数理逻辑发展史

1、数理逻辑发展史数理逻辑史本身又可分为三个阶段。第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。本阶段从莱布尼茨到 19世纪末延续了约 200年。第二阶段是数理逻辑的奠基时期。19世纪数学发展提出 了探讨数学方法和数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新方法并提出了新理论。从19世纪70年代到20世纪30 年代约70年时间奠定了本身的基础。第三阶段从20世纪30年代 起为数理逻辑的发展时期。本阶段数理逻辑的主要内容已成长为 数学的分支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理 学有广泛的联系。有少数部分内容如某些公理系统的研究与哲学 问题有着相互的作用。编辑本段开始阶段数理逻辑开始于17世

2、纪后期。当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者所理解。数学方法对 认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。人们感到演绎推理和数学计 算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。德国唯理论哲学家 莱布尼茨首先明确地提出了数理逻辑的指导思想。他设想能建立一 “普遍 的符号语言”，这种语言包含着“思想的字母”，每一基本概念应由一表 意符号来表示。一种完善的符号语言又应该是一个“思维的演算”，他设 想，论辩或争论可以用演算来解决。莱布尼茨提出的这种符号语言和思维 演算正是现代数理逻辑的主要特证。他为实现其设想做了不少具体的工作。他曾构成一个关于两概念相结合的演算，给与这种结合A叽B以内涵和外延的

3、解释，得到了一些重要定理。他成功地将古典逻辑的四个简单命题表 达为符号公式。他又提出了用素数代表初始概念并将复合概念表示为素数 的乘积的配数法，但未能较好地应用。莱布尼茨以后在18世纪前后，欧洲大陆有许多人继续了他的工作，没 有得到重要结果。19世纪中叶两个英国学者G.布尔和A.德摩根突破了沉闷 的局面。布尔是代数学家。19世纪初期数的概念逐渐扩大，负数、分数、 实数等和正整数一样都遵守一些相同的规律，他设想，给代数系统以逻辑的 解释或可构成一个思维的演算。鉴于四元数的发现，他也认为，思维的运 算和一般代数的规律可以有差异，不能机械地推广。他给与代数以四种解 释，其中一种为类的演算，两种是命题

4、演算，还有一种是概率理论。类演算所特有的规律为x2=x。命题演算中的命题变元只取0或1为值，此系统 可被看作为二值代数，他就用此二值代数作为推导的工具。布尔原来的系 统有不少缺点，如有些代数公式没有解释以及把加法解释为不相容的逻辑 合等等。布尔代数后来得到了改造和发展。19世纪后期德国的E.施罗德 (18411902)把它改进为一演绎系统。20世纪以来，布尔代数已发展成为 一个结构极为丰富的代数理论。布尔的贡献是在逻辑史上首先提出了一个 尽管还有缺点的逻辑演算。关系推理虽然早就为从亚里士多德起的古典逻辑学家所发现，关系逻 辑却没有得到重视和研究。德摩根是历史上第一个探讨这种推理理论的学 者。他

5、的兴趣原在于推广古典逻辑。他认为，古典三段论的系词“是”字 实际上是一个传递关系，每一传递关系都可以使类似古典三段论的推理有 效。因之，他进而研究关系的种类和性质，使用一些他本人创造的符号，发 现了一些有效的关系推理形式。他是一位数学家，他认为在代数学中，关系 是极为重要的。德摩根所得的具体结果不算多，他的历史功绩在于，突破 了古典形式逻辑“一主项一谓项”的局限，提出了关系逻辑，为后人的探 讨开辟了道路。编辑本段奠基阶段19世纪初以来，人们在积累了大量实践经验并进行理论总结后，感到数学科学单纯凭借几何或物理直观以及 一些有效应用是不足的，进而要求数学论证具有严谨性和系统性，对基本 理论、证明方

6、法和数学性质做深入的探讨。70年代开始出现对逻辑有重要 意义的发展，主要有：集合论理论、严格的公理方法和初步自足的逻辑演算。数理逻辑史现代演绎方法、形式化和公理系统的发展史。以演绎方法为中心内容的形式逻辑已有2000多年的历史。最早从形式结构来 论述演绎推理的著作是古希腊亚里士多德的工具论。自亚里士多德起至17 世纪后期是形式逻辑的古典阶段。古典形式逻辑包括几种常见的演绎推理和最 简单的量词理论，也使用一些特有符号。它没有探讨关系逻辑和公理系统的逻辑 性质。自17世纪后期G.W.莱布尼茨起是数理逻辑的萌芽和发展时期，是形式 逻辑的现代阶段。数理逻辑使用大量的特制表意符号，在不同部分应用不同程度

