第20章锐角三角函数及解直角三角形综述

1、第二十章锐角三角函数及解直角三角形锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2,3）sin45的值是（）1 B. C.D.1D. 2J5A所在的 ABC并不是直角三角形,所以需要作高.观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CDLAB,于是有sinA =cdAC 10【答案】B【解析】sin45【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。（2012四川内江，11,3分）如图4所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为C10C.10【解析】欲求sinA,需先寻找/A所在的直角三角形，而图形中/【点评】在斜三角形中求三角函数值时

2、往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造.解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义.三角函数的有关计算45 ,如果此时热（2012福州，9,4分，）如图，从热气球C处测得地面AB两点的俯角分别为30气球C处的高度CD为100米，点AHB在同一直线上，则AB两点的距离是（）A.200米B.200褥米C.220忌米D.100（君+1）米CD.CD解析：由题息，/A=30,/B=45,则tanA=，tanB=，又CD=100因此ADDBCDCD100100AB=AD+DB=+=+=10073+1000tanAta

3、nBtan30tan45答案：D点评：本题考查了俯角概念、30。、45。的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力,难度中等。（2012年浙江省宁波市，8,3）如图，RtAABC/C=9C0,AB=6,cosB=2，则BC的长为38题图 TOC o 1-5 h z 181131213（A）4（B）2,5（C）-3（D）-3-BC2【解析】由二角函数余弦的定义cosB=AB=3,又=AB=6,BC=4,故选A【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012福州，15,4分，）如图，已知ABCAB=AC=1ZA=36,/ABC的平分线BD交AC于点D,则AD的长是,co

4、sA的值是.（结果保留根号）篇15题图BC解析：由已知条件，可知 BDC 4ADB是等腰二角形，且DA=DB=BC可证 BDS ABC则有ACDCx 1 - x 一 2设BC=x,则DC=1-x,因此=，即x2+x-1=0,解方程得,1 x,5 -1x1二，x22-,5 -1人一人5 -1（不合题意，舍去），即 AD=2AB又 cosA= 2-AD,5-1,5-14答案：一5二1.5 1点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质,二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。（2012连云港，3, 3

5、分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD&过点B的直线折叠，使点 A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点 E的直线折叠，使点 A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5的角的正切值是A.3+1B.2+1C.2.5D.【解析】注意折叠后两点对称，也就是说ABE和4AEF都是等腰三角形。得到 67.5 的角为/ FAB【答案】设AB=x，则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出 AE=EF=/2x,于是 BF=(&+1) x.在直角三角形ABF中，tan/FAB=BF=（V2+1）x=应+1.门67.5.选B。ABx【点评】根据折叠得到A、E关于折痕对称，从而根

6、据轴对称的性质得到等腰三角形。求出两线段的长。（2012山东德州中考，7,3,）为了测量被池塘隔开的AB两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB_LBE,EF_LBE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：BC/ACBCD/ACB/ADBEF,DEBDDEDCBC能根据所测数据，求出A,B间距离的有（）(C) 3 组(D) 4 组【解析】对于，可由公式AB=BCB在同一直线上，则AB两点的距离是（）200米B.20073米C.22073米D.100（君+1）米CD.CD解析：由题息，/A=30,/B=45,则tanA=，tanB=，又CD=100因此ADDB

7、CDCD100100AB=AD+DB=+=0+0=100V3+100otanAtanBtan30tan45答案：D点评：本题考查了俯角概念、30。、45。的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力,难度中等。（2012福州，15,4分，）如图，已知ABCAB=AC=1/A=36,/ABC的平分线BD交AC于点D,则AD,cosA的值是（结果保留根号）的长是BC解析：由已知条件，可知 BDC 4ADB是等腰二角形，且DA=DB=BC可证 BDS ABC则有ACDCBC X 1 - X 一 9设BC=x,则DC=1-x,因此=，即X2+X1=0,解方程得,1 X5-1X1 -, x2

8、 -2,%： 5 72.5 -1（不合题意，舍去），即 AD-2AB又 cosA=2-AD1x5 -12 -_1_ _ .5-1,5-14答案：出二2点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质,二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。（2011山东省潍坊市，题号 9,分值3） 9、轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30。方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75。方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔 A北偏东60。方向上,则C处与灯塔A的距离是（）海里A.25j3 B. 2542 C.

