第六章　数　列《过关检测卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）(解析版)

1、01卷第六章数列过关检测卷 2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题.已知数列4满足：（%+1 =（4+ 2）则下列选项正确的是（）勺+1anA. 0/ %B. 41 时，an+l 3 + 18D. q =4 时，a+i H2n + 24an+lan+l【答案】D【分析】 TOC o 1-5 h z 由函数/。）=史迎=1+1+ 2的单调性，可判定A、B不正确：由区+- =他+ 2）_,得到 x x411 c 31I,a+i += an + ,得到 4+-2n ,可判定 C 错误，D 正确.%an anan+la.【详解】对于A中，由于0见（4 + 1）,4+1%

2、,又由函数f（x） = 3 + 1）= x2x + l = x + J_ + 2,当* e （0,1）时为单调递减函数， XXX可得/（4+J /（,），所以。用1,。“+|1,且/（4+1）/（4）,由/（外=任包=三上11 =+ , + 2在（1,田）上单调递增，XXX可得4+1 ,所以B错误对于C、D中，由于（包丁J =（电丁 2）,可得勺r+_L = a“+J_ + 2 +3， na41W TOC o 1-5 h z i141c当 4=, = 1 时，可得外1= ai h2 = + 180,可得% 0,从而11 c利用叠加法，可得%+|+,+ + 2/1, an+4故当4 =4时，+,

3、 + 2n + 2 ,所以D正确. %故选：D.【点睛】方法点拨：构造函数/（助=任=1+ 2,结合函数的单调性，是判定勺+1与的大小关系的关键；同 x x TOC o 1-5 h z 11c 311c时化简4+i + =4+ + 2 + ,得到。“+1 + + 2是解答的关键. an.anan4+142.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子的美誉，用其名字命名的“高斯函数”： 设x=R用可表示不超过x的最大整数，则y =卜称为高斯函数，也称取整函数.在数列a,中，记% 1Ui为不超过4的最大整数，则称数列,“为q的取整数列，设数列4满足q =1, a“+i= L ,记数

4、列a,的前项和为S”，则数列卜的前1010项和为（【答案】C【分析】由q=l,则%= =1,同理可得% =1， =1，得到S2+i =2 + 1,得到S2n_1S2n+12 v 2/j 1 2n +1,结合裂项法，即可求解.1则5, 15, q2n-l 2n+l11由题意，数列。“满足q =同理可得生=!=2an所以数列4为以I为首项，2为公比的等比数列.【详解】+1=2 -2%=24一2=2+i22n+l 2n所以数列（条，为以3为首项,一1为公差的等差数列. 2所以组=3 + (- 2Mnb. = (7- )21ak =瓦=2 =0_k- =1_k = nk = 6.故选：c.【点睛】本题

5、考查一阶线性递推公式的通项公式.属于难题.掌握常见的一阶线性递推公式的变形是解本题的关q / q 、键0%+不4+1？.数列4的前项和为5.，4=用，且对任意的“CN*都有q=2 + 1,则下列三个命题中,所有真命题的序号是（） 存在实数，使得他“为等差数列;存在实数加，使得他“为等比数列；若存在上eN*使得S* =S*+|=55,则实数加唯一.A.B. 0C.D.【答案】A【分析】假设,为等差数列，根据an + an+1 = 2 +1,求得=1 + ”,得到/ = 1,使得an + an+ =2n+,、2n + l恒成、工，可判定正确；假设4为等比数列，求得加=不一7，可判定不是真命题；由

6、q +qan + an+l = 2 +1,可得/+/ =2x1 + 1,+6 = 2x2 + 1, ,an + a,1+l =2n + 1,各式相加得到S“+S“+ a1= 2+ 2，进而得至ij析=110 A2 2左，可判定不是真命题.【详解】中，假设,为等差数列,则q=q+（-1时=7 + （一1，则 an + an+1 =？ + （一 ）d + m + nd - 2m + （2 -）d = 2 +1,可得m一!，显然当d = l时，可得初=1,使得%+。用=2 + 1恒成立，所以存在帆=1使得数列“为等差数列，所以正确；中，假设数列/“为等比数列，则an= a0i = m q-2 + 则

7、 an + an+l = m- qn +m qn =+ qn) = 2n + ,可得 m ,q + q即 mqn + tnqn -1 = 0 ,即 mqn + mq,l+ - 2nq-q = 01该式中有次为定值，2夕是变量，所以这样的实数加不存在，所以不是真命题；中，山。+4+ =2 + 1,可得q+% = 2x1 + 1, %+。3=2*2 + 1, ,4+&i=2 + l,将上述各式相加，可得(6 +% Ha,) + (a2 +% -1h +1)= (2xl + l) + (2x2 + l) +(2x + l) = 2xi + = 2 + ，2即 Sn + S“+ -q = 2 + 2，

