2型模糊集标准化区间的运算

1、归一化区间2型模糊集的运算摘要：这篇论文解释了如何计算归一化区间2型模糊集的封闭解，并解释了其与著名的1型模糊集结果的区别。这种归一化区间2型模糊集可能应用与解决语言概率计算或不确定情况下的多目标决策分析。1简介本文致力于归一化区间2型模糊数的计算。正如我们将要看到的，这常被用于解处理语言概率和多目标决策问题。在本节中，我们首先介绍一些符号和基本概念，然后阐述问题描述。A基本概念和符号一个区间2型模糊集(IT2FS)中，论域U上的A是由隶属度函数卩(x)定义的，它分配了A一个封闭子区间0,1,即对任意xGU，都有J匸0,1XTOC o 1-5 h z卩(x)J屮(x),卩(x)(1)AxAA换

2、句话说，A是由两个1型模糊集a和A决定的，其隶属度函数分别为被称作下隶属度函数(LMF)的卩(x)，以及被称为上隶属度函数(UMF)的二(x)AA回想一下，一个IT2FS是完全由其不确定覆盖域(FOU)描述的；因此，IT2FS中的A是由FOU(A)描述的。此外，FOU(A)又可以由被其上下隶属度函数(MFs)决定，而卩(x)和A(x)这两个都是1型模糊集的隶属度函数，即：AFOU(A)=U卩(x),卩(x)(2)AAVxgX其中，U表示集论的并集。图1一个九参数IT2FS问题的FOU一个梯形IT2FS的九参数FOU如图1所示。注意UMF取决于参数(a,b,c,d)，而LMF取决于参数(a,b,

3、c,d,h)，其中h为LMF的高。回想一下，1型模糊集W在规范时又可称为1型模糊数，有一个半连续的上隶属度函数且有界。因此，当其上下隶属度函数W和W均为1型模糊数时，区间2型模糊集而也可称为一i个间隔2型模糊数。当W为1型模糊数且W有1型模糊数除归一化的所有性能时，间隔2型模糊集W为间隔2型弱模糊数。注意，间隔2型模糊数的集合被包含于间隔2型弱模糊数。在文献9中，一个IT2弱模糊数称为一个归一化IT2模糊数，而一个IT2模糊数称为一个完美的归一化的IT2模糊数。1型模糊数N的a-截集表示为N(a)，是一组实数，定义为:(3)N(a)二xI卩(x)a二Nl(a),Nr(a)N其中ag0,1。当a

4、=0时，N(a)二supp(N)。由于N为一个模糊数，故必然存在其a-截集。L和R分别代表其区间的左右端点。定理1(a-截集分解定理)假设N是U中的1型模糊数，N(a)可由式(3)定义，贝I：N二Ua/N(a)二Ua/Nl(a),Nr(a)ae0,1ae0,1其中，U表示标准模糊并集(即取0,1中的上界)，且a/N(a)是一个有以下隶属度函数的模糊集:i卩(u)=a/N(a)ueNl(a),Nr(a)其他式(4)是下式的一个常用简写形式:,(u)VueUa/N(a)Y(a)=f(W(a),W(a)，,W(a)12nY(a)=f(W1(a),W2(a)，,W“(a)=Ua/y(a)-IPe0，h

5、min_=Ua/Y(a)(8)(9)Iae0,1其中，h三minh，且h为W的高。minV，WiWii由于1型模糊集可以由隶属度函数表示,卩(u)=sup卩nae0,1它遵循从一个定理，即如果可以确定1型模糊集的a-截集可以在VaG0,1时确定，贝I1型模糊集是完全由其a-截集确定的。a-截集分解定理可以用于计算一个函数的模糊集。定理2令f:RnTR是一个扩展到1型模糊数W，,W的函数，且Y=f(W，,W)，则:1n1nY(a)=f(W(a),W(a)，,W(a)12n即模糊化函数的a-截集等于应用于参数的a-截集函数；因此，可以根据式(4)计算Y。上述定理的适用于区间2型模糊集的类似版本将在