9、50 D. 25考点：方位角和等腰三角形的判定解答：根据路程=速度时间得BC=50X0.5=25海里;根据方位角知识得，/BCD=30,=7530;CB=ZBCD+ACD=30+60=90;ZA=ZCBD=45所以CA=CB所以CB=25海里，本题正确答案是D点评：本题考查了方位角和等腰三角形的判定的有关知识。在解决方位角问题时，利用平行线的有关知识得到角度的关系，从而得到线段的关系是解决问题的常用方法和思路。（2012湖北襄阳，10,3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图5,已知李明距假山的水平距离BD为12

10、ml他的眼睛距地面的高度为1.6m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时，铅垂线OE经过量角器的60。刻度线，则假山的高度为A. (4 雷 + 1.6)mC. (4 & + 1.6)m(12V3+1.6)mD.43m【解析】如下图，过点A作AHCD于F,则AF=BD=12m,FD=AB=1.6m.再由OE/CF可知/C=/AOE=60.所以，在RtACF中，CF=AF1=473,那么CD=CF+FD=(4J3+1.6)m.tan60C BD【答案】A【点评】通过作高将问题转化为解直角三角形问题是解答关键，其间需要具有良好的阅读理解能力,能将对应线段和角之间的关系理清.(201

11、2浙江丽水4分，16题)如图，在直角梯形ABCDKZA=90,/B=120,AD3,AB=6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得/DEF=120.(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是(2)若射线EF经过点C,则AE的长是.【解析】：= 2 =J3 .所以/ ADE=60 ,所以 .3AE=-AB=3.在RtADE中，tan/ADE=AE2ADAD.3DE=2/3,ZAED=/EDF=/BEF=30,所以ED=EF过点E作EG!DC于G,贝UDF=2DG=2COSADE-23，、XDE-cos30=2X2j3x一=6;(2)【答案】：(1)6;(2)2或5【点评】：本题考查梯形

12、、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识，应注意知识点的融会贯通.本题具有一定的难度.（2012安徽，19,10分）如图，在ABC中，/A=30,/B=45,AC=2V3,求AB的长,.不是直角三角形，要利用三角函数必须构解析：本题在一个三角形中已知两个角和一边，求三角形的边筑直角三角形，过点C作CDLAB于D,利用构造的两个直角三角形来解答解：过点C作CD!AB于D,在RtAACD,/A=30。,AC=2j3CD=AC/3=6.93,AB=AG+BG=6.93+1.b8.4.答：大树AB的高约为8.4米.【点评】本题考查直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解

13、题.（2012重庆，20,6分）已知：如图，在RtABC中，/BAC=90，点D在BC边上，且ABD是等边三角形。若AB=2,求ABC的周长。（结果保留根号）ABD是等边三角形，可求出/C=30,利用三角函数可求出答案。AB答案:解：.ABD边二角形./B=60./BAC=90/C=30sinC=BC.BC=AB=4,.cosC=-AC-AC=BGcosC=233.ABC的周长是6+2%/3sinCBC点评：在直角三角形中计算线段长度问题，通常利用勾股定理和三角函数来解决，本题也可由勾股定理来计算AC的长。（2012浙江省温州市，21,9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l（如图）。

14、救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号。他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙。乙马上人C处入海，径直向B处游去。甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去。若CD=40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒。问谁先到达B处？请说明理由。（参考数据：sin55；定0.82,cos55：定0.57,tan55忠1.43）【解析】根据特殊角的三角函数值，利用直角三角形的边角关系，利用直角三角形的边CD建立等式.【答案】解：由题意得/BCD=55,/BDC=90,BD，tan/BCD=，CDBD=CDtan/BC

15、D=40 xtan55为57.2（米）BC =CDcos BCD40cos55 70.2 （米）57.270.2t甲=+10=38.6（秒），t乙=35.1（秒）22.t甲At乙.答：乙先到达B处.【点评】本题考查了利用三角函数值解决实际问题.重点考查学生是否认真审题，挖掘出题目中的隐含条件，运用数学知识解决实际问题的能力，难度一般.（2011山东省潍坊市，题号20,分值10）20、（本题满分全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超载和超速学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取