8、即 S“ + S,I+I =n2 +2n + m ,若存在这样的实数k，则有Sk + Sk+l=k2 + 2k + m = 0,从而根= 110 公2k，可知满足该式的用不唯一，所以不是真命题.故选:A.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在 阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目 的：2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”, 逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.已知S”是等差数列

9、,的前n项和，52019 S2021V S2020,设2=anan+an+2,则数列 B. a2021VoC.2019 2020 2021 .2022D. = 2019时，7；取得最大值【答案】D【分析】由 *2019 V $2021 9 得到 .201902020 “20212022 且 d0,进而得到021 0）得到当 = 2020时，取得最小值.“2019 “2020”20202021。2019a20221。”+1%+2 /【详解】设等差数列J的公差为d，因为 42019 S2021 V S2020 可将 *2021 t2020 =生021 0，*2021 2019 = 2021 + 2

10、020 （）*即2020 _2021 0，%020 _1 一2021 _1 0 ,即生019 一2022 0，力以 20192020 。2021。2022 I L 4 0,。20，。2020 ，。20210,b, 44+4+211八当 = 2019时，可得 = 0 .“2020202020212022当2 2021 时,11八可得r= ，2020 ，“2021 ，。2022 。，11102Oig+“，O22所以 + =X-?迪巫0,“2019”202002020“20212019a2022(I 1)所以当 = 2020时，取得最小值.综上可得，不正确的选项为Dan+ian+2 7故选：D.【点

11、睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、己知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法 等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题 时要注意这一特殊性：2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.已知数列4, 4,=，万，其中/()为最接近册的整数，若勺的前加项和为20,则朋=()A. 15B. 30C. 60D. 110【答案】D【分析】由题意知，函数/(

12、)为最接近的整数，得到/(“)中有2个I, 4个2, 6个3, 8个4, ，进而得到q+=2,/ +%+火+4 = 2,%+4+ %2 =2,，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意知，函数/()为最接近的整数，又由1) = 1J(2)= 1,/(3) = 2,/(4) = 2,/(5) = 2,/(6) = 2,/(7)= 3,/(8)= 3,/(9)= 3,/(10)= 3,/(11) = 3,/(12)=3, TOC o 1-5 h z 由此可得/()在最接近祈的整数中，有2个1, 4个2, 6个3, 8个4,又由数列。“满足an =,-re,11可得 4 = % = 1, %

13、 =%=% =。6 = 3，% = % =, =12 = 一， , ，则 q + =2, / + q + % += 2, % + 4 + + q)= 2, , , ,因为“的前加项和为20,即S, = 10 x2 = 20,可得数列构成首项为2，公差为2的对称数列的前10项和，10 x9所以m= 10 x2 +x2 = 110.2故选：D.已知数列q的通项公式为a“ = sin与，则q+。2+。3 +。2021 =()A. 1011 B. y/3C. -73D. 1011 百【答案】D【分析】H7T观察得到)，=4!?-的周期为6，再求出。6“.1+。62+ 4”+6的表达式，进而求解结论，得

14、到答案.【详解】 TOC o 1-5 h z 山题意，数列为的通项公式为=sin竺，且函数y = sin型的周期为6， 33cv 1、. (6 + 1)乃.(6 + 2)1所以。6+1 + 4+2 + + 6+6 = (6 +1) Sin - + (6 + 2) sin+/n n , (6 + 6)万.re c、 . 27r. 6万+(6 + 6)- sin= (6/7 +1) sin + (6 + 2)- sin + +(6 + 6)- sin =(fin +1) 与 + (fin + 2)- g + (6/2 + 3) 0+(6 + 4) (- 岑)+ (fin + 5)-(-乎)+ (6

15、/7 + 6) 0 = -3/3，又因为 2021 = 6x336+5 = 6x337-1，所以 q +%+%+ 2(p = 337 x (3/) 4 = -1011/3 .故选：D.【点睛】方法点拨：由函数y = sin3-的周期为6，根据三角函数的周期性和数列的表达式，求出。6”+| +。6+2 +。6+6的值，结合周期性求解.VITT.已知数列”“的通项公式为4 =( +l),sin5( e N+),其前“项和为5，则项=(A. -36B. 12C. 24D. 48【答案】A【分析】根据数列的通项公式，设q = %*-3 +。4A-2 + 4t-l + a4k 结合Sg = Q + C?