6、下面展示。定理3令f:RnTR是一个扩展到区间2型模糊集叫,的函数，且产=f0，,W)则:B归一化IT2FSs给定n个IT2FSS叫巴我们希望计算其归一值N,.,N，则WN=1jj=1(10)注意，式(10)是一个“表达”方程，即n不是通过添加W.ij然后将j除以Yjijj=1得到的;具体的计算方法将在下面进行描述。我们称式(10)中的N为一个归一化区间2型模糊集。(14)当W为区间2型弱模糊数时，N为归一化区间2型弱模糊数。ii式(10)的计算可以被认为是“模糊算法”的一部分，当IT2FSs应用于语言概率计算或不确定情况下的多目标决策分析时，也可使用区间1型或区间2型模糊判断。这篇论文解释了

7、如何计算N的闭合解，这据我们所知还没有人进行研究。然后解释了IT2iFS的结果归纳为类似的1型模糊集和区间集。本文在第四节通过例子，将其计算与KM算法进行比较，从而验证结果。2N的闭合解算式的推导可能有不同的方法来计算式(10)中的N。我们的方法是将N作为一个语言加权平均ii(LWA)的特例，然后检查LWA的计算步骤，看看他们如何简化N的计算。iLWA，即Ywa，可以由下式表达:YLWA乙nXW力W(11)比较式(10)及式(11),可得:(12)式(12)表明N可以使用计算LWA的算法/软件进行计算。当我们这样做时，又因为N似乎ii比起式(2)中的一般LWA更像一个简化LWA,故必须要问一个

8、问题：是否真的有必要像计算LWA一样，使用迭代KM算法计算N?在本节的其余部分，我们证明了这个问题的答案：不i用，没有必要像计算LWA一样计算N。事实上，它可以计算得到封闭解。i为了得出这一结果，我们回到LWA的推导。对于N，我们有:i(13)FOU(N)=UN(x),N,(x)ii1VxeX其中，U表示集论的并集。Wu和Mendel指出:WN(x)=iiZnWj=1jW(15)Ni(x)=V-其中，叫和巧是V的上下隶属度函数。化和N是1型模糊集(门FS)的模糊加权平均值(FWAs)；然而，化是标准1型模糊集但笃不是。这一点将在下面进行解释。Nz和N是用如定理1所示的1型模糊集的a截集分解计算

9、的：iiN=Ua/N(a)=Ua/NL(a),NR(a)iiiiae0,h.a0,h.|minminN,=Ua/N(a)=Ua/N.L(a),N.R(a)ae0,1ae0,1h三minhminj.；VJJ(16)(17)(18)WJJ其中，hW是-的高。注意到，由于部分或全部-不规范的情况经常发生，所以仁/1另一方面，所有的卬/都是规范的，这的情况很常见，这就是为什么式(16)中有a0,hmin就是为什么式(17)中有0,1。在式(16)和式(17)中:NL(a)=miniVW(a)eWL(a),WR(a)J=1,i，,nNR(a)=maxiVW(a)eWL(a),WR(a)J=1,i，,nW

10、(a)inW(a)J=1JW(a)i工nW(a)J=1J(19)(20)W(a)N.l(a)=min尸八丿VWJ(a)W/(a),W/(a)厶nJ=1,i，,nW,(a)j=1J(a)工”W(a)(21) HYPERLINK l bookmark74 NR(a)=_max_VW.(a)WjL(a),W.R(a)/it/Jz，,nj=1这四个优化问题的解决方案可以在KM算法中找到。如果像LWA一样使用通用软件计算(22)N，那么就是这样计算的。i例如Nl(a)的计算。使用已经知道的区间加权平均(WA)，其解决方案只需要区间集的在这一点上，我们可以检查式(19)-式(22)，看看每个优化问题有没有

