最优蜘蛛网结构

1、第五届“认证杯”数学中I数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第五届“认证杯数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们允许数学中国网站（）公布论文，以供网友之间学习交流， 数学中国网

2、站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。我们的参赛队号为：1739参赛队员：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员：参赛队伍组别：第五届“认证杯”数学中I数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：# 1739竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题 目 蜘蛛网最优模型关键词 蜘蛛网 螺旋线 层次分析法 能量守恒摘要：世界上有很多种类的蜘蛛，而大部分种类的蜘蛛都是通过结网来捕食食物的。 蜘蛛网的结构主要受外因和内因的影响，本文研究并建立合理的数学模型，确定 出了蜘蛛网的最优结构，

3、得出结果与实际情况基本相符。首先，蜘蛛织网是由一根丝完成整个工作，为了构造合理的网状，设蜘蛛只有 材料L，已知L的情况下易知圆的面积最大，即捕食面的面积最大值，得到最大 圆面积为Smax= ：2rdr，其中di为捕丝间距。其次，由以上可以确定S面积只与有关，根据相关生物学家的资料查得影响 蜘蛛网捕丝间距的因素，主要有风、湿度、空间、温度、食物状况等。再运用层 次分析的方法计算出各个因素对di的权重，从而计算出捕丝的间距。然而，以上 并没有计算出放射丝的间距。因此本文再利用能量守恒的关系 1m 2 _ _ 1kVx22* 一 P 一 2 X即假设食物的最大垂直速度与质量已知，求解与该蜘蛛丝 所受

4、的最大弹性形变Vx。随后在做合理的假设与计算，就可以得到最大的放射 丝间距La。最后，针对蜘蛛网本身的的螺旋问题，使用极坐标建立基本模型P= di+ ri，其中9变化则其放射丝的半径变化，由此模拟出捕丝的的螺旋线图形。蜘蛛网的 最外的边框（框丝、停泊丝）根据各个外点对整个平面图根据空间的具体关系可 以得出，但是要保证整个蜘蛛网为平面状，那么边框至少为五边形。参赛密码（由组委会填写）参赛队号1739所选题目A题The best structure of cobwebThere are many types of spiders in the world, and most species of

5、spiders prey food by webs. This article study that the structure of spider web is mainly affected by the external and internal factors, and a rational mathematical model is established. So we derive the optimal structure of the spider web, which is consistent with the real situation.First, the spide

6、r web is constructed by a wire. To established a better model for the spider web, we suppose that under the condition that the length of spider silk is L , we compute the biggest circular area. So we can find out the biggest measure of areais max d11, where d 1 means the spacing of spider web.Second

7、, in a word, we know that the S just related to d . According to some biologists reporting, we can see the reasons of spacing of spider web such as, wind、 humidity space、temperature size of food. Then using the method of Hierarchical analysis, we can find outd = 0.0786x + 0.2075x + 0.2312x + 0.4782x

8、 + 0.8175x .112345Hence, the answer for our mathematical model is gotten.Third, above all, we havent found out the spacing of Radial wire, so this article1mv2 = E = 1 kVx2uses The Energy Conservation which is 2 p 2, and we suppose the fastest speed and quality are known, the purpose of us is to find

9、 out the biggest deformation Vx .Moreover when we do some reasonable hypotheses and calculations,a.we can get the biggest spacing of Radial wire LFourth, in the light of spider webs spiral question, with some known results, we study the basic model is p = d 0 + r . So we can use Matlab to get the fi

10、gure ofSpiral curve. However, in order to make the plan of web be supported, we need to know that what a space state is. When we think of the gravity, we can draw a conclusion that the polygon at least is a pentagon.1、问题重述蜘蛛目共有105个，可约37000种，世界各地均有分布。蜘蛛主要有结网、 游猎和穴居3种生活类型。蛛网的进化经历了拌丝、偏网和圆网阶段，并在圆网 的基础上，

11、继续进化形成了其他类型的网。其中圆网在蛛网进化的地位较为特殊， 且其结构较其它种类比较简单、规则，因此，本文在圆网的基础上分析、改进、 求解。现在建立合理的数学模型，对蜘蛛网的最大面积、捕丝和放射丝间距合理 性以及整个蜘蛛网的稳定性的角度分析，并在有外来事物的冲击下，怎样的蜘蛛 网才是最合适的。S :捕丝的面积。n :捕丝的圈数。捕丝间距（网眼）。L，：捕丝最外圈的周长。七：放射丝的最大间距。La:捕丝间每一个小面积的切向长度a :放射丝的条数（半径的条数）。0 :蜘蛛从起始点螺旋运动到极心绕的n圈的总共角度求和。a:相邻放射线的夹角。k :捕丝的弹性系数。Vx :捕丝的伸长量。P :螺旋线半