16、,即可求解.【详解】jljr由题意，数列4“的通项公式为a” =( + lsin-5-(e N+),设0”，且q-*+*+a.(4阴z.,I、 . (4Z - 2)万.7. (4 氏- 1).八.415+(42 - 2)(42 -l)-sinf(4Z -1)42 sm F 4 攵(4 攵 + l)-sin222=(4 左一 3)(4左一 2)xl + (4Z 2)(4- l)x0+(4 左一 l)4Vx(-1)+4 4(4Y+l)xO=-16k+6 则/=J + g = 16 x (1 + 2) + 6 x 2 = -36.故选：A.9.设数列%满足q =3, a2=6, an+2 = a+,

17、 +9(neN),()A.存在 eN*，a“eQB.存在p。，使得a“+i - pa”是等差数列C.存在eN*，an=y/5D.存在p。，使得a“+1-pa“是等比数列【答案】D【分析】山4+2 =3( eN) 得到4+2。“=。3+9,递推作差求得“:%2 = %, +4电,进而得到 an4+1+24+2=3%”-4,结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.【详解】由 4,*2=7wN.)，即。“*24=43+9，则唠* = 3+9， %两式相减，可得4+24=4+2-。3,可得吃3=:，U/+l4+2即生41 = %L但恒成立,所以数列为常数列，4:+17+2”+1 J因为又由

18、q=3,。=6,可得生=15,则&t& =3,a2 6所以，：2 =3 ,即 4+2 = 3fln+l -an,因为qeN*M2eV,可得4+26m，可判定A、C不正确；由4 =3, a, = 6,可得% = 15,% = 39,% = 1。2,，假设B成立，则6-3p,15-6p,39-15p,102 - 39P成等差数列,则9-3。= 24-9。= 63 24，此时无解，所以B不正确：a dci对于D中，假设 *加=,所以+an+ Pan由?+ *=3,解得一酒酒，I P0,所以671 - 1“20,1 = 2020故选：B【点睛】 含递推公式的数列问题，将给定递推公式变形成能明确反应项间

19、关系并具有可操作性的式子是解题关键.若数列,的通项公式是% =（-1）”（3-2）,则q+a2H等于（）A. -30B. 30C. -20D. 20【答案】B【分析】 根据题意得到。2“+。2”一1 =3,结合并项求和，即可求解.【详解】 由题意，数列,的通项公式是4, =（一 1）（3一2）, 则 知 +2.i =6-2-(6n-5)= 3,所以 4 +% HF%)= (a1+/)+(4 +a4)n1(49 +4() = 10 x3 = 30.故选：B.已知数列4,的前项和为S“，4=1,当 22时，a+2S_l =n,则S239的值为()A. 1008B. 1009C. 1010D. 10

20、11【答案】C【分析】由 2 2时，an + 2s,1 = n ,得到an+i + 2Sn =n + ,两式相减，整理得an+l +aH = 1( 2),结合并项求 和，即可求解.【详解】当22时，an + 25_1 = n ,可得4+i +2S“ = + 1,由一得，an+i- + 2(S-S_l) = l,整理得a.+4 =1(22),又由q = 1所以 S,0|9 = q + (% +%)+(4 + % ) T卜(“2018 +。2019 )=1010.故选：C.C13.若数列4的前项和为5.，”,=,则称数列,是数列4的“均值数列.已知数列是数 n列,的“均值数列”且通项公式为bn=n

21、,设数列J一)的前项和为7；,若7； 1a2 一机_ 对一切J2eN*恒成立，则实数机的取值范围为()A. (-1,3)B.-1,3c. (-oo,-1)U(3,-K)D.(,-lU3,+)【答案】D【分析】根据题意，求得S“ = 2,进而求得数列的通项公式为为 =2-1,结合裂项法求得数列的前和7；.得出不等式!“2 一”一1 2 J.,即可求得实数加的取值范围. 22【详解】由题意，数列/的前项和为S“，由“均值数列”的定义可得= ，所以S“=2,当 =1 时，q = = 1 ；当 2 2 时; an = Sn - S_, = 。一 （ 一 1） = 2 - 1,1所以an-an+l。1=

22、1也满足。“=2-1,所以。“=2”-1,2一 1（2n-l）（2n + l） 一式2-12 + 1）一丁1111所以=5一 g + _g + ., + 又T“ 693D. %1T，巧“【答案】ABC【分析】2a +12x + l由给定条件可得4.2 =一丁，由此构造函数g(x) =,利用导数研究其单调性而判断选项A,利用不等式性质探求出a. 0),则 g(x) =hJ0, g(x)在(0,内)上单调递增， x+1(X + 1)a a 点与(,，,”)(eN*,23)是函数g(x)图象上的两点，于是有0(?3),则a,“,an -an-2都单调，35又。1=1,则%=2,% =,4 =，即。|

23、。4，所以。2-1 单调递增，%J单调递减，A正 确；显然。“0，%=1 +，1,而弓=1,即 VeN”,a“Nl,则1 a+1 而翼=a = 2a+l3,4 an +1bn = In 0 , bn + b,向 + bllt2 ln32019所以 S2O2a S2019 In 3 a 1.099x673 = 739.627 693. C 正确；_357 r b20T b&”,则 In In a2”“t a2n，而 % = 1, a? = 2, 6 = , 即对=1 和 =2都不成立，D不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：涉及单调性的某些数列问题，数列是一类特殊的函数，准确构造相应的函数，借助

