实际问题的函数刻画

1、2 实际(shj)问题的函数建模 共三十五页1.了解数学建模，掌握根据已知条件建立函数关系式的方法； (重点)2. 增强应用数学的意识以及(yj)分析问题、解决问题的能力. (难点)共三十五页 在现实世界里，事物(shw)之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画。共三十五页 问题1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化(binhu)，表中给出了实验的一组数据，这些数据能说明什么？环境温度/（oC）410203038代谢率/4185J/（hm2）60444040.554共三十五页 解析：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率。不难看出，对于每一个环

2、境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系。实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们(w men)将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。/（）/4185J/(hm2)38 40共三十五页 根据图像，可以看出(kn ch)下列性质： （1）代谢率曲线在小于20oC的范围内是下降的，在大于30oC的范围内是上升的； （2）环境温度在20oC 30oC时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；（3）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大(jio d)影响。 所以，临床上做“基础代

3、谢率”测定时，室温要保持在20oC 30oC之间，这样可以使环境温度影响最小。通过图像，更好地把握环境温度与人体代谢关系共三十五页 问题2 某厂生产一种(y zhn)畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？共三十五页解 总成本C与产量x的关系(gun x) C=200000+300 x；单位成本P与产量x的关系 P=300+200000 /x；销售收入R与产量x的关系 R=500 x ； 利润L与产量x的关系

4、L=R-C=200 x-200000。 以上(yshng)各式建立的是函数关系。共三十五页（1）从利润(lrn)关系式可见，希望有较大利润(lrn)应增加产量。 若x1000 ，则可盈利. (2)从单位成本P与产量x的关系P=300+200000/x 可见，为了(wi le)降低成本，应增加产量，以形成规模效益。 共三十五页解决(jiju)应用题的一般程序是：审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺(l shn)数量关系；建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；提升总结还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题共三十五页数学(s

5、hxu)建模过程：实际(shj)问题抽象概括数学模型推理演算数学模型的解还原说明实际问题的解共三十五页思考：（1）总费用由哪些部分(b fen)组成？ （2）每一部分费用的表达式是什么？例1 某公司一年需要一种计算机元件8000个,每天需同样多的元件用于组装整机.该元件每年分n次进货,每次购买元件的数量均为x,购一次货需手续费500元.已购进而未使用的元件要付库存费,可以(ky)认为平均库存量为 x件,每个元件的库存费是一年2元.请核算一下,每年进货几次花费最小?共三十五页 分析：1.每次进货(jn hu)量x与进货(jn hu)次数n的关系： (n1,nz)2.进货次数为：3.全年的手续费是

6、：4.一年的总库存费为：5.其它费用：共三十五页即n=4时,总费用最少，故以每年(minin)进货4次为宜.令总费用为F4000+C当且仅当 ，共三十五页例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用(shyng)AB胶黏合扬声器中的磁钢与夹板.长期以来,由于对AB胶的用量没有一个确定的标准,经常出现用胶过多,胶水外溢;或用胶过少,产生脱胶,影响了产品质量.经过实验,已有一些恰当用胶量的具体数据如表.序号12345678910磁钢面积/cm211.019.426.246.656.667.2125.2189.0247.1443.4用胶量/g0.1640.3960.4040.6640

7、.8120.9721.6882.864.0767.332共三十五页现在需要(xyo)提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系思考如下问题：（1）磁钢面积与用胶量间是否具有函数关系？用什么方法(fngf)可以确定是什么函数关系？（2）确定函数类型后，如何求出具体的函数解析式？共三十五页解 以磁钢(c n)面积x为横坐标,用胶量y为纵坐标,建立直角坐标系.根据上表数据描点.01234567850100150200250300350400450500 x/cm2y/gy/gy/g根据点的分布特点(tdin),用y=ax+b表示其关系共三十五页取点(56.6,0.812),(189.0,

8、2.86)代入y=ax+b,得方程组:解得： a=0.015 47, b=-0.06350这条直线(zhxin)是 ： y=0.015 47x-0.063 50注：取不同的的点代入会得到不同直线，要注意检验(jinyn)是否符合实际问题。共三十五页数据拟合: 通过一些数据寻求事物规律，往往(wngwng)是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.共三十五页实际数据画出散点图选择函

9、数模型求出函数模型检验用函数模型解答实际问题不合乎实际合乎实际提升总结：数据(shj)拟合过程：共三十五页 某地区不同(b tn)身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表提供的的数据,能否建立一个恰当的函数模型,使它能近似地反映这个地区(dq)未成年男性体重y与身高x的函数关系?试写出这个函数模型的关系式；变式练习：共三十五页解：(1)以身高(shn o)为横坐标,体重为

10、纵坐标,画出散点图根据图的分布特点,设y=abx这一函数来近似(jn s)刻画其关系;y/kgx/cm共三十五页取两点(70,7.90),(160,47.25),代入y=abx 得：用计算器得：a2, b1.02这样就得到(d do)函数模型：y=21.02x共三十五页解析: (2)将x=175代入y=21.02x，得y=21.02175用计算器得：y 63.98由于(yuy) 7863.981.221.2,所以这个男生偏胖。(2)若体重超过相同身高男性体重的平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么(n me)这个地区一名身高为175,体重为78的在校男生的体重是否正常?共三十五页1.

11、一家(y ji)旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践,旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65758595要使每天收入达到(d do)最高，每间定价应为（ ）A.20元 B.18元 C.16元 D.14元C共三十五页2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价(zhn ji)1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为( ) A.95元 B.100元 C.105元 D.110元A共三十五页为常数(chngsh)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个

12、函数(hnsh)作模拟函数(hnsh)较好？说明理由。 3.某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或共三十五页解：设二次函数(hnsh)为：由已知得所以(suy)当x=4时，共三十五页又对于(duy)函数 由已知得：所以(suy)当x=4时，共三十五页由四月份的实际(shj)产量为1.37万件,选用函数(hnsh) 作模拟函数(hnsh)较好。共三十五页共三十五页共三十五页1.解决应用问题的步骤(bzhu);2.数据拟合的过程.共三十五页不渴望能够一跃千里(qin l)，只希望每天能够前进一步。共三十五页内容摘要2 实际问题的函数建模。解析：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度。（1）代谢率曲线在小于20oC的范围内是下降的，。总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么。销售收入R与产量x的关系 R=500 x。利润L与产量x