12、径。L :材料总长度。m :外来食物的质量。v :外来食物垂直冲到蜘蛛网上。3、问题分析图2蜘蛛网的结构图1、当一只蜘蛛的材料一定时，假设该材料总长为L，我们需要建立一个捕丝 结构有利于节约材料，且达到最大捕食效果，那么我们易知长度一定时，其围成 一个圆的面积都比其他图形面积大，由此：由简单到难，先假设其捕丝间的距离为气，当捕丝圈数为n圈时，那么其最 大的半径可以确定为nd那么此种情况选的Smax可以求出，为一个与有关的 式子。2、根据相关生物学家的调查可知，其一：蜘蛛丝具有多级结构的蛋白质纤维，外观呈金黄色，透明，横截面为 圆形，具有皮芯层结构，芯层内含有数十根纳米级的微纤维。蜘蛛丝具有高强

13、 度、高韧性、高弹性和良好的耐热性能，被称为“生物钢气而且蜘蛛为变温 动物，温度过低时蜘蛛新陈代谢较慢，只有温度达到一定了之后，蜘蛛新城代 谢快且蜘蛛丝的黏性最好。其二：当捕丝的间距越小时，结构更牢固，捕获的食物更大。但是不同的织 网的蜘蛛种类不一样，因此其间距合适才能不浪费材料的同时，捕获自身需要 的足够食物。其三：捕丝的搭建直接与当时的空间有关系。只有空间允许条件下才能搭出 合理的捕丝结构。其四：空气里有一定湿度，特别是凌晨时湿度最大，会影响到捕丝的黏性情 况。其五：在没有外来食物的情况，蜘蛛网还要受到空气的流动的制约。因此我们可以得出捕丝的间距di主要由食物的状况、温度、空间、湿度、空气

14、 流动，那么就需要找出这五项因素与di的关系。本文利用层次分析的方法求解出 各项因素的权重，从而可以求解出di。3、根据科学生物现象，知道蜘蛛是用一根丝即不会断的情况下完成整个织网过程。因为要考虑其捕丝面积大，蜘蛛网为一根丝完成，可以得出其构建的是一 个螺旋线的形状，且螺旋线的间距为di。再者根据蜘蛛丝的本身的高韧性可知， 捕丝的伸长率为原来的4到5倍，因此可以利用能量守恒定律 11 mv2 = E = kVx2求解出放射丝的间距L和放射丝的条数a。此处已完成整 个网的基本框架。4、根据空间的关系以及为了能把蜘蛛网能稳定的支撑起来，确定最后的框丝 和停泊线满足：瑞伊尔说：“当昆虫碰撞入网，蛛网

15、必须承受住碰撞力，而对称网的优势可能 在于它可以使这种力均匀地分布在全网以减少某一处的受力，这样可以尽可能地 避免网被撕破。”所以无论是停泊丝还是边框丝都为对称形态。蜘蛛网停泊丝与 边框丝的形态主要受三个方面的影响，一是为了保证蜘蛛网在受昆虫撞击力或风 力的影响时结构变化较小，二是为了把蜘蛛网撑平，有效利用捕食面积，三是受 周围空间形状与大小的影响。具体情况，本文考虑蜘蛛网为一个平面状，其目的则是支撑它。那么本身其受 到重力的作用，因此通过受力分析，知道其边框至少为四的边。但是四边形不具 有很好的稳定性。因此我们可以得出此种蜘蛛网的的边框为五边。4、模型假设假设1：蜘蛛正常健康，吐的丝一定。假

16、设2：此期间蜘蛛处于一个相对安全状态，无天敌情况。假设3：天气状况良好。假设4：本文只考虑在空间织平面状的一类蜘蛛，不考虑再空穴里会织网的蜘蛛。 假设5：捕丝间距一定。5、模型建立5.1最大圆环捕丝模型一张蜘蛛网的有效期为一天，每年因蜘蛛的生物钟的原因，蜘蛛会在每天一定 的时间吐出新的蜘蛛网。因此我们可合理假设已知一只蜘蛛在一天的蜘蛛丝的总 共有L。那么为了获得最大面积，我们可以建立圆面积最大模型。设捕丝间距为di，总共有n圈的。那么总材料长L L满足的方程式为：L = 2乂 +叫，2则最大面积:S =i ndi 2 兀 rdr此模型可以求解出最大的捕环形捕丝面积与捕丝的间距的关系。2层次分析

17、得出捕丝间距d1通过问题的分析我们知道影响捕丝间距d主要有食物状况、温度、空间、湿1度、风。建立层次分析模型如下：确定准则B (/ = 1,2,3,4,5 )对目标A的权重向量：两两比较B (i = 1,2,3,4,5 )对目标矩阵A的重要程度，构造准则B对目标A的成对比较判断矩阵：1 1/5 1/3 1/5 1/71 0.2 0.3330.20.143、512/3 2/5 1/6510.6670.40.167A =3 3/211/3 1/3=3 1.510.333 0.3335 5/2311/25 2.5310.5、76321 /J 6321 /利用MATLAB软件求得判断矩阵A的最大特征值