24、函数导数研 究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.16.已知数列,的前项和为S”，且满足4八一2册，计血一4人+ =0吗=1,则下列结论正确的是（A.若= =则4是等差数列B.若4 = 1, =；,则数列的前项和为C.若；l = 2, = g,贝I,+1是等比数列D.若之=2, = g ,则 S = 2*-一2【答案】ACD 【分析】1 1当7 = 1,= 时，化简得2小=2620，得到/+i -。 =】，求得相，进而求得不，得到A正确，B 2不正确；当4 = 2, = g时，得到。,用=2。“ + 1,求得%=2-1,求得S.，可判定C正确，D正确.【详解】因为数列,

25、的前项和为S“，且满足4”“ 一2%+乜一 4%+” =0，当丸=1, =；时，可得(2“丫_2- NM_ZQ)=0, 即(2+, + 20 乂2” 一 2 2%) = 0,所以 2小=2 2%， 可得a“+i= %+1,即。“+|4=1,又因为。1=1,所以。 =1 + (- 1)x1 = ，eg n(n + l) 则可得=2| J+Ll+二区n +1 y S) S2 Sn +1故A正确，B不正确.当a = 2, =；时，由己知得（2% ）-2” 22fl-2（22a）2=0.即(2” + 22u)(2fl+l -2-22a) = 0,所以an+i = 2a“+1,所以a,”+1 = 2(。

26、“+1),所以a“ + l = 2,所以。“=2-1,所以s =31_ = 2+1 _一2，故C 正确，D 正确.“1-2故选：ACD.【点睛】利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：1、对于递推关系转化为。用-勺 =d (常数)或也=4 (常数)可利用等差、等比数列的通项公式求解: 见2、对于递推关系式可转化为。向-。=/5)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式；3、对于递推关系式可转化为也= /()的数列，并且容易求数列/()前项积时，通常采用累乘法求 an其通项公式；4、对于递推关系式形如a. = pa+夕的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.17.已知S “是等差数列

27、的前项和，52019 S2O21 B. 4()21 。2021 . “2022D. H = 2019 时，T“ 取得最大值【答案】ABC【分析】根据题设条件，得到进而求得。2019 。2022 ( 1 1 、a2019a2020 。2021。20,2，再结合“裂项法”求得7；=力，结合4 ()，即可求解.八 4a2 4+4+2 J【详解】 设等差数列凡的公差为d,因为 52019 0 即。2020 ) “2021 0 , 。2020 d 。2021 - d 。，R|J。2019 一2022 。， 所以。2019。2020 “2021 2022 d 0, a20 a2O2O0, a2O2l 0

28、, TOC o 1-5 h z 111111又由么=见见+必+2,可得丁 c =力，% anan+an2 2d (“+4+2 J则 H- ，由d ，而 42% 。304 ， 20192020 “2021。2022 ( “202202023 ,，an+ian+2(1 1 )所以当 = 2020时，取得最小值.ata2 an+ian+2 )综上可得，正确的选项为ABC.故选：ABC.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项,和S”的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考行推理与运算能力.18.设0“(eM)是各项为正数的等比数列，q是其公比，

29、K”是其前项的积，且任K8,则下列选项中成立的()A. 0K5D. &与&均为K”的最大值【答案】ABD 【分析】根据题意，结合等比数列的性质分析选项，综合即可得答案.【详解】K解：根据题意，依次分析选项：对于8,若心=2，则。7=黄=1,故8正确；A6K.an对于 A,山丘1,则夕=（0, 1）,故A正确；对于C由q（0, 1）,所以是单调递减，因为7=1，所以7VLK22则 T2- =。9a8a7& = （%） = （%） 1，则有任代，故 C 错误；K5对于。，结合代心, K肝KK8,可得。正确.故选：ABD.【点睛】本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比数列的基本性质，属于基础题.1

30、9.已知数列小是等比数列，则下列结论中正确的是（）A.数列a/是等比数列B.若 内=2,。7=32,则 5=8C.若0472。3,则数列3是递增数列D.若数列“）的前和S“ = 3T + r ,则r=-l【答案】AC【分析】在A中，数列/）是等比数列；在8中，fl5=8;在C中，若。|2做，则数列”）是递增数列；在C1中，写出4，/，/，由等比中项可求出【详解】解：由数列“”）是等比数列，设公比为/知：在A中， 22 2m. = /；犷=42是常数，.数歹ija,2是等比数列，故a正确；可 a4在 8 中，若。3=2, 7=32,则 75=72x32 = 8 故 8 错误：在C中，若0420时

31、，可得1 q l,且a,J中各项为正数，所以a“+i =a（q-l）0,此时数列”）是递增数列；当q/，解得070,此时数列小是递增数列，综上所述，C正确：在D 中,若数列的前和 S产3一 Ur,则 ai=Si=l+r, ai=Sz - Si=(3+r) - (l+r)=23=53 - 5：=(9+r) - (3-r)=6, W/n s, 3 成等比数列，a； = afa3, /.4=6(l+/-)解得-1，故c错误.3 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想， 是基础题.20.设等差数列斯的前项和为&,且满足S20i80

