线性代数教案-第三章行列式及其应用

1、第三章行列式及其应用本在线性代数应用于几何、分析等领域时，行列式理论起着重要的作用 ，线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化，也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用.一、教学目标与基本要求(一)知识1 n阶行列式的定义及性质现将这些性质作为公理体系来定义n阶行列式.设A = aj 是任意一个n阶方阵,用A记其第i行元素为分量的n元向量，即Ai = (ai1, ai2 ain ) , i = 1,2,n ,并称其为行向量.有序向量组Ai,，An所定义的实值函数d(Ai,，An)被称为n阶行列 式函数，如果它满足下列公理：公理1对每行具有齐性，即对任意实数t,有d( ,tAk, ) =

2、td( ,Ak, ), k =1,，n.公理2对每行都具加性.即对任意n元向量B,有d( , AkB, ) =d( , Ak,)d(,4如B, Ak i, ), k =1, ,n.公理3若任意相邻两行相等，则行列式为零.即若Ak = Ak书(k = 1,，n -1),则d( A1, An) =0.公理4对于Rn中常用基0,，en,有d(S, , en) =1.当 A1,，An取定，则称d( A,，An)为一个n阶行列式.有时也简称为n阶行列式 函数为n阶行列式.n行列式常被记为detA,| A|,或a11 a12aina21 a22a2n.3i3an1 an2ann公理4意味着，对于n阶单位方

3、阵E,有detE =| E | = 1.前两个公理意味着，行列式函数是它每一行的线性函数，即对任意一行(如第1行)而言，若t1,，tp是任意p个实数，B1，B p是任意p个n元向量(p是任意正整数，有 ppde tk B k, A2, An) C tkd( BkA, , An)k 1k 4定理3. 1. 1满足公理1, 2, 3的行列式函数d(A，An)具有以下性质：(1)若行列式某一行为零，则此行列式为零.(2)对调行列式任意两行，则行列式变号.(3)若行列式任意两行相等，则此行列式为零.(4)若向量组 A,，An是相关的，则行列式d( A1,，An) =0.(5)把行列式某行乘以数加到另一

4、行去，行列式值不改变.2行列式的计算例3.2. 2设A是形如下式的n阶对角方阵一加 00【0a22 0(aij = 0, i * j)00则 det A =a11a22ann.由该例可得到：例3.2. 3设A是形如下式的n阶上三角方阵a11 a12a)n0 a22 a2n (主对角线下方各元素为零) + +.00ann.则 det A =a11a22ann.定理3.2. 1设d是满足行列式公理14的n阶行列式函数，f是满足行列式公理 13的n阶行列式函数，则对任意选定的n元向量 A,，An及R n中常用基e1，en,有f(A,An) =d(A,An)f(e1,en) .( 3.2.2)若f还满

5、足行列式公理 4,则有f( A1, An) =d( A1, An).定理3.2.2若A是一个非奇异方阵(即A,存在)，则det A 0,且11det A 二二det A定理3. 2. 3设A1,，An是n个n元向量.该向量独立的充要条件是 d(A1，An)丰0.本节最后，讨论分块对角方阵的行列式的简便算法.定理3. 2. 3形如式(3. 2. 10)的分块对角方阵成立着一 A Odet l = det Adet B9 B本定理可以推广到一般情形：若C是一个具有对角子块 A，An的分块对角方阵，即Ai1OA2C =,*OJAn.则 detC -(detA1)(detA2)(detAn).3行列式

6、的展开公式定义3. 3. 1给定n阶方阵A = akj(n 2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后，余 下元素按原来位置构成的n -1阶方阵，被称为元素akj的余子阵，记为Akj.而称det Akj为akj的余子式.定理3. 3. 1对任意n阶方阵A = akj(n2),有detAkj =(-1)k j detAkj , k = 1, n.(3. 3. 2)从而有 ndet A =、. akj (-1)k j detAkj , k = 1, n.(3. 3. 3)j 1此式被称为行列式按第k行的展开式.定义3.3.2对行列式detA而言，称(-1)k4j detAkj为元素akj的代数余

7、子式，记为cofakj.下面将利用数学D3纳法来证明n阶行列式函数的存在性，从而在理论上确立了n阶行列式函数的存在唯一性.与此同时，可得到行列式按列展开的公式.定理3. 3. 2设n -1阶行列式函数存在.对任意n阶方阵A = akj,定义函数nf(A,An)八(-1)k1akidetAki ,(3 3.4)k 4则它是n阶行列式函数定理3. 3. 3对任意n阶方阵A = akj ,有n(-1) akj detAjdet A, i =k0, i # k(3. 3. 6)n- (一 1) a a jk det Aji j idet A, i =k0, i #k3.3.7)j i定理3. 3. 4

8、对任意n阶方阵A = akj ,有det A = det AT .4伴随阵及方阵的逆定义3. 4. 1给定n阶方阵A = aj ,称n阶方阵cof aj T为A的伴随阵，记为据此定义知：A的伴随阵A位于第j行第i列的元素，就是A的元素aj的代数余子式cof aj =(-1)i j detAj.定理3.4.1对任意n阶方阵A=aj(n2),有*AA = (detA)E.又：若det A #0,则A*存在，且有A41*A . det A定理3.4. 2对任意n阶方阵A而言，A”存在得充分必要条件是 det A # 0 .当det A # 0 ,就有A41*4A , det A 4det Adet

9、A矩阵的秩定义3. 5.1在一个mx n矩阵A中,任取k行k列(k min(m , n),位于这些行列交叉处的 元素按原来位置构成的k阶行列式，被称为矩阵A的k阶子式.A中不为零的子式.A中不为零的子式的最高阶数，被称为矩阵A的秩，记为R(A).若A没有不为零的子式(等价的说法是：A是零矩阵),则认为其秩为零.推论若A有一个r阶子式不为零,而所有r +1阶子式全为零,则R(A) = r.定理3. 5. 1初等变换不改变矩阵的秩.等价的说法是：若AB(即A与B等价)，则R(A)= R(B).若A是n阶方阵且R(A) = n ,则称A为满秩方阵.显然，下列命题等价：A是满秩方阵.det A = 0

10、.A是可逆的(非奇异的).克莱姆法则定理3. 6.1对于含有n个未知量x1，xn的n个线性代数方程构成的方程组311X1 +a2X2 + +anXn =b1，a21X1a22X2a2nXn =b2，,c c 八4:：(3. 6. 1)n1X1 + an2X2 + 3nn Xn =6，n(或写为 z ajXj =bi, i =1,，n.) j 1如果其系数方阵 A = aj是非奇异的(即det A 0),则它是唯一解.这里cof akj是方阵A的元素akj的代数余子式.式(3. 6. 2)表示的线性代数方程组(3. 6. 1)的解亦可表示为detgXj = , j =1, ,n.(3. 6. 3)j det A这里方阵Cj是A中第j列换为列阵b所成的n阶方阵.读者容易验证(3. 6. 3)式右端与(3. 6. 2) 式右端相等.本本章重点及难点1、理解用公理定义行列式概念中的数学原理2、利用公理4进行行列式计算3、