16、点A、B,使/CAD=30,/CBD=60求AB的长（精确到0.1米，参考数据：了3=1.73,&=1.41）;（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由2a（本即满分io分）解“】）由地意相，在KiAAZX：中.2分4分6分9分皿摆1噜*,孤耳在RtftDC中.BD=X7=37R12.1ian604Q所以用日:H。-EUm%.33-IX11=24.2224,2（米）.Q）汽车从小到8用时2触，所以速度为24.2+2-111（米/秒）.因为12x300=43560,所以该车速度为43.56千米/小时.大于40千米/小时.所以此校车在乂

17、方路段超速.考点：直角三角形的边角关系解答：（1）由题意得，在R忆ADC中,CD21AD=2=2173=36.33,tan30.33在RTABDC中，BD=CD=21=7.3=12.11tan60,3所以AB=AD-BD=36.3312.11=24.22=24.2（米）（2）汽车从A到B用时2秒，所以速度为24.2+2=12.1（米/秒）因为12.1X3600=43560,所以该车速度为43.56千米/小时大于40千米/小时，所以此校车在AB段超速.点评：本题考察了直角三角形的边角关系，已知一边和一锐角解直角三角形。在解决此类问题时，要找到所解的直角三角形，分析其中已知的边和角，分析类型，选择

18、方法求解。小民所在的学习小组在距（湖南株洲市3,13）数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度。离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60。，则旗杆的高度是【解析】设旗杆的高度为x米，由题意，得tan60=三，解之得：x=10、/310【点评】在直角三角形，已知一角与一个角可以利用直角三角形的边角关系来求线段的长（2012四川攀枝花，19,6分）（6分）如图6,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某彳统渔场.若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30。方向上.问渔政310船再航行多久，离我

19、渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值.）【解析】解直角三角形的应用-方向角问题.【答案】作CDLAB于D,设BD=x,./BCD30,.C1=J3x,因为/CAD45,.AD=CJ3x,AB=J3x-x,依据题意，T3x-x=0.5,x=N32,答：再航行叵口小时，离渔船C的距离最近。44【点评】利用勾股定理或三角函数都可很顺利的解出结果。此题的关键是用小时来表示AB间的距离。（2012江西，22,9分）小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图1.如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆ABCD相交于点O,B、D两点立于地面，经测量：AB=CD=136cm,OKOG51cm

20、,OE=O乒34cm,现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm.(1)求证：AC/BD(2)求扣链EF与立杆AB的夹角NOEF的度数(精确到0.1);(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm,垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由.(参考数据：sin61.99%0.882,cos61.90.471,tan28.19%0.533,可使用科学计算器)解析：(1)利用等腰三角形的性质或三角形相似，可得AC/ BD(2)过点O作OGL EF交EF于G,构造直角三角形，利用三角函数可求得/(3)利用三角形相似或三角函数可求解。答案：解：(1)证法一：. AB C

21、D相交于点 Q . /AOC/BOD1 OAOC / OAG/OCAh (180 -/AOC, 21同理可证：/ OBD=/ODB= (180 -/BOD, 2 / OAG/OBD. AC/ BD证法二：OEF勺度数;. AB=CD=136 cm, OA=OC=51 cm,.OB=OD=85 cm,OAOBOCOD5又/AOC/BODAOBOD/OAG/OBD.AC/BD（2）在OEF中，OE=O已34cm,EF=32cm；作OM_EF于点M则EM=16cm;EM16-一cos/OEF=st0.471OE34用科学计算器求得/OEF61.9。；（3）解法一：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面.在

22、RtAOEM,OM=Joe2-EM2=J342-162=30cm;同（1）可证：EF/BD,ABR/OEF过点A作AHLBD于点H,则RtAOEIVbRtAABHOE OMAB - AHAHOM AB _ 30 136OE34=120cm .小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm晒衣架高度AH=20cm.解法二：小红的连衣裙晒衣架后会拖落到地面.同（1）可证：EF/BD,./ABB/OEF81.9,过点A作AHLBD于点H,在RtAABH!,AHsin/ABD=ABAH=ABsin.ABD=136sin61.9=1360.882：120.0cm；小红的连衣裙挂在晒衣架后总长度122cm晒衣架

23、高度AH=20cm.点评：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活。背景情境的设置具有普遍性和公平性。涉及到知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质或三角形相似、锐角三角函数等。题目设置由易到难，体现了对数学建模思想的考察，以及由理论到实践的原则，比较全面地考察了学生对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力。题目平实、新颖、综合性强。（2012湖北黄石，22,8分）如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面AB高为25cm,求支上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD（均与水平面垂直），再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高，公司规定