32、, S2019V0,则下列说法正确的是()A. Siooq最大B. HiooqI|aioo|C. fltoioOD. S2018+S2019Vo【答案】AB【分析】利用等差数列的性质推导出4()09 +4oio 0，4o1o ，即可知正确选项【详解】VS2OI8O, S2019 Vo. 2018(4 +%。= 1009 (q岫 + 4。0)。，之网 幽)=2019.a1010 0，。1010 0，010 1。1010 I故A, 8都正确，C错误：特殊值法:若6009 =5,。|0|()=-1,有S2“8 =1009x4 = 4036,52m9 =-2019即2018 + 52019 0 ,即可

33、排除D选项故选：AB【点睛】本题考查应用等差数列的性质判断命题真假，考查运算求解能力，是基础题.21.已知等比数列4的各项均为正数，公比为夕，且1, % + % 4%+12,记叫的前项积为北，则下列选项中正确的选项是()A. 071C. 7, 1D. 73 1【答案】ABC【分析】等比数列4的各项均为正数，且卬1, 4+% 4% + 12,可得(41)(%1)1，a7 1, 0“1, %+% 4%+12，(“6 1)(%1)1，的1，0 7 2 ,:.a6al 1,7|2 =* * *|2 = (067 ) 1，几=碎1的最大正整数的值为12 .故选：ABC.【点睛】本题考查了等比数列的通项公

34、式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.22.下列关于等差数列的命题中正确的有()A.若a、b、c成等差数列，则“2、/、0?一定成等差数列B.若a、b、c成等差数列，则2、2、2,可能成等差数列C.若a、b、c成等差数列，则垢+ 2、妨+2、笈+ 2一定成等差数列D.若a、b、c成等差数列，则,、1、1可能成等差数列 a b C【答案】BCD【分析】利用特殊值法可判断A选项的正误：取。=人=。可判断B选项的正误：利用等差数列的定义可判断C选项 的正误：取a=b = cHO可判断D选项的正误.【详解】对于A,取a = l, h = 2, c = 3,可得=,=4, c2=9,显然，/

35、、c?不成等差数列，故A错；对于B,取a=b = c,可得2 =2 =2，此时，2、2、2成等差数列，故B正确；对于C, b、c成等差数列，.a + c = .（g + 2）+（如+2） = %（。+C）+4 = 2幼 + 4 = 2（劭+2）,即ka + 2, kh+2、丘+2成等差数列，故C正确：对于 D, a = b = cO,则,=_1 = 1,此时，1, 1成等差数列，故D正确. a b c a b c综上可知，B、C, D正确.故选：BCD.【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题.23.设,是无穷数列，若存在正整数,使得对任意 eN+，均有%+/,则称4是间隔递增数列

36、，上是,的间隔数，下列说法正确的是（）A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列4.1B.已知= + 一,则“是间隔递增数列 nC.已知q =2 + （1）”,则q是间隔递增数列且最小间隔数是2D.已知。“=”2-切+ 2020,若,是间隔递增数列且最小间隔数是3,贝IJ4W5【答案】BCD【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】a*=qqi -qgT =q/，T(T _1),因为4,所以当4 0,解得%3,故正确：a“+& a” = 2( +女)+ (-1)-2 + (-1) = 2左 + (-1)-1),当为奇数时，2%(一1)+10,存在。I成立，当为偶数时，2% + (1)*一10

37、,存在我22成立，综匕勺是 间隔递增数列且最小间隔数是2,故正确；D.若4是间隔递增数列且最小间隔数是3,则 an+k an =( + Q 1 + %) +2020(/ 5+ 2020)= 2kn + k -tk 0 , e N, 成立,则上2+(2t)A0,对于223成立，且公+(2。左。，对于 0,对于&N3成立，FL&+(2-f)W0,对于4 2成立所以，一22解得4Wr0,公差存0,则下列命题正确的是()A.若 S5=S9,则必有 Si4=0B.若S5=S9,则必有S7是S,中最大的项C.若 S657,则必有 S7$8D.若 S6S7,则必有 S5$6【答案】ABC【分析】对于A,转化

38、955 = 6+。7+8+9，可得07+。8=0,利用前口项和公式,即可判断;对于B, 9- 55 = 2(07+08)=0,结合00,分析即可判断；对于C,由m=S7-瑞VO, 8=Sg-S7V0,即可判断；对于C,由7 = 57-560,则必有 S7是 S中最大的项，B 正确；对于 C,若 S6Si,则 ”7=S7-S60,必有 d0,则 Z8=S8-S7S8, C 正确；对于。，若$657,则。7 = $7 - 56S6不一定正确，。错误；故选：ABC【点睛】本题考查了等差数列的性质综合，考查了学生概念理解，转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档 题.第II卷（非选择题）三、填空题2