11、直接解决方案。答案是有。i端点，而这可以通过式(19)求得，只需要考虑两种情况，即:NL(a)=min(aWl(a)+乙iWl(a)nWR(a)j占,j=1jiWR(a)WR(a)+nij丰i,j=1j(23)也可被重新表达为:NL(a)=min(i1+1工nWz(a2j知,j=1WL(a)i工nj五,j=1WR(a)-WR(a)i(24)由于对巧=1,n，都有WL(a)WR(a)，故可得:lj(25)WR(a)WR(a)jj,V/=1,.,nWl(a)WR(a)ii因此，式(24)中，有:11(26)yWR(a1vwR(a)q1+ynj1+ynjj知,j=1WL(a)j知,j=1WR(a)i

12、i因此:NL(a)=iW5(a)WL(a)+VnjKi,j=1J(27)类似可以得到NR(a)、NL(a)和NR(a)i11NR(a)=iW(a)WR(a)+ynj知,j=1WL(a)NiL(a)=Wl(a)W.l(a)+VnW.R(a)j乂ij=1N.R(a)=WR(a)WR(a)+V_Wl(a)1j知戶1丿(28)(29)(30)用式(27)-式(30)就可以得到一个相对简单的计算FOU(N)=N,N的问题。算法可以被iii分为两部分。对于N(i=1,.,n)，算法步骤为：1)选择合适的a截集s参数m(如将0,1划分为m-1个区间，并设a=(s1)/(m1),s=1,2,.,m)。找到与每

13、个a-截集s值a相对应的Wj,(j1,n);将a-截集s的端点表示为TOC o 1-5 h zsJWL(a),W.R(a)jsjs分别用式(29)和式(30)计算Nl(a)和Nr(a) HYPERLINK l bookmark124 1s1s对每个a(s二1,2,.,m)重复步骤2)和3)。s将所有左端点坐标(Nl(a),a)和右端点坐标(Nr(a),a)结合起来构造上隶属度1ss1ss函数N：对于N(i=1,.,n),算法步骤为：i确定h，且minh三hWj巧WJmin选择合适的a-截集t参数p(如将0,hmin划分为p-1个区间，并设a(t1)/(p1),t=1,2,.,p)。t找到与每个

14、a-截集s值a相对应的W.,(j1,.,n)；将口-截集s的端点表示为TOC o 1-5 h ztJWL(a),WR(a)jtjt分别用式(27)和式(28)计算NL(a)和NR(a) HYPERLINK l bookmark134 itit对每个a(t1,2，.,p)重复步骤3)和4)。t将所有左端点坐标(NL(a),a)和右端点坐标(NR(a),a)结合起来构造下隶属度函ittitt数Ni注意，上述步骤在假设厉为区间2型弱模糊数，即其a-截集s为闭区间时也能成立。i3观察现象A多个开关点？如果式(27)-式(30)所表示的封闭解是正确的，则用此来提供解决方案。这最初看起来似乎不同于使用KM

15、算法所提供的解决方案，因为每个的分母都含有两个开关点(jin)，而众所周知，KM算法中只存在一个开关点。那么到底是怎么回事？回想一下，在KM算法中，X的上下隶属度函数的a截集的左右端点(式(11)第一个表达式的右半边)必须先进行顺序排序，而开关点与那些排序值相关，且其关联将重新被朿表示。在这一问题中，X只可能取两个值一一只有一个X的至取1(X)，其余均取0。因此，重新jji排序的X又只有一个开关点。我们在第二部分获得的解决方案是依据原本排序的x而不是重新排序x，这就是为什么它似乎是与KM算法中获得的解决方案脱节的。事实上，当任何问题使用KM算法的解决方案时，如果重新表现出原始变量的顺序，读者会

16、发现至少(通常是更多)两个开关点。B归一化1型区间模糊集因为模糊加权平均(FWA)，和区间加权平均(IWA)是语言加权平均(LWA)的特殊情况，故第二部分中的封闭解也适用于下列情形：归一化1型模糊集：在这种情况下，WTW，其中每个W都是T1FS。因为T1FSN可以被解读为TF2FS，且N=N.=N，N是由式(16)-式(22)计算的。可以认ii1ii为式(16)和式(17)，式(19)和式(21)，式(20)和式(22)是相同的，例如：a/NL(a),NR(a)(31)NL(a)=mmiiVW.(a)gW.l(a),WR(a)j1”n(32)NR(a)maxVW.(a)gW.l(a),WR(a