7、 的数学方法。它包含着古典形式逻辑而突破其局限性。数理逻辑始则联系数学的 实际，继而又适应其他学科的需要，在近百年内取得了崭新而飞跃的发展。古典形式逻辑是演绎法研究的前数理逻辑时期。数理逻辑史本身又可分为三个阶段。第一阶段开始用数学方法研究和处理形式逻辑。本阶段从莱布尼 茨到19世纪末延续了约200年。第二阶段是数理逻辑的奠基时期。19世纪数学发展提出了探讨数学方法和 数学基础的问题，数理逻辑围绕着这些课题，创建了新 方法并提出了新理论。从19世纪70年代到20世纪30年代约70年时间奠定了本身的基础。 第三阶段从20世纪30年代起为数理逻辑的发展时期。本阶段数理逻辑的主要内容已成长为数学的分

8、支，并与数学的其他分支、计算机科学、语言学和心理学有广泛的联系。有少数部 分内容如某些公理系统的研究与哲学问题有着相互的作用。开始阶段数理逻辑开始于17世纪后期。当时古典形式逻辑不足之处已为某些逻辑学者 所理解。数学方法对认识自然和发展科学技术已显示出重要作用。人们感到演绎推理和数学 计算有相似之处，希望能把数学方法推广到思维的领域。德国唯理论哲学家莱布尼茨首先 明确地提出了数理逻辑的指导思想。他设想能建立一“普遍的符号语言”，这种语言包含着“思 想的字母”，每一基本概念应由一表意符号来表示。一种完善的符号语言又应该是一个“思维 的演算”，他设想，论辩或争论可以用演算来解决。莱布尼茨提出的这种

9、符号语言和思维演 算正是现代数理逻辑的主要特证。他为实现其设想做了不少具体的工作。他曾构成一个关于 两概念相结合的演算，给与这种结合AB以内涵和外延的解释，得到了一些重要定理。他 成功地将古典逻辑的四个简单命题表达为符号公式。他又提出了用素数代表初始概念并将 复合概念表示为素数的乘积的配数法，但未能较好地应用。莱布尼茨以后在18世纪前后，欧洲大陆有许多人继续了他的工作，没有得到重要结果。 19世纪中叶两个英国学者G.W尔和A.德摩根突破了沉闷的局面。布尔是代数学家。19世 纪初期数的概念逐渐扩大，负数、分数、实数等和正整数一样都遵守一些相同的规律他设 想，给代数系统以逻辑的解释或可构成一个思维

10、的演算。鉴于四元数的发现，他也认为，思 维的运算和一般代数的规律可以有差异，不能机械地推广。他给与代数以四种解释，其中一 种为类的演算，两种是命题演算，还有一种是概率理论。类演算所特有的规律为=x。命题 演算中的命题变元只取0或1为值，此系统可被看作为二值代数，他就用此二值代数作为推 导的工具。布尔原来的系统有不少缺点，如有些代数公式没有解释以及把加法解释为不相容 的逻辑合等等。布尔代数后来得到了改造和发展。19世纪后期德国的E.施罗德(18411902) 把它改进为一演绎系统。20世纪以来，布尔代数已发展成为一个结构极为丰富的代数理论。 布尔的贡献是在逻辑史上首先提出了一个尽管还有缺点的逻辑

11、演算。关系推理虽然早就为从亚里士多德起的古典逻辑学家所发现，关系逻辑却没有得到重视 和研究。德摩根是历史上第一个探讨这种推理理论的学者。他的兴趣原在于推广古典逻辑。 他认为，古典三段论的系词“是”字实际上是一个传递关系，每一传递关系都可以使类似古 典三段论的推理有效。因之，他进而研究关系的种类和性质,使用一些他本人创造的符号，发 现了一些有效的关系推理形式。他是一位数学家，他认为在代数学中，关系是极为重要的。德 摩根所得的具体结果不算多，他的历史功绩在于，突破了古典形式逻辑“一主项一谓项”的局 限，提出了关系逻辑，为后人的探讨开辟了道路。奠基阶段 19世纪初以来，人们在积累了大量实践经验并进行

12、理论总结后，感到数 学科学单纯凭借几何或物理直观以及一些有效应用是不足的，进而要求数学论证具有严谨性 和系统性，对基本理论、证明方法和数学性质做深入的探讨。70年代开始出现对逻辑有重 要意义的发展，主要有：集合论理论、严格的公理方法和初步自足的逻辑演算。关起了一系列争论。1900年巴黎国际数学会上希尔伯特提出著名的23个问题，其中， 第1个就是求证康托尔集合论的连续统假设和良序定理；第2个是实数公理系统的一致性 问题，并且认为公理的一致性可以说明实数系具有数学的存在。19041906年，J.H.彭加 勒在评论法国数学家L.古杜拉时主张没有实无穷，数学归纳法是较逻辑更为根本的方法，因而数学不能归