39、5.记等比数列的前项和为S.，若S”=2a”-1,则3x2【答案2+2【分析】、 ， 1由S“=2a”1求得4,=2q一|,得出数列4的通项公式，进而得到1 +的表达式，进而计算可得答 4 +1案.【详解】 由题意，等比数列。中， = 2an- ,当N2时，S“_=2a“_1-1两式相减可得：=2an-2an_x,可得a=2a,i，即工= 2（2 2）, an-令 =1,可得 S1=q=2q-1,解得 q=l,所以= 2】，则有1 +2n-+2 c (2n-2+l2n- +1 - (2T+1,2x -2 + 1x2xllI 2+lJL 2-2+1 xx 2x2,+1= 2x2-1+1 2+1

40、x20 + 1 2+1X-X2-2 +12-+13x22+ 2故忤案为：三上 2+226.已知数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16 其中第一项是2，接下来的两项是2，2、再接下来的三项是2，2- 22,依此类推，若该数列的前项和为2的整数累，如S1 =2,邑=21S.=22,则称S.=2, ZeN, eN中的（，幻为“一对佳数”，当2100时，首次出现的“一对佳数”是.【答案】（441,29） 【分析】71 -192 .1，一1n2 4-n由- +.+ 1X- = 2n+-2-n，且前组共有 个数，令 2222100,求得11122心14

41、,根据题意2田为2的整数幕，只需将2 消去即可，分类讨论，即可求解.【详解】21 -172 -123 -12 -1由已知得 IxJ + lx- + lx-+. + 1X-1 1 1 17 -1=2xn =2n+-2-n_ , , _ -n(n + l) n2 +n 口,.,n n2 +n 入士一又由1 + 2 + 3 +一 + =，即削n组共有个数,Y + 77令-100，解得N14 (当 =14时有105个数),2由题意可知：2出为2的整数事，只需将一2 一 消去即可，则1 + 2 + (-2 )= ()时，解得 =1,总共有0 + 1)x1+2 = 3项,不满足N100；2 1 + 2 +

42、 4 + (-2 )= 0 时，解得 =5,总共有0+5)x5+3 = 18 项,不满足 ？100：21 + 2 + 4 + 8 + (2-)= 0时，解得 =13,总共有电虫+4 = 95项,2不满足nN 100； 1 + 2 + 4 +8 +16 + (-2 - ) = 0时，解得 =29；总共有土史+ 5 = 440项,2满足N100,所以的最小值为441 所以苜次出现的“一对佳数”是(441,29).故答案为(44L 29).【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：I、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在 阅读理解的基础上，依据

43、题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目 的：2,遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”, 逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.27.若数列%满足q =1,且对于任意的eN*,都有凡= + 1，则数列的前项和S* -2【答案】 + 1【分析】由q=l, an+i-an=n + .利用叠加法，求得,求得一=2( |,结合裂项法求2an n n + lj和，即可求解.【详解】由4=1,且对于任意的eN*，都有。“+1= + L+ (% 4) +(4 出)+ , + (a“ a”_) = 1 + 2 + 3+一+

44、 =-/i(n +1),12=2 %则一=2|1-Ina, n(n + l)十，。11111所以S = 2万+万一+7一而2故答案为：. + 1.已知国表示不超过x的最大整数，例如：2.3 = 2, 1.5 = -2.在数列叫中，4=怆川，neN+.记7；为数列4的前项和，则n021 =.【答案】4956【分析】 先对分类讨论，求出每一段的数列的和，再求岂。2【详解】当1WW9时,an =lgn=0；当IOS7499时,a=lgn = l,此区间所有项的和为90.当100WW999时，a“=lg = 2,此区间所有项的和为900 x2 = 1800.当 1000。W2021 时，a=lgn =

45、 3,此区间所有项的和为 1022x3 = 3066.所以 7i021 =90 + 1800 + 3066 = 4956 .故答案为：4956.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键有两点，其-是对应分类讨论，其二是“算每一段内的所有项的和，弄准项数，不能汁算出 错.已知数列q,也满足4 =1,4 =04，an+，d+i，“eN*，令% =见_d， 则满足Cn 专的n的最小值为.【答案】10【分析】根据关系式，即可判断数列c,J为等比数列，根据等比数列通项公式即可求得的最小值.【详解】, bn+ +an 1 .11 A 211 人由。川一= -+1 =-5鼠+耳。=5（ “+”）+万凡=3 “一包

46、）乂由q =44=0.9,所以%是首项为0.9,公比为的等比数列，故c“=S9x击，则0.9x击即3-3 21。3,当 =9时，36 =729103.显然当“210时，3-321（）3成立，所以的最小值为io.故答案为：10.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：I、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法 等对于式了化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为止整数的一类函数，在解决问题 时要注意这一特殊性：2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、 分析法、放缩法等，若是含

