空间向量与立体几何2课时教案

1、第二讲 空间向量与立体几何(2课时)主备人：张金舟、高考重点1、空间向量证明平行、垂直，求空间角。2、空间直角坐标系的建立及学生的运算能力。二、主干知识整合1.空间向量(1)加减法和线性运算;(2)共线向量定理;(3)共面向量定理；即 0w a, b v 兀;(4)空间向量基本定理;(5)空间两个向量的夹角；空间两向量夹角的范围是0,兀(6)向量的数量积;(7)空间向量的坐标运算.2.夹角计算公式(1)线线角：直线与直线所成的角为a, b |;(2)线面角：直线与平面所成的角为sin 0= |cosa, n |;(3)面面角：两相交平面所成的角为0,如两直线的方向向量分别为a, b,则cos0

2、= |cos依如直线的方向向量为a,平面的法向量为 n,则为两平面的法向量分别为m和n2,则cos 0= |cosm, n2|,其特殊情况是两个半平面所成的角即二面角，也可以用这个公式解决，但要判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况以决定cos0= |cos n1, n2还是cos 0= |cos m, n2 |.3.距离公式(1)点点距：点与点的距离，以这两点为起点和终点的向量的模；(2)点线距：点 M到直线a的距离，如直线的方向向量为a,直线上任一点为 N,则点 .M到直线a的距离d=|MN|sinMN, a；(3)线线距：两平行线间的距离，转化为点线距离；两异面直线间的距离，转化为点面距

3、离或者直接求公垂线段的长度；点面距：点 M到平面a的距离：如平面 a的法向量为n,平面a内任一点为 N,则点M到平面a的距离d = |MN|cos mn , n|“n 1nl(5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离;(6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离三、例题讲解例12011湖北卷如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长都是 4, E是BC的中点，动点 F在侧棱 CCi上，且不与点 C重合.(1)当 CF = 1 时，求证：EFXA1C;(2)设二面角C-AF-E的大小为。，求tan。的最小值.ABC，侧面 A1C,【解答】 解法1:过E作ENLAC于N,

4、连接EF.(1)如图，连接NF、AC1,由直棱柱的性质知，底面又底面ABC n侧面A1C = AC,且EN?底面ABC,所以ENL侧面A1C, NF为EF在侧面A1C内的射影，在 RtCNE 中,CN=CEcos60 =1,则由CN = -,彳导 NF / AC1CA 4又 ACAC,故 NFXA1C, 由三垂线定理知 EFXA1C.(2)如图，连接 AF,过N作NMXAF于M,连接 ME, 由(1)知ENL侧面AC,根据三垂线定理得 EM XAF,所以/ EMN是二面角CAFE的平面角，即/ EMN = 0,在 RtAMN 中，MN=ANsin“= 3sin a,NEtan 0=T7T； =

5、MN上33sin a,又 045, 1- 0sin 乎，故当 sin a=乎，即当a= 45时，tan。达到最小值,tan 0=乎，此时F与Ci重合.设/ FAC= ，则 0 45.在 RtCNE 中，NE= EC sin60 =木,解法2: (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 A(0,0,0), B(2j3, 2,0),C(0,4,0), Ai(0,0,4), E(3, 3,0), F(0,4,1),于是 cAi=(0, 4,4), EF = (一胃，1,1),则CAiEF=(0, -4,4) (-3, 1,1) = 0 4+ 4=0,故 EFAiC.(2)设 CF= ?(0/

6、5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角 A-A1C1-B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点 M在平面 AA1B1B内，且 MN，平面A1B1C1,求线段BM的长.【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.依题意得 A(2V2, 0,0), B(0,0,0), C(V2, -V2, 市)，A1(20 2V2, 0), B1(0,2亚 0), C1(V2,花，V5).(1)易得 AC=(V2, -V2, 5), A7B1=(-2V2,4=&3X27230,0),日 /、 AC A1B1ZE cosAC, A1B1= 二|扁而1|所以异面直线 AC与A1B1所成角的余弦值为：23 .m A1C1 = 0,m AA1= 0.(2)易知 AA1=(0,22, 0), A1C1 = (-V2, -2, m n 2|m| In1币币2从而 sinm,n3,57所以二面角 A- AiCi Bi的正弦值为3.51由N为棱BiCi的中点，得N尊3.2.52 2不妨令y=g可得n=(0,g2)2)