13、结为逻辑。1904年E.策尔梅洛(18711953)根据选择公理证明了良序定理， 结果引起了对选择公理的广泛注意，同时也引起了几位著名法国数学家E.鲍瑞尔(1871 1956)、H.勒贝格(18751941)和R.贝尔(18741932)关于无穷多个的，特别是不可数个任 意选择的可接受性的讨论。1907年荷兰数学家L.E.J.布劳维尔在博士论文数学基础里 表示不承认康托尔集合论，也不同意把数学归结为逻辑。1908年，他在逻辑史上第一次提 出排中律不可靠的论点。在论文直觉主义和形式主义(1912)里，他进一步阐述了直觉 主义的思想。这些史实表明当时争论的重点在于：有没有和如何认识实无穷，什么是数

14、 学的存在，数学应建筑在什么基础于数学基础的争论20世纪初期，集合论、公理方法 和逻辑演算这三方面都继续发展，同时也引0哥德尔定理和过渡时期 希尔伯特方案反映了 30年代前数学基础的争议，目的是用有 穷方法研究包括逻辑和古典数学的形式系统的元逻辑性质，特别是一致性问题。在1928 1936年内主要通过哥德尔的工作，正面或反面地得到了几个最重要基础理论的解答。在方 法论方面数学地精确地描述了直观的机械过程，推动了递归函数论的研究，为数理逻辑发展 的第三阶段准备了条件。哥德尔的完全性定理1928年希尔伯特和W.阿克曼(18961962)合著的理论逻辑基 础第一版首先把一阶逻辑分离出来并证明其一致性

15、。同年希尔伯特在波劳亚数学会上提出 逻辑演算的完全性问题。哥德尔于1929年秋完成并于1930年发表了博士论文的修改稿逻 辑谓词演算公理的完全性，其主要内容是证明：一阶谓词演算的有效公式皆可证。同时也 证明了紧致性定理和勒文海姆-司寇伦定理(见司寇伦定理)。他在证明里使用了丁克尼希 无穷引理和古典排中律。两个不完全性定理1930年夏，哥德尔着手考虑数学分析的一致性。与希尔伯特不 同，他想分为两个步骤进行，先用有穷方法证明数论一致，然后再用数论来论证分析的一致 性。在数论方面他很快得到决定性结果，于1931年发表数学原理及有关系统中的形式 不可判定命题一文，此文包括两个著名定理。按照第一不完全性

16、定理，一个包括初等数论 和一阶逻辑的形式系统S，如果一致，那么就是不完全的。在证明里，他使用了有穷观点的 逻辑和原始递归算术，并通过配数法，在S中表示关于S的语法命题。哥德尔还利用对角线 法构造了一个断定其自身在S中不可证的命题A，并且说明，A和卜A在S中皆不可证。由 于A和卜A二者必有一真，真而不可证，因之S不完全。在证明第二个不完全性定理时，哥 德尔的基本论证是，由于“系统S 一致”可在S中表示，记为Con(S)，同时A即表示“A在S中 不可证”，因之第一不完全性定理可在S中表示为PCon(S)一A从以上公式可见，如Con(S)可证，那么就有卜A；这显然与第一不完全性定 理相矛盾，不能成立

17、。因此，第二不完全性定理断定：如果一个包括古典数论的形式系统是 一致的，则其一致性不能在此系统中得到证明，同时当然也不能用有穷方法证明。这一重要 的发现给希尔伯特方案以很大的冲击。推动递归论的研究数理逻辑中的有穷方法是一种能行的理论。能行方法可以说是机械 的过程，也就是根据预先给定的规则用有穷步骤可以完成的 “预先给定的规则”和机械过程 都是直观概念，对于它们必须有精确的数学描述。根据J.艾尔布朗(19081931)1931年的建议，哥德尔于1934年提出一般递归作为能行性的定义（见能行性和一般递归）。19331936 年A.丘奇（1903 ）和S.C.克利尼（1909 ）构造了入可定义演算，

18、证明了入可定义性 和一般递归的等价关系。1936年丘奇提出能行可计算函数即是递归函数或入可定义函数的 论题。1936年也出现了 E.波斯特（18971954）的组合生成系统。19361937年英国学者 A.M .图林（19121954）在分析了计算过程的简单步骤及其组合以后，设计一种抽象机器以体 现计算方法，得到了图林可计算性概念。他又证明了图林可计算性和入可定义性为相互等价。 他们的这些工作和后来应用的成效阐明了上述几个等价函数即为能行可计算性或机械程序 的数学描述。哥德尔有独立的哲学思想和学术观点，并不属于希尔伯特学派。他 认为，他对于古典数学和超穷思想方法都持有“客观主义”的态度，他 还认为，他所以能得到某些重要结果和他的学术思想密切相关。他澄 清了第二阶段提出的问题，为数理逻辑奠定了基础。他的工作促使逻 辑的某些部分转化为数学的分支，并推动数理逻辑进入第三阶段。日前的发展阶段30年代后期数理逻辑进入发展的第三阶段。证 明论尽管未能达到预期日的，元数学却获得丰富成果。由于使用愈益 增加的数学工具，研究对象也大多为数学思维和