24、：AD与水平线夹角为81，且在水平线上的的射影AF为1.4m,现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为02,并已知tan巾=1.082,tan3=0.412.如果安装工人已确定支架架CD的高（结果精确到1cm）?【解析】如图所示，过A作AE/BC交CDT点E,则所求CD转化为C斗DEL,而CE=AB=25cm,只要求出DE,而DE=DIEF,分别在RtDAF与RtEAF中表示出DF与EF.【答案】如图所示，过A作AE/BC交CW点E,则/EA曰/CBG=02,DG且EOAB=25cm2分RtDA叶：/DAF=01,DF=AFtan011分RtAEAF中：/EAF=02,EF=AFtan02DE=DF-

25、EF=ARtan01-tan02)又AF=140cm,tan01=1,082,tan02=0,412DE=140X(1.0820.412)=93.8，DC=D曰EC=93.8+25=118.8cm119cm答：支架DC的高应为119cm【点评】本题着重考查了解直角三角形的应用，难点在于作出辅助线，将问题转化到直角三角形中及线段和差.（2012年四川省德阳市，第6题、3分.）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60方向航行2小时到达B处，那么tan3/ABP=A.12B.2C.2.55【解析】如图6所示，根据题意可知/

26、 APB=90 ,且AP=20, PB=60X - =40.3PA 201所以 tan / ABP=PB 40 2故选D.【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键（2012连云港，24,10分）（本题满分10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2方向，且其到 A观测点正北方向的距离BD的长为16km。一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后到达C处。现测得C处位于A观测点北偏东 79.8。方向。求此时货轮与 A观测点之间的距离 AC的长（精确至ij 0.1km).（参考数据：sin53.2= 0.80, cos53.2 =0.

27、60, sin79.8= 0.98, cos79.8 =0.18, tan26.6= 0.50 ,拒1.41,石=2.24)【解析】 过点B作AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用 RtABH和RtBCH求线段AH CH的长，利用 AHk CH确定AC的长。15【答案】BC=40/5所以AC=AH-CH=8752而=6褥=13.4k.【点评】本题的关键是把方位角放到相应的直角三角形中，找到直角三角形利用三角函数求出线段的长。（2012山东省聊城，22,8分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图），小船从P处出发，沿北偏东60。方向划行200米至ij

28、A处，接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到1米）？（参考数据屈曲“0.肛期37喂0,80,由370.7512kL41,句.73）解析：题目相当求线段PB长，需要把图形转化为解直角三角形来解决，过点P作PCXAB于C,先解RtAAPC；求出PC长，在解RtPBC即可求出PB长.解：过点P作PCXAB于C,在RtMPC中,AP=200m/ACP=90,/PAC=60PC=200Xsin60=200 x-=100/3m.在RtPBC中,sin37=PC,.PB=PC=1001.732%289(m)PBsin370.60答

29、：小亮与妈妈相距约289米.3分）如图,为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30。，朝物体ABA.10 .3 米 B.10（2012山东泰安，13,A点的仰角为60o,则物体的高度为（米 C.20 岔米 D. 但色3【解析】设AB高为x米，在RtABD中，/D=30o,所以BD=/3AB=/3x,在RtABC中，/ACB=60）,所以 BC=AB=x,因为 BD-BC=CD 所以 33x-x=20,解得x=10j3,即物体的高为10J3米. 3【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，分别在两个直角三角形中，设出未知数，由锐角三角函数把与已知线段在同一条直线上的两条未知线段表示出来，

30、然后构建方程，解方程即可求出未知线段的长.（2012四川成都，17,8分）如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部（B处）6米白DD处，仰望旗杆顶端A,测得仰角为60。，眼睛离地面的距离ED为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB的高度.（结果精确到0.1米，J3电1.732）解析：由题意可知，四边形BCED矩形，所以BC=DE然后在RSACE中，根据tan/AEC=AC,可求出ECAC的长。答案：由题意可知，四边形BCE虚平行四边形，所以CE=BD=6k,CB=ED=1.5米AC在RtACE中，tan/AEC=ECAC即tan60=6.AC=73x6&1,732x6%10.4（米）.AB=AC+