17、)jh.”n(33)归一化区间模糊集：在这种情况下，每个T1FSW都为一个区间，即WTWl,Wr，则式(31)-式(33)可被进一步简化为:(34)iinWWR+乙nWLj=1jij*i,j=1j(35)NRmaxVW.eWL,Wr(36)NNl(a),NR(a)需要指出的是：式(35)和式(36)最早是由Dubois和Prade提出的。Wang和Elhag的一篇非常学术和广泛的论文描述了关于适当的归一化区间和1型模糊权重。式(32)和式(33)可以在他们的论文中找到。他们的结论是，式;10)是一个适当的归一化区间和1型模糊权重。在他们的论文中采取的方法是自下而上的，从开始采用区间模糊权重，然

18、后采用1型模糊权重。我们采取的方法是自上向下的，即开始采用IT2模糊权重，将结果归纳至1型模糊权重，然后将这些结果归纳至区间模糊权重。C归一化模糊集隶属度函数的公式分析文献14显示，对于FWAs,得到的a属于特定区域的切换点与KM算法相同。因此，人们可以用推导分析的方法解决FWAs，尤其是当涉及梯形模糊数的时候。文献14给出了一些例子，其中一些方程导出了FWAs的a-截集s的端点。这些方程用一个a的线性函数表示了二次函数的分解形式。接下来，我们将解释归一化模糊数中也可以得到相似的结果。在式(27)-式(30)中，当我们可以用a的闭合方式描述a-截集s的左右端点时，我们可以得到归一化IT2FS的

19、隶属度函数的闭合描述。例如，假设上隶属度函数W：可以由WiL(a)二ua+viL和WiR(a)二uiRa+vR进行描述。则式(30)可以改写为：uRa+vRuRa+vRNR(a)=ii=ii(37)1uRa+vR+n(uLa+v.l)sRa+1R11j乩j=ijj11它由两个a的线性函数部分组成。相同的结构可以推导出式(27)-式(29)。留给读者来证明其相当于拥有形状与公式quasi-trapezoid形状相似的一个隶属度函数，其形式的支柱为(ax+b)/(cx+d)而不是线性函数x。虽然这种隶属度函数看起来是“线性”的，但实际上是稍微弯曲的。4数值实例为了展示论文结果的有效性，我们进行了一

20、些模拟。正如我们提到的，可以使用语言加权平均来对从对象收集的数据合成的概率词汇进行归一化，以消除他们的不一致性。这对于识别涉及到计算预期值的归一化概括或语言概率假设的归一化模糊概率，特别是在用语言问题解决先进计算时很有用。语言概率单词的词汇组成可以分为ExtremelyImprobable，VeryImprobable,Improbable，SomewhatImprobable，Tossup，SomewhatProbable，Probable，VeryProbable，ExtremelyProbable，如图2中所示。它们的参数如表1所示。这些区间2型模糊集是将增强区间方法(EIA)应用于对象

21、的数据收集构成的。ExtremelyImprobabletryImprobableImprobableSomewhatImprobab亡SomewhalPro-bahleExtremelyProbableD03Fio.2ThevocabularyoflinguisticprobabilitiesmodeledbyIT2FSsJ图2区间2型模糊集的语言概率词汇建模表1图2所示的概率词汇的隶属度函数参数TABLEIMembershipklsctionparamkilrsofthkprobabilitywordsdfpicthdikFig.2UMFparametersLMFparametersExt

22、remelyimprobableVeryimprobableImprobableSomewhatimprobableTossupSomewhatprobableProbableVeryprobableExtremelyprobable(0.0,0.0183h0.13(O.Q293h010(0OJ250,Oil707)(0.Q5S6,0J75Ot0.2500,0,3414)(0.0982,0.2500.03000,0.4518)(03586,0.5000t0.5500,0.6414)(0.4793,0l55OO.0.6000,0;6707)(0.5086,0.6500l0.7000,0,7914

