1.1.2四种命题 (9)

1、1.1.2 四种命题第一章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.原命题与逆命题（1）关系是：_与_互换；（2）结构形式是：若原命题为“若p，则q”，则逆命题为_；（3）结论：这两个命题叫做_.条件结论“若q，则p”互逆命题基础梳理2.原命题与否命题（1）关系：条件与结论都要_；（2）结构形式：若原命题为“若p,则q”，则否命题为_；（3）结论：这两个命题叫做_.否定“若 p,则 q”互否命题3.原命题与逆否命题（1）关系是：条件与结论既要_，又要_；（2）结构形式是：若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为_；（3）结论：这两个命题叫做_.否定互换“若 q,则 p”互为逆否命题1.四种命题中原命

2、题是确定的吗？提示：不是.四种命题中任何一个命题均可以作为原命题.2.“互为逆否命题”与“逆否命题”相同吗？提示：两者不相同.互为逆否命题是两个命题之间的关系，具有双向性.逆否命题是一个相对概念，是一个命题，只具有单向性.思考运用3.“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是_.【解析】由逆命题的概念知命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”4.命题“若xy，则x3y31”的否命题是_【解析】命题“若xy，则x3y31”的条件是xy，其否定为xy；命题的结论是x3y31，其否定为x3y31.所以命题的

3、否命题是“若xy，则x3y31”.答案：“若xy，则x3y31”1.四种命题的理解（1）互逆命题是“换位不换质”，即原命题的条件和结论变为逆命题的结论和条件.（2）互否命题是“换质不换位”， 即原命题的条件和结论的否定成为否命题的条件和结论.（3）互为逆否命题是“既换位又换质”， 即原命题的条件和结论的否定变为逆否命题的结论和条件.知识点拨2.关于命题的条件及结论的否定在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或者重复，如“ab”的否定是“ab”，而不是“ay，则x2y2”的逆否命题是( )(A)若xy，则x2y2 (B)若xy，则x2y2(C)若x2y2，则xy

4、(D)若xy，则x20，则 ”的逆命题为( )(A)若a0，则 (B)若 ，则a0(C)若 ，则a0 (D)若 ，则a0【解析】选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调所得的命题 题目类型二、“若p，则”形式的另外三种命题的真假判断【技法点拨】命题条件和结论不明显的四种命题真假判断的方法（1）将所给的命题改写为“若，则”；（2）根据另外三种命题的结构，分别写出它们的命题；（3）通过推理判断命题的真假，若为假命题只需举一个反例说明即可.【典例训练】1.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆命题是_；否命题是_；逆否命题是_2.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假(

5、1)菱形的对角线互相垂直；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧【解析】1.首先将原命题改写如下：“若一个正整数的各位数字之和是3的倍数，则这个正整数可以被3整除”，然后由逆命题、否命题、逆否命题的定义得：逆命题是“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”；否命题是“各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除”；逆否命题是“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”.答案：“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”“各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除”“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”2.(1)逆命题：若

6、一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题【互动探究】若

7、将第1题的条件改为“各位数字之和是6的倍数的正整数”，而结论不变，试写出另外三种命题形式.【解析】逆命题是“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是6的倍数”.否命题是“各位数字之和不是6的倍数的正整数，不能被3整除”.逆否命题是“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是6的倍数”.【思考】在题1中用到了哪些判断词，其对应的否定词是什么？解答题2的注意点是什么？提示：（1）在本题1中用到的判断词有“是”“可以”，其对应的否定词是“不是”“不可以（或不能）”.（2）解答本题2首先要分清原命题的条件与结论，然后写出其他三种命题.【变式训练】把命题：“矩形的对角线相等”改写成“若p,则q”的形式，并分

8、别写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假【解析】原命题：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等（真命题）逆命题：若一个四边形的对角线相等，则它是矩形（假命题）否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等（假命题）逆否命题：若一个四边形的对角线不相等，则它不是矩形（真命题） 题目类型三、抽象命题的另外三种命题形式的判断【技法点拨】抽象命题的另外三种命题形式的判断的方法这类问题的解决方法是抽象命题用“若，则”的形式表示出来，然后由互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念进行判断.【典例训练】1.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是p的逆命题t的( )(A)

9、逆否命题 (B)否命题(C)逆命题 (D)原命题2若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的( )(A)逆命题 (B)逆否命题(C)否命题 (D)以上判断都不对【解析】1.选B. 若命题p：“若x，则y”， 则命题p的否命题r为“若 x，则 y”； 命题r的逆命题s为“若 y，则 x”；又p的逆命题t为“若y，则x”，所以s是p的逆命题t的否命题.2.选B.命题p：“若x，则y”，其逆命题q：“若y，则x”，那么命题q的否命题r：“若 y，则 x”，所以p是r的逆否命题，所以选B.【易错误区】对否命题理解不到位而产生错误【典例】已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的

10、否命题是( )(A)若abc3，则a2b2c23(B)若abc3，则a2b2c23(C)若abc3，则a2b2c23(D)若a2b2c23，则abc3【解题指导】【解析】选A因为abc3， a2b2c23的否定分别是abc3， a2b2c23.所以命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是“若abc3，则a2b2c23”.【即时训练】命题“若x21，则1x1”的否命题是( )(A)若x21，则x1或x1(B)若1x1，则x21或x1(D)若x1或x1，则x21【解析】选A因为x21，1x1，则a0”的逆命题是_，逆否命题是_.【解析】因为原命题的条件是a1，结论是a0，所以条件及结论的否定分别是a1,a0.所以逆命题是“若a0，则a1”， 逆否命题是“若a0，则a1”.答案：“若a0，则a1” “若a0，则a1”3.命题“等比数列an中没有零项”的逆命题是_.【解析】根据逆命题的概念知命题“等比数列an中没有零项”的逆命题是：“若数列an中没有零项，则数列an为等比数列”.答案：“若数列an中没有零项，则数列an为等比数列”4.命题“若一元二次方程没有实根，则判别式小于零”的逆否命题是_【解析】根据逆否命题的概念得命题的逆否命题是“若一元二次方程的判别式大于等于零，则一元二次方程有实根”.答案：“若一元二次方程的判别式大于等于零，则一元二次方程有实根”5.写出