31、CB=10.4+1.5=11.9（米）点评：解直角三角形问题时，要选准三角函数并加以应用，是解题的关键。（2012贵州贵阳，19,10分）小亮想知道亚洲最大的瀑布黄果树夏季洪峰汇成巨瀑时的落差,如图，他利用测角仪站在C点处测得/ACB=68，再沿BC方向走80m到达D处，测得/ADC=34，求落差AB.（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m可以使用计算器）第19题图解析：由已知可得AC皿等腰三角形，故得AC=CD=80在RtACB中解直角三角形可求AB.解：/ACB=68,/D=34,./CAD=68-34=34,/CAD=ZD,AC=CD=80.在RtABC中，AB=ACXsin68=80Xs

32、in68=74,，瀑布的落差约为74m.点评：解直角三角形在实际生活中的应用是中考热点之一，解题时，首先是根据题意画出图形（已经画图的则需要弄懂图形所表示的实际意义），解直角三角形时就结合图形分清图形中哪个是直角三角形，已知锐角的对边、邻边和斜边.此外还应正确理解俯角、仰角等名词术语.（2012浙江丽水，19,6分）学校校园内有一小山坡，经测量，坡角/ABC=30,余坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3（即为CD与BC的长度之比），A,D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.【解析】：因为AD=AC-CD故欲求AD,只需先求ACCD.为止可先

33、解直角ABC求出BC,再根据坡比即可求出CD.【解】：在RtABC中，/ABC=30,1.,.3AC=-AB=6,BC=ABco更ABC=12X=6.3.斜坡BD的坡比是1:3,CD=1BC=23,3.AD=AC-CD=6-2,3.答：开挖后小山坡下降的高度AD为（6-2兔）米.【点评】：把应用问题转化为直角三角形问题，再运用直角三角形的关系进行求解.利用锐角三角函数解决实际问题中白易错点有三处，一是锐角三角函数关系式的选择，二是特殊角的三角函数值的识记三是计算是否正确.（2012湖北随州，20,9分）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰

34、老君岭（D处）的仰角都是45,游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（石=1.732,结果精确到米）。上3解析：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利DD（老君岭）用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米，可建立/fC（太婆尖）第20题图关于hi、h2的方程组，解这个方程组求得两山峰高度。答案：设太婆尖高hi米，老君岭高h2米，依题意，有h1h1-=100tan30 tan45h- =100tan45 tan60(米)h1 =1 =50( . 3 1) =50(1.732 1) =136.6 ：. 137tan60 - tan

35、45h2100_ 100tan 45 - tan 30,431 3=50 . 3(. 3 1)= 50(3 . 3) = 50(3 1.732) = 236.6 : 237（米）答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米。点评：本题考查了直角三角形的解法。解题的关键是要首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题.（2012浙江省绍兴，19,8分）如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，按坡角/BAC32（1）求一楼与二楼之间的高度BC （精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每少上升2级的高度运行，10秒后他

36、上升了多少米（精确到0.01 米）？备用数据：sin 32 =0.5299 ,cos32 =0.8480 , tan 32 =0.6249.* I? H I【解析】（1）在RtABC中，已知/BAC=32,余边AB的长为16.50米，根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度BC（2）先计算1级电梯的高，再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度.BC【答案】解：（1）sinZBA（=,BGABXsin32=16.50X0.5299=8.74米.（2）tan32=级高级宽,，级高二级宽Xtan32=0.25X0.6249=0.156225,10秒钟电梯上升了20级，小明上

37、升的高度为：20X0.156225米.【点评】正确地构造出直角三角形，然后根据直角三角形的性质求解，是解决此题的关键.（2012四川省资阳市，20,8分）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得力公大楼顶部点A的仰角为45。，测得办公大楼底部点B的俯角为60。，已知办公大楼高46米，CD=10米.求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）.APMCDB（第20题图）P”连结PAPB过点P作PMLADT点M延长BC交PM于点N TOC o 1-5 h z 则/APM45,/BPM60,NM10米1分设PMfx米在RtAPM/A,A附PMKtan/A

