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文档简介

1、第四章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理第二节 洛必达法则第三节 函数单调性第四节 函数的极值与最值第五节 曲线的凹凸性与拐点第六节 函数图形的描绘第一节 微分中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理罗尔定理 设函数 f(x) 满足(1) 在闭区间a,b上连续,(2) 在开区间(a,b)内可导,(3) f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.一、罗尔中值定理罗尔定理几何意义：定理 设函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理

2、中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.二、拉格朗日中值定理几何意义： 如果在a,b上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.弦线的方程为作辅助函数即可. 的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.定理 设函数f(x)与g(x)满足：(1)在闭区间a,b上都连续，(2)在开区间(a,b)内都可导，(3)在开区间(a,b)内，则至少存在一点在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理

3、可以看成是拉格朗日中值定理的推广.三、柯西中值定理第二节 洛必达法则一、 型未定式二、 型未定式三、其他类型未定式一、 型未定式定理1二、 型未定式定理2三、其他类型未定式例1解解法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型例2解例3解洛必达法则第三节 函数的单调性一、函数单调性的判定方法二、函数单调性的应用一、函数单调性的判定方法 问题的提出若 在区间（a,b)上单调增加若 在区间（a,b)上单调减少定理1（函数单调性判定方法）二、函数单调性的应用第四节 函数的极值与最值一、函数的极值二、函数极值的判定及求法三、函数的最值一、函数的极值二、函数极值的判定及求法求极值的步骤:三、函数的最值

4、闭区间上连续函数的最值步骤:1.求驻点：3.求区间端点及驻点和不可导点的函数值注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)2.求不可导点：4. 比较（3）中函数值大小,最大的便是最大值,最小的便是最小值;第五节 曲线的凹凸点与拐点一、曲线凹凸性定义及其判定法二、曲线的拐点及求法一、曲线凹凸性定义及其判定法二、曲线的拐点及求法拐点的求法:第六节 函数图形的描绘一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘一、曲线的渐近线1）渐近线（1）水平渐近线例如有水平渐近线两条:（2）垂直渐近线例如有铅直渐近线两条:二、函数图形的描绘一般步骤： (1)确定函数的定义域，并讨论函数周期性、奇偶性； （2）讨论函数的单调性，极值点和极值； （3）讨论函数图形的凹凸区

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