47、参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数J（s） = Zt=；7 +至+彳+，我们经常从无穷级数的部分和g + + g + 2入手.已知正项数 n=123123nj （ ）j -列的前项和为5，且满足S=5 an H ,则 + + =（其中x表示不超an /3100 _过x的最大整数）.【答案】18【分析】结合题意和和5“的关系，得到数列S：是以1为首项，1为公差的等差数列，求得S“ =，又由当 1时，得到2（JR-） +2（7石一JI斤），进而求得18S 0 , 川以 4

48、= S = 1,当N2时，由 4,=S“一S“_|,所以2s“ =S-S“_|+1 3“所以S“ + S“t=1.即S： S3=l, 一 U I n n-l可得数列s*是以1为首项，1为公差的等差数列，所以S：= .又当 =1时，S： = l符合上式，所以S；=（eN*）.当刀1时,因为所以5。，所以S=，4n + J + l 2/n 石 + yln-l G + J +1 G 4n + yJn l所以 2（ J + l - j= 2（阿_加而） + （Vi而-屈）+ + （应-1） = 2（疝口1）18,S2（V100-5/99）+ （V99-798）+ - + （V2-l）4-l = 2（V

49、i00-l） + l = 19,即 18vSvl9,从而S = 18.故答案为：18.则k的取值集合31.已知数列,的前”项和为s，且3s“=64-4，若=l（lW/”Z,ZeN*）,是.【答案】4,5 【分析】 由数列a ”和5“的关系，推得? =；，得到数列4是首项为16、公比为5的等比数列，进而得到ata5 =1,a2a4 =l,a3 =1,结合lW/nh 即可求解.【详解】由题意，数列4的前项和为S,且3s.=64一为，当 =1 时，3c/| = 64 ax,解得 4=16,当 2 2 时，35“ =64-an 和 35 =64-a_（,两式相减得3% = an_,-an,即上；an-

50、 411 1 1则数列q是首项为16、公比为一的等比数列，即各项依次为16,41,一,一,一,44 16 64所以 4% = L 出。4 = L。3 =1结合14加左，得人的取值集合是4,5.故答案为：4,5.【点睛】有关数列中勺和5的关系问题的求解策略：根据所求结果不同额要求，将问题向不同的两个方向转化；（1）利用a“ = 5-S“t（N2）转化为S”S,i的 关系，再求解：（2）利用S,-S,i =a“（”N2）转化为a”,aT的关系，再求解.已知数列a“满足4 + 24+ 3%+一叫=2（gN*），设包=（一1）” （q,+%），数列4的前 项和为S”，则Sig =.1 , 100【答案

51、】一101【分析】根据题设条件，推得。“=2-：，利用仇=（-l）（a“+a“+J,结合消项法，即可求解.【详解】因为 4 + 2a2 + 34 h nan = iv ,当22时，可得q+ 2a2 + 3/ + + (- 1)%t = (- 1产，1 _ 100loi-ToT故答案为:100Toi四、双空题.已知等差数列%的首项为2,等比数列的公比为2, S.是数列或的前项和，且a=（、回）%，则 %=_，S5 =一.【答案】862【分析】由已知条件，令 =1可得4，可得H，a“,令 =4可得出，再由等比数列的求和公式，计算可得所求 和.【详解】等差数列%的首项为2,公差设为d，等比数列的公比

52、q为2,由包=（J5），可得瓦=（夜）卬=（V2）2 = 2,则bn = 2,即2=（血-，可得an = 2n,。 2（1-25），一 则“4=8, S. = 62 .1-2故答案为：8, 62.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题.已知 gN*，集合，W，集合所有的非空子集的最小元素之和为北，贝IT3=,使 4 之18。的最小正整数的值为.【答案】419【分析】先由题意，得到 =；,?,进而可求出其非空;集中最小元素之和；再由题意，求出7； =；, T=:： 令4=今，判定其单调性，得出当时，都有= 专！；,按兀素从小到大的顺序，依次写

53、出含该元素的了集个数，再求和，得出，解不等式，即可得出结果.【详解】由题曲想=舒部所以其非空子集中最小元素是g的集合有2?个，其非空子集中最小元素是1的集合有2个，3其非空子集中最小元素七的集合有2。个, 所以 7； = 22、,+ 23 + 20* = 4； TOC o 1-5 h z 3284113 7又由题意易得工=上，7=2xA + 2x- = - 224 42n 12n 1 2z?3 2n 1 4h + 6 5 - 22T 2t2”5-2n当之3时，an-alt =- - -180,即/2361，所以 219, 2即使7； 180的最小正整数”的值为19.故答案为：4： 19【点睛】

54、本题主要考查集合的非空子集，考查数列的求和，涉及一元二次不等式的解法，属于跨章节综合题，是中 档题. TOC o 1-5 h z ,、3a. 3a,3a , 1 11 n ,35.在数列a“中，4=3, + + + = l + - + - + - + - + -(ne?/ ),则,cl-t, 乙 3乙442 4对所有 wN*恒成立，则九的取值范围是.320)【答案】可+81【分析】等式皿2 4变形为 2在已知等式中用一1替换得另一等式(22),两式相减得叫匕 然后用累乘法求得通项公式。“，不 +|( + 1)的最大值即可.可有作商法求数列的最大值.【详解】3a, 解：由于一3a,1 1 1I.