18、Xmax和相应的特征向量而人，求得 d1与xi (i = 1,2,3,4,5 )的关系式子。具体结果见后文求解。5.3蜘蛛网的螺旋模型首先，蜘蛛由一根蜘蛛丝织成一个网状，其先固定好4个点，再利用空间条件 和稳定条件，构建a条放射丝。最后由最外圈做等间距的向极心的螺旋运动。由 此可建立模型为：p= d 0 +r，其中r为捕丝面与中枢区的距离。111上式可知：d1以求出，但是0和r1未知。：1 + 生-1其次，第一步可以知道n与q的的关系：n =。由此可以知:（1）从rn = nd1的最外圈上任意一点出发，向极心螺旋运动。（2）螺旋线的角度的知识可以知道0的范围为：（n-2）2K0（n-1）2K。

19、再者，一般的湿性捕丝具有极高的弹性，根据生物学家的相关证明知道捕丝的 最大伸长率为原长的45倍，即：此处Vx为伸长量，La为放射丝的间距。根据能量守恒，设外来食物重m以v速度垂直冲击带蜘蛛网上，极限假设食 物的全部动能全部转换为捕丝的势能得：广mv2 = E = 2 kVx2可以求解出La的大小范围。当最外圈捕丝的周长L与1,做商时可以求解出放射丝（半径）的条数：2 兀a = L/La。易求出放射线平分圆的角度6=:。一旦求出La之后就可求出二的大小。主要求解思想是根据中枢区与捕食面距 离的大小主要材料节省的方面分析。前文已求出放射线之间的夹角a与捕丝间距di，如果靠近中心点的位置处捕 丝间距

20、仍为d1，那么靠近中心位置处捕丝排列得将非常密，会比较浪费材料，所 以本文适当减少中间位置所用的材料，即产生了中枢区与捕食面之间无捕丝的现 象，但是中枢区与捕食面距离满足一定比值关系：捕丝间距，即网眼最短边为，靠近中心点区域放射线切向间距较小、变化也较小，所以我们令放射线切向间距为di ,则径向长为二=d ,也就是蜘蛛在距中心,处停止织网。这样中枢区与捕食面之间放射线的切向距离近似于捕食 1面中的网眼，中枢区与捕食面之间的距离近似于捕食面中的匕，符合之前捕丝间距d的影响因素最后，由以上可以得出p = d。+ d1。利用此结果再对前面环i1 d形的S以及环形最外圈的周长L进行修正：maxS=j(

21、u-1)2k 1 (d 0 + r *d。max(n-2J2n 2 11L = j n一金(d + rj + dd06、模型求解域误差分析6.1层次分析的求解结果和层次单排序及一致性检验 确定准则B (i = 1,2,3,4,5 )对目标A的权重向量: i两两比较B (i = 1,2,3,4,5 )对目标A的重要程度，构造准则B对目标A的对 ii比较判断矩阵：1 1/5 1/3 1/5 1/71 0.2 0.3330.20.143、512/3 2/5 1/6510.6670.40.167A =3 3/211/3 1/3=3 1.510.333 0.3335 5/2311/25 2.5310.5

22、、76321 /J 6321 /利用MATLAB软件求得判断矩阵A的最大特征值Xmax和相应的特征向量W 为：Xa = 5.2171,WA =(0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175 )一致性检验：CI =a72 - 5 =冬=0.0543 n -15 -14RI = 1.12CR = 00543 = 0.0485 0.11.12故通过检验。故准则B (i = 1,2,3,4,5 )对目标A的权重向量为： iWA =(0.0786,0.2075,0.2321,0.4782,0.8175 )di = 0.0786气 + 0.2075x2 + 0.2321x3 + 0

23、.4782气 + 0.8175x56.2螺旋线图形求解结果和图形比较(1)捕丝圈数1 + 箜-1:兀肖其中 d = 0.0786x + 0.2075x + 0.2321x + 0.4782x + 0.8175x 112345(2)由前文模型建立中所列的公式： Vx =4 5La1| wmv2 = kVx22L = 2 兀 nd 1r - d *L1 = 2兀 *La可以求解出:放射线的间距L :avmv2 l /mv2放射线数a为:8兀nd v k10Knd v kVmv2 a v mv2中枢区与捕丝面积r1：其中可计算出a =史即空二am= a 5nd A=1 1/5 1/3 1/5 1/7;5 1 2/3 2/5 1/6;3 3/2 1 1/3 1/3;5 5/2 3 1 1/2;7 6 3 2 1A =1.00000.20000.33330.20000.14295.0