单调减少)且连续， 那么它的反函数 也在对应的区

40、间 上单调增加(或单调减少)且连续.yQ(b,a)P(a,b)Ox图定理 2 (反函数的连续性) 从几何上看， 曲线 与 关于直线 对称(见图 ). 因此， 如果曲线 为连续曲线， 那么曲线 也是连续曲线.三、初等函数的连续性由此可知，由于 在 上单调减少且连续， 由于 在 上单调增加且连续，故 在 上单调增加且连续.因此， 反三角函数在其定义域内是连续的.故 在 上单调减少且连续.由于 在 内单调增加且连续，且连续， 同理可得 在 内单调减少且连续.故 在 内单调增加三、初等函数的连续性当 ， 时，从而 在 内连续， 因此它的反函数 在 内连续.因此， 指数函数与对数函数在其定义域内是连续的.令 ， 则当 时， ， 故由极限复合运算法则知 ，三、初等函数的连续性例如， 定理 的结论又可写成 . ()()定理(复合函数的连续性)()式表示： 在定理 的条件下， 求复合函数 的极限时， 函数符号 与极限号 可交换次序. 设函数 由函数 与函数 复合而成， ，若 ， 而函数 在 处连续， 则而函数 在点 处连续， 因此求 ，可看作 与 复合而成. 因为 ，三、初等函数的连续性将定理 的条件做些修改， 则可得到:例如，对于函数 ，定理设函数 由函数 与函数 复合而成， ， 若函数 在 处连续， 且 ，而函数 在 处连续， 则复合函数 在 处连续.