38、PMxtan45=x(米)3分在RtAPNEJ,BNhPNktan/BPM(x10)tan60=(x10)73(米)5分由AMBNM6米,得x+(x10)73=466分4610.3解得，x=-，1.3，点P到AD的距离为46 10、. 31.3米.（结果分母有理化为（18石-8 ）米也可）【答案】46+10y3（结果分母有理化为（18J3-8）米也可）1.3【点评】本题综合考查了直角三角形中的三角函数、特殊角的三角函数值及构造出的方程思想.解决本题的关键是作垂线构造出直角三角形从而再运用三角函数解题.难度中等.（2012江苏泰州市，24,本题满分10分）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平

39、线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60,然后他从P处沿坡角为45的山坡上走到C处，这时，PC=30m点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内.（1）求居民楼AB的高度；（2）求GA之间的距离.（精确到0.1m,参考数据：J2=1.41,J3=1.73,J6=2.45）60（第24题图）【解析】过C作BP的垂线，垂足为G,利用特殊RtAPCCHRtABP中的边角关系，我们容易计算出CG立=15比 ，所以 AB=15、2 =21.2 2（即AB）的长，最后用AC=BP+PG就是C、A之间的距离.【答案】（1）过C作BP的垂线，垂足为G,在RtPCG,CG=PCsin45）=30X（

40、m）(2)PG=PCcos450=30X=1572,BP=152=5/6,所以CA之间的距离=BP+PG=15+56=33.52.3(m)【点评】解直角三角形是每年中考的必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度一般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查考生应用知识解决问题的能力，很容易上手，容易出错的地方是近似值的取舍.(2012四川内江，18,9分)水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，/B=60,背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面为梯形ABEDCE的长为8米.(1)已知需加固的大

41、坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？(2)求加固后大坝背水坡面DE的坡度.【解析】(1)求出横截面DCE的面积，然后乘以坝堤长度即可得出体积.可以分别过点A,D作BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题.(2)求大坝背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一点到BE的铅直高度与它到点E的水平宽度的比，这一点通常取梯形的顶点.【答案】解：(1)过点A作AGLBC于G,过点D作DHLBC于H,AG=DH在RtABG中,AG=sin60-AB=X16=8s/3,2DH=8点.SDC,DH-CE=1x873X8=32*.22，需要填土石方323X150=480033(m3).(2)在RtDHC中，HC

42、=.DC2-DH2=J(1603)2_(8点)2=24,HE=HOCE=24+8=32.加固后大坝背水坡面DE的坡度=也=迪=HE324【点评】解直角三角形是每年中考必考知识点之一，主要考查直角三角形的边角关系及其应用，难度般不会很大，本题是基本概念的综合题，主要考查学生应用知识解决问题的能力，很容易上手，本题容易出错的地方是不理解坡度的概念，认为求坡度是求/E的度数.一辆小3.732 ,（2012湖南益阳，17,8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（A。为30米.这时,轿车由西向东匀速行驶，测得

43、此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，/BA（=75.（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75=0.9659,cos75=0.2588,tan75/ TOC o 1-5 h z 73z1.732,60千米/小时16.7米/秒）匚75*【解析】第（1）小题主要考查正切的用法，-7启BCtanBAC=BC=ACtanBAC=30tan75303.732：112（米）.112第（2）小题王要是计算此车的车速=14（米/秒）16.7（米/秒）=60（千米/小时）8【答案】解：法一：在RtABC43,/AC自90,

44、/BAG75,AC=30,BC=AGtan/BAC=30Xtan7530 x3.732=112（米）.法二：在BC上取一点D,连结AD使/DAB/B,则AD=BD./BA（=75,/DAB=ZB=15,/CDA30,在RtAACD43,/ACD90,AC=30,/CDA30,AD60,Ct=30CB四点在平行于斑马线的同一直线上.）（参考数据：tan15=2-33,sin15=6cos15o=Y6_W244石1.732,无1.414）【解析】求出CD长与2m比较即可.但CD不可直接求出，可在RtAABMRtABE中利用30和15角的正切值用AB的代数式表示出BQBE,再列方程求解.=空,【答案

45、】解：设AB=x,在RtABD中，/ADB=/FAD=30,BD=x在RtABE中，/AEB=/FAE=15,tan15BEBE=2又第=（2+73）x，ED=BE-DB=2+V3）x-73x=4.x=2,BD=2/3,.DC=DB-BC=2/3-0.82该车路口停车符合规定的安全标准.【点评】本题是常规的解直角三角形应用题，解题关键是利用方程思想先求出相关的量.难度中的.（2012湖北省恩施市，题号21分值8）新闻链接，据【侨报网讯】外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退。2012年5月18日，某国3艘5条刚刚完成黄岩岛护渔任务的“310”船人船未歇立即往北纬11度22分、东经110度45