23、)(0.7189,0.8250.0.9000,0.9811)(0.8684,O.977Z1.0000,1.0000)fO.0h0.0046.0.0627,1.0000)(O.OS96.0ISEOil167,0J6O4.0.7643)(OJS%.0.2200,0.2200,0.2604.0.5757(0.2293.0.2750.0.2750,0.3207.0.6464(0.4B96.0508戈0.5083,0.5141.0.4107(0.5293,Q.575O.0.575Q.0.6207,0.6464)(Q.6293.0.6750.0.6750,0.7207.0.6464(0.8293,0.87

24、00.0.E700,0.9207,Q.5757)(0.?405,0.9954,L0000,1.0000,LOOOO)选择次级词汇表：W=Improbable，W=Tossup，W=ProbableTOC o 1-5 h z123谚二ExtremelyProbable，计算归一化区间2型模糊集N=W/(W+十),i=1,.,44ii14由下列公式计算的:同时用KM算法和本文中的式(27)-式(30)进行计算。为了比较结果，我们使用Jaccard相似性度量作为衡量两个模糊集等价性的标准。两个区间2型模糊集A，B的Jaccard相似性度量是(38) HYPERLINK l bookmark154 J

25、(min(卩(u),也(u)+min(y(u),卩(u)dus(A,B)二uABJJ(max(卩(u),卩(u)+max(卩(u),卩(u)du HYPERLINK l bookmark156 uAB_A_B其中U为论域。使用KM算法和解析公式得到的归一化的结果是如此接近，我们获得了两者间100%的相似性(事实上参数之间的差异为1015级)。因此，我们只展示解析公式的运算结果如图3所示。其参数如表2所示。NormalizjedImpra-hablcNornudizedTossupNormaJiznclPna-bablc00J.D.4ONornudizedFig.3.Thefour-wordvo

26、cabularyofnormalizedlinguisticprohabiliiies.图3四单词词汇表的归一化语言概率模型表2图3所示的归一化概率词汇的隶属度函数参数TABLEIMembershipfunctionPARAMkTkRSoi-thhnormalizedprobabilitywokdsdepictedisFig.3NormalizedwordUMFparametersLMFparamclcrsImprobableTossupProbableExtremelyProbable(0.OT4319.0.13514,0.15483.04941(0112311,0.14665,0J6891

27、,0.21462)(0.13377,047568.0J9706,0.24604)(0.18808,0.2244艮0.25159,0.30698)0.13051,0.13S2S,0.14334,a14935,0.41074)(0.14364.0J5327,0.16528,047687,041074)(a17078,0J8072,0.19322,0.20536,0.41074)(0.22505.0.23516,0.24759,0.26235.0.41074)为了看看当对词汇表中所有9个单词执行归一化时，归一化区间2型模糊集是什么，我们也将图2所示的词汇表中的每个成员进行归一化，得到常，厉，并用Ja

28、ccard相似性度量19来验证KM算法与式(27)-式(30)的解析公示获得的模糊集的等价性。同样，发现两种方法得到的模糊集的参数差异非常小，以至于两两得到的相似性度量都是1。因此，我们只展示解析公示得到的结果如图4所示。其参数如表3所示。KormaliizedVer)*ImprobableNormalizedExtremelyImpnobaMeNormalizedImprobableNormalipedSomewhalProbableNormalizedSomewhatImprobableNarmalizcdTossupNormalizedPnohahlcNormalizedVrrj1Pro

29、bableNormalisedExtremelyProhahl亡Fig.4.Thenine-wordvocabularyofnoimaliziedlinguisticprobabilities.图4九单词词汇表的归一化语言概率模型表3图4所示的归一化概率词汇的隶属度函数参数TABLE11(Membershipfun匚丁ionparamktkrsofthenromalezdprobabilitywordsdepictedinFig.4Nornuliz)edwordUMFparametersLMFparamclersExtremelyimprobableVeryimprobableImprobableSomewhatimprobableTossupS