55、 3a, 3a, 3an .,111n 所以当N2时，有L + - + + 曰 = 1 + + + +a2 a3 an 2 3 n - 2,当 =1时、求得“2 =6，即2 =2也43an 1 1 + 2aM4_. 6n6两式相减可得U = 7 + 5 = M,即当22时，才不符合该递推关系，所以。”=% T巳一 an- an-2 a由于M+1(/? + 1)2+ 4 2 4.当=4时，C4 =。5，当4单320320调递减，川r以q Q 。6 故数列最大项为，即4 2 .81816故答案为：而转;3201,+8 .81【点睛】求数列的本题考查已知递推关系式求数列的通项公式，累乘法求通项公式，

56、考行数列不等式恒成立问题, 最大项，综合性较强，必须熟练掌握每个知识点对应的方法，属于中档题.36.在数列,中，S“为它的前项和，已知% = 1, % = 6 ,且数列q, + n是等比数列,则an =S“=.【答案】3n -n3+ +1【分析】 设勿=。“ + ,由等比数列的性质先求得bn = 3-,进而求得an = 3T -n :再利用分组求和法即可求得S,.【详解】设4=%+ ，数列也的公比为4,则由题意仄=勺+ 2 = 3, & = % +3 = 9,：.q = - = 3, *=且=1, :.b“=如1 = 3T , 4 q/. an=bn-n = 3t 一 n ,Sn =1-1+3

57、-2+323+ 3T = (1 + 3+32+ 3T)(1 + 2+3+ + )_L(1 一 3) (l + ) 3 n2 +n + l-1-32-一 万3“2 + +1 TOC o 1-5 h z 故答案为：3T，-22【点睛】本题考查了构造新数列求数列通项和利用分组求和法求数列前“项和，考查了计算能力，属于中档题.3a “ +5,为奇数37.已知数列4的各项均为正整数，S”为其前项和，对于=1, 2, 3，有%+i =a“，其中2为使%+1为奇数的正整数，当 =5时，%的最小值为;当4=1时，S + S? + + S?o =.【答案】5910【分析】由题设可知当为 =5时，/=5解得4 =

58、-5或 =5x2”*,因为4的各项均为正整数，m,k为5x4-5正整数，所以当=2时，%有最小值4=可二=5.当4=1时，可求出生 =8,4 = 1，% =8，得到数列%是周期为2的周期数列，可求出结果.【详解】数列4的各项均为正整数13ali +5, a ”为奇数+i=S a “/田相 ，其中女为使a“+i为奇数的正整数.寸,a “为偶数当 = 5 时,=/或。3 = 3% + 5 .即5 =果或5 =+ 5，则4 = 5 x 2或出= (舍)所以 叼 =3或 4 =3q + 5 则q=5x2i或4 = 5x：二5,因为4的各项均为止整数，机次为止整数.显然当& = 2时二 q有最小值4 =

59、 - = 5.当 q = 1 时，a3 3q 4-5 = 8,QO生 =万7,其中人为使3为奇数的正整数，所以攵=3，a3= =1所以。4 = 3% +5 = 8.OO%=/，其中为使死为奇数的正整数，所以左=3，a5= =所以数列q是周期为2的周期数列，奇数项为1,偶数项为8.S + S2 4f S2Q = 1+(1+8)+(1 x 2+8)+(1 x 2+8x2)+(1 x 10+8 x 10)=910故答案为(1)5(2) 910【点睛】本题考杳数列的递推公式的性质和应用，考查周期数列求和问题，属下难题. TOC o 1-5 h z ,、 1111.数列4中，q=l, a i = a +

60、n + l,则每=； + + + +=. 4 a2 %15【答案】1208【分析】,1, 由递推公式归纳出通项公式%,用裂项相消法求数列一的和.【详解】,* q = 1, +i = a” + +1,/1、1 C( + 1)an = an_x + = an_2 +( - 1) + = . = 1 + 2h-n -,11-H=Fan 1x2 2x3n(n + l)2(1)223 n n+1= 2(T)=2n+ +12x15 15故答案为120；15T【点睛】 本题考查由递推公式求数列的通项公式，考杳裂项相消法求.解题时由递推式进行迭代后可得数列通项形 式，从而由等差数列前和公式求得凡.67 + 2