46、分附近海域护渔，保护100多名渔民免受财产损失和人身伤害某国发现目前最先进的船正疾速驰救，立即掉头离去。解决问题如图10,已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“310”船西南方向，“310”船位于陆地指挥中心南偏东60。方向，AB=幽蛆海里，“中国渔政3310”船最大航速20海里/时。根以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间。【解析】过点A作AD!BC于点D,在RtABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在RtAADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可.【答案】

47、解：过点A作AD,BC于点D,在RtABD中，:AB=1406,/B=60。,3.AD=AB?sin60=70亚，在RtADC中,AD=702,/C=45,AC=V2AD=140,中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为140+20=7（小时）。答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键.解双直角三角形，如果两个三角形中有一个能解，则直接解此三角形为解另一个三角形提供条件，如果两个三角形都不能直接解，一般设出两三角形公共边列方程求解。（2012甘肃兰州，22,

48、6分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1）,虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角日，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2）,设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角司减至斗,这样楼梯占用地板的长度由di增加到d2，已知di=4米，/4=40：,=36,楼梯占用地板的长度增加了多少米?（计算结果精确到0.01米。参考数据：tan40=0.839,tan36=0.727）d2(1)第22题图解析：根据在RtACB中，AB=dtan0i=4tan40,在RtADB中，AB=dtan02=d2tan36,即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度./ A

49、DB4 0 2解：由题意可知可得，/ACBW01,在RtACB中,AB=dtan。i=4tan40在RtMDB中,AB=dtan。2=d2tan36得4tan40=dztan36,d2=4 tan 40tan 36； 4.616.d2-d1=4.616-4=0.616=0.62,答：楼梯占用地板的长度增加了0.62米.点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出d2的值是解题关键.（2012贵州遵义，21,AB,如图，在山外一点Bsin54 y 0.81 , cos54分）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道C测得

50、BC距离为200m,/CAB=54,/CBA=30,求隧道AB的长.（参考数据:0.59,tan54=1.38,我=1.73,精确到个位)解析：首先过点C作CDLAB于D,然后在RtBCD中，利用三角函数的知识，求得BD,CD的长，继而在RtAACD中，利用/CAB的正切求得AD的长，继而求得答案.答案：解：过点C作CDLAB于D,BC=200m/CBA=30,在RtBCD中，CDBC=100rmBD=BC?cos30=200X=100二=173(m,22./CAB=54,在RtACD中，AD=-2-74(m),tan5401.36.AB=AD+BD=173+74=247项.答：隧道AB的长为

51、247m.点评：此题考查了解直角三角形的应用.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意把实际问题转化为数学问题求解.（2012,湖北孝感，7,3分）如图，在塔AB前得平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30。，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角为45,则塔AB的高为（50击米100&米CD.三米3 -1O,/ AB090 ,所以 BDAB于是在 RtACB中，由tan30 =AB ,得亘BC 3一AB,解得 AB=100 AB100【点评】本题考查仰角的定义和解直角三角形的应用，关键是能借助仰角结合图形利用三角函数解直角三角形.（2012呼和浩特，17,5分）（5分）计算：一1

52、|1，？|+2sin45【解析】三角函数、绝对值、乘方.1T1-2|2sin45=-.21-2【点评】本题考查了45。正弦函数值，绝对值的化简以及乘方的运算。（2012湖南衡阳市，24,6）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD试根据图中数据，求出坝底宽AD.（i=CE:ed,单位：m解析：作BHAD于点于F,在直角ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在直角CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，进而即可求得AD的长.答案：解：作BFAD于点F.贝UBF=CE=4m在直角4ABF中，AFR-bf2=石衰产3m在直角4CED中，根据i=SI,则ED=-=4j5mEDi1击贝UAD=AF+EF

53、+ED=3+4.5+4=(7.5+4y)m答：坝底宽AD为(7.5+4近)m.点评：本题考查了坡度坡角的问题，把梯形的计算通过作高线转化成直角三角形的计算是解决本题的基本思路.（2012呼和浩特，22,6分）如图，线段ABDC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为a,在A处测得D点的仰角为3。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m请你通过计算用含“、3、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。【解析】三角函数解：过点A作AMLCDTM.CD在RtABCD,tana=-BC，CD:BGtana=mtana在RtAM珅,tan3=D

