第八章 现代控制理论初步

1、第八章 现代控制理论能控性、能观测性一、线性系统能控性和能观性的概念二、线性定常系统的输出能控性三、线性定常连续系统的能观性四、线性定常连续系统的能观性教学要求：1.正确理解定常系统可控性与可观 性的基本概念与判据。2.熟练掌握能控标准型与能观标准型。3.掌握对偶原理，规范分解方法。重点内容：能控、能观的含义和定义。定常系统的能控、能观的各种判据。线性变换的不变性。研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.含义1: 控制作用: 对状态变量的支配 能控性. 系统输出能否反映状态变量 能观性.含义2: 能控性:能否找到使任意初态 确定终态 能观性:能否由输出量的测量值 各状态 例1: 给定系统的状

2、态空间描述:解:展开 表明:状态变量 , 都可通过选择输入u而由始点 终点完全能控. 输出y只能反映状态变量 ,所以 不能观测. 例2:取 和 作为状态变量,u输入, y= -输出.+-uL(1)当状态可控，可观测(2)当u只能控制，不可控，不可观测一、线性系统能控性和能观性的概念含义：能控性：u(t) x(t) 状态方程能观性：y(t) x(t) 输出方程定义：设若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态转移到任意终态，则该系统完全能控说明：任意初态(状态空间中任一点),零终态能控零初态任意终态能达2. 定理1例：判断能控性解：rank =23,不能控 对于：行数列数的情况下求

3、秩时： rank =rank定理2：若，若为对角型，则状态完全能控的充要条件为：中没有任意一行的元素全为零例：线性系统的状态方程为其中：试判断该系统的能控性解：如果rank =2, 则必须要求定理3：设，若为约当型，则状态完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的阵中所有的行元素不全为零例：设系统的状态方程为其中：试判断系统的能控性解：而b1是任意值，且rank =2则该系统能控当的特征值 , ，且 则可以经过 将A化为约当型. 如下: 且由 的最后一行组成的矩阵：例：设，已知行线性无关不全为零能控线性变换后系统的能控性不变设令则：其中：系统的能控性不变定理4：设如果系统能控，则

4、则必存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：其中：且：证明：(由 推得 )例：求能控标准型解：rank Sc=2 能控则二、线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设: 定义:在 上,任意解出u(t),输出能控定理：系统输出完全能控的充要条件：例：判断系统是否输出能控解：rankCB CABD=rank1 -2 0=1=q 输出能控rankSc=rankb Ab=12 状态不能控三、线性定常连续系统的能观性 在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取,但输入变量总是可以获取和测

5、量的. 能观性能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量设线性定常连续系统状态空间表式：定义：对任意给定u(t)，在内输出y(t)可唯一确定系统的初态x(),则系统是完全能观的y x( ) 能观y x( ) 能检确定确定定理1：系统状态完全能观的充要条件：证明：设这里：是一个单位阵 要使y(t) x(0)确定定理2:若A为对角型，则系统完全能控能观的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零例：系统状态方程为系统能控能观则要求即rank =2定理3：若A为约当型，则系统完全能观的充要条件是：C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零如：能观例：设系统的状态方程为：判断系统的能观性解：能观约当型判据： 设A有 ( 重根)， ( 重根)， ( 重根) ， 且要使系统完全能观，则由的第一列组成的矩阵： 对 均列线性无关。定理4: 设 如果系统能观，但不是能观标准型，则存在 ，将原系统化为能观标准型：(单输入单输出系统)其中其中：线性变换后系统能观性不变 设 令4.7 对偶原理由第前面：对偶原理： 其中: 与 互