54、MAM，Dh=AMtan3=mtan3.AB=CD-Dl=mtana-tan3）【点评】本题考查了锐角三角函数的运用，利用含有字母和三角函数的式子表示线段的长。（2012湖南省张家界市21题8分）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中/A=ZD=90。，AB=BC=1讦米，CD=3;2千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据V2-1.414J3/.73J6定2.45）一可寻速之二ml军【分析】（1）解RtABCMRtACDt出ACAD即可求周长；（2）利用余弦定义求解【解答】（1）结AC,AB=BC=

55、15F米，/B=90,/BACWACB=45,AC=15,2千米.-AD=vaC2-CD2=,（154万）2-（3）2=12V3（千米）.周长=AB+BC+CD+DA=30+32+12而=30+4.242+20.784=55（千米）222面积=及abc+Saadc=1X15X15+1X12J3X3J2=225+18j6=157（平方千米）cos/ACD型;迄JAC15、25【点评】解直角三角形时，如果已知两边，通常先根据勾股定理求出第三边，再根据三角函数求出其中的一个锐角，最后再利用两锐角互余求出另一个角.如果已知锐角和一边在解直角三角形时，先由两锐角互余，求出另一个锐角，然后利用恰当的三角函

56、数求出另外两条边，或者利用三角函数求出另一条边后，再利用勾股定理求出第三边.如果是非直角三角形通常是添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题.（2012珠海，16,7分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜AB（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与。处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45、木瓜B的仰角为30.求C处到树干DO勺距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：73ft：1.73,J2fc：1.41）CO第16题图【解析】如图，根据题意，得/COD=90,/ACO=45,ZBCO=30,AB=2,求CO设CO为x米，根据AO=CO

57、,列方程，解得即可.【答案】解：设CO为x米在RtABCO43,tan30=里,则BO=xCO3在RtAACOf,AO=CO得方程x+2=x3解得x=5.答:CO长大名是5米.【点评】本题考查锐角三角函数的应用，此类题适用方程来解.（2012云南省，20,6分）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30,荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上，已知AC=32米,CD=16米，求荷塘宽BD为多少米？（取J3之1.73,结果保留整数）【解析】本题主要考查正切的用法,AC在 RtLJACB 中：tan/ABC二BCBC=AC?tanBAC=30?tan30=303BD=BC-CD=32、,

58、3-16=321.73-16：39【答案】解：在R（JABC中：ACtan.ABC=BCBC=AC傻tan/BAC=30tan30中=3073BD=BC-CD=323-16=321.73-1639答：荷塘宽BD为39米。【点评】本题以实际生活中的例子为背景，综合考查了考生正切的用法，线段的加减。（2012江苏省淮安市，24,10分）如图，ABC43,/C=90o,点D在AC上，已知/BDB45o,BD=10J2,AB=20,求/A的度数.【解析】先根据锐角三角函数的定义，在RUBDC求出BC的值，再在ABC利用特殊角的三角函数值即可求出/A的度数.BC【答案】解：在RtABDO,因为sin/B

59、D(=,BD所以BC=BDsin/BDC10V2xsin45o=10V2x*=10.在RtAABO,因为sinZa=-Bc=10=1,所以/A=30o.AB202【点评】本题考查的是解直角三角形问题，涉及到锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中.解题的关键是选择正确的边角关系解直角三角形.（2012山东省青岛市，20,8）（8分）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD当光线与地面的夹角是22。时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE;而当光线与地面夹角是45。时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（BF、C在一条直线上）求教学楼AB的高度；学校要在A、E之间挂一些

60、彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.nu TJ nu nu D n D D（参考数据：sin22工，cos22翌，tan22）8165【解析】（1）过点D作DMLAB,若假设AB=x米，可表示出AMME的长，然后在RtAEM中，利用22正切建立关系式来解.（2）根据（1）求出ME的长，再RtAME中，可求得AE之间的距离.【答案】解：过点E作EMLAB,垂足为M.设AB为x.RtMBF中，/AFB=45,BF=AB=x，BC=BF+FC=x+13在 RtAAEMT, / AEM=22 , AM=AB-BM=AB-CE=x-2 . . tan22AMMEx-2